辽宁省沈阳市2023届高考全国统考预测密卷数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数满足=1，则等于（ ）A-BC-D2框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，则图中空白框中应填入（ ）A，BC，D，3已知函数是奇函数，则的值为（ ）A10B9C7D14 “”是“直线与互相平行”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5设，点，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）ABCD6已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）ABC1D7若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为( )ABCD8已知，则（ ）ABCD9平行四边形中，已知，点、分别满足，且，则向量在上的投影为（ ）A2BCD10已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）ABCD11已知函数f(x),若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A B C D 12已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(       )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知是定义在上的偶函数，其导函数为若时，则不等式的解集是_14已知，圆，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若，则的最小值为_.15已知二项式的展开式中的常数项为，则_16将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上求椭圆C的方程；若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角18（12分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值19（12分）已知椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为，求的值20（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值21（12分）已知函数，.（1）若不等式的解集为，求的值.（2）若当时，求的取值范围.22（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求的极坐标方程和的直角坐标方程；（）设分别交于两点（与原点不重合），求的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.【详解】解：设的最小正周期为，因为，所以，所以，所以，又，所以当时，因为，整理得，因为，则所以.故选：C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.2、A【解析】依题意问题是，然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，观察程序框图可知，应填入，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.3、B【解析】根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.【详解】因为函数是奇函数，所以，.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.4、A【解析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时，直线方程为与，可得两直线平行；若直线与互相平行，则，解得，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题5、A【解析】先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.【详解】由题意知sin，随n的增大而增大，,，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，正整数的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.6、D【解析】根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足，所以，所以z的虚部为.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7、C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】，又的实部与虚部相等，解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.8、C【解析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】，所以，即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.9、C【解析】将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.10、C【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得，又由，结合函数的单调性分析可得答案【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，有，又由在上单调递增，则有，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题11、D【解析】由已知可将问题转化为：yf(x)的图象和直线ykx有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线ykx的下方，即可求得：k；再求得直线ykx和yln x相切时，k；结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则yf(x)的图象和直线ykx有4个交点作出函数yf(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线ykx的下方k×10，解得k.当直线ykx和yln x相切时，设切点横坐标为m，则k，m.此时，k，f(x)的图象和直线ykx有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题12、A【解析】=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,即.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.【详解】令，则是上的偶函数，则在上递减，于是在上递增由得，即，于是，则，解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.14、【解析】由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,，代入，则在直线上，即可得方程为，将 ，代入化简可得，则直线过定点,由则点在以为直径的圆上，则.即可求得.【详解】如图，由可知R为MN的中点，所以，设，则切线PM的方程为，即，同理可得，因为PM，PN都过，所以，所以在直线上，从而直线MN方程为，因为，所以，即直线MN方程为，所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上，所以.故答案为: .【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.15、2【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值【详解】二项式的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题16、【解析】先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型求解【详解】6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共有个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：个，所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解析】(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角.【详解】（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，又点在椭圆上，所以，解得，即椭圆的方程为. （2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即. 将直线与椭圆的方程联立，得：，判别式，即，设，则，所以，解得， 所以直线的倾斜角为或.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.18、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取BC的中点O，则，由是等边三角形，得，从而得到平面，由此能证明（2）以，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.【详解】（1）取BC的中点O，连接，由于与是等边三角形，所以有，且，所以平面，平面，所以（2）设，是全等的等边三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，又平面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.19、（1）；（2）【解析】（1）根据椭圆的离心率为，得到，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到，从而求得，进而求得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.【详解】（1）由离心率为，可得，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为，因与直线相切，则有，即，故而椭圆方程为（2）当直线l的斜率不存在时，由于；当直线l的斜率为0时，则；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，由及，得，有，综上所述：【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.20、（I）；（II）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）直线的普通方程为（II）曲线C上任意一点到的距离为则其中为锐角，且当时，取到最大值，最大值为当时，取到最小值，最小值为【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形21、（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求得的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解的值；（2）当时，恒成立，当时，转化为，设，求得函数的最小值，即可求解的取值范围.试题解析：（1）由，得，因为不等式的解集为，所以，故不等式可化为，解得，所以，解得.（2）当时，恒成立，所以.当时，可化为，设，则，所以当时，所以.综上，的取值范围是.22、（）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，的直角坐标方程为；（）2.【解析】（）由定义可直接写出直线的极坐标方程，对曲线同乘可得：，转化成直角坐标为；（）分别联立两直线和曲线的方程，由得，由得，则，结合三角函数即可求解；【详解】（）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为由曲线的极坐标方程得，所以的直角坐标方程为.（）与的极坐标方程联立得所以.与的极坐标方程联立得所以.所以.所以当时，取最小值2.【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中的几何意义，属于中档题