浙江省湖州市2023届高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A56B60C140D1202已知，则的大小关系为（ ）ABCD3已知定义在上的函数，则，的大小关系为（ ）ABCD4定义两种运算“”与“”，对任意，满足下列运算性质：，；（） ，则（2020）（20202018）的值为( )ABCD5已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，则（ ）A2BC1D6已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A函数在上单调递减B函数在上单调递增C函数的对称中心是D函数的对称轴是7已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）A2B3C4D58设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）ABCD9已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（ ）ABCD10已知复数，则的虚部为（ ）A1BC1D11函数的定义域为（ ）ABCD12函数的图象为C，以下结论中正确的是（ ）图象C关于直线对称；图象C关于点对称；由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设满足约束条件，则的取值范围为_.14已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则_.15在区间内任意取一个数，则恰好为非负数的概率是_.16已知双曲线（a0，b0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tanPF2F12，则双曲线的离心率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于两点，且满足，求的面积.18（12分）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，是与的等比中项.（1）求；（2）设数列满足，求数列的通项公式.19（12分）如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.（1）证明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.20（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值21（12分）椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两动点使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.22（10分）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点. （I）求与的关系式；（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.考点：频率分布直方图及其应用2、D【解析】由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知，由对数函数的图像与性质可知，所以最小；而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，综上可知，故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.3、D【解析】先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.4、B【解析】根据新运算的定义分别得出2020和20202018的值，可得选项.【详解】由（） ，得（+2），又，所以， ，以此类推，202020182018，又，所以， ，以此类推，2020，所以（2020）（20202018），故选：B.【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.5、D【解析】说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值【详解】由知函数的周期为4，又是奇函数，又，故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础6、B【解析】根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】由图象可得，函数的周期，所以.将点代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，故A正确；令，得，故函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，故B错误；令，得，故函数的对称中心是，故C正确；令，得，故函数的对称轴是，故D正确.故选：B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7、D【解析】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.8、C【解析】设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值【详解】设，则，记，易知是增函数，且的值域是，的唯一解，且时，时，即，由题意，而，解得，故选：C【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值解题时对和的关系的处理是解题关键9、B【解析】利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题10、A【解析】分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】，故的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.11、C【解析】函数的定义域应满足 故选C.12、B【解析】根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.【详解】因为，又，所以正确.，所以正确.将的图象向右平移个单位长度，得，所以错误.所以正确，错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意画出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得到的最值，即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图：转化目标函数为，通过平移直线，数形结合可知：当直线过点A时，直线截距最大，z最小；当直线过点C时，直线截距最小，z最大.由可得，由可得，当直线过点时，；当直线过点时，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.14、【解析】设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的性质可得，由于与的等差中项为，则，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“恰好为非负数”的概率.【详解】当是非负数时，区间长度是，又因为对应的区间长度是，所以“恰好为非负数”的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.16、【解析】根据正弦定理得，根据余弦定理得2PF1PF2cosF1PF23，联立方程得到，计算得到答案.【详解】PF1F2中，sinPF1F2，sinPF1F2，由正弦定理得，又，tanPF2F12，tanF1PF2tan（PF2F1+PF1F2），可得cosF1PF2，PF1F2中用余弦定理，得2PF1PF2cosF1PF23，联解，得，可得，双曲线的，结合，得离心率.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据离心率以及，即可列方程求得，则问题得解；（2）设直线方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的，即可求得参数，则三角形面积得解.【详解】（1）设，由题意可得.因为是的中位线，且，所以，即，因为进而得，所以椭圆方程为（2）由已知得两边平方整理可得.当直线斜率为时，显然不成立.直线斜率不为时，设直线的方程为，联立消去，得，所以，由得将代入整理得，展开得，整理得，所以.即为所求.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前项和；（2）由（1）中所求，结合累加法求得.【详解】（1）由题意可得即 又因为，所以，所以. （2）由条件及（1）可得. 由已知得， 所以. 又满足上式，所以【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题.19、（1）见解析（2）【解析】（1）连结BM，推导出BCBB1，AA1BC，从而AA1MC，进而AA1平面BCM，AA1MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MNAP，由此能证明MN平面ABC（2）推导出ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA12a，BMAMa，推导出MCBM，MCAA1，BMAA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ACMN的余弦值【详解】（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，所以，因为，所以， 又因为，所以平面，所以，又因为，所以是中点，取中点，连结，因为是的中点，则且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（图1） （图2）（2）因为，所以是等腰直角三角形，设，则，.在中，所以.在中，所以，由（1）知，则，如图2，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.所以，则，设平面的法向量为，则即取得.故平面的一个法向量为，因为平面的一个法向量为，则.因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20、（I）；（II）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）直线的普通方程为（II）曲线C上任意一点到的距离为则其中为锐角，且当时，取到最大值，最大值为当时，取到最小值，最小值为【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形21、（1）（2）或【解析】（1）根据题意计算得到，得到椭圆方程.（2）设，联立方程得到，根据，计算得到答案.【详解】（1）由平行四边形的周长为8，可知，即.由平行四边形的最大面积为，可知，又，解得.所以椭圆方程为.（2）注意到直线的斜率不为0，且过定点.设，由消得，所以，因为，所以.因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，所以直线的方程或.【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为是解题的关键.22、（）（II）【解析】（I）联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于0，即可求出结果；（）因点与点关于坐标原点对称，可得的面积是的面积的两倍，再由当时，的面积取到最大值，可得，进而可得原点到直线的距离，再由点到直线的距离公式，以及（I）的结果，即可求解.【详解】（I）由，得，则 化简整理，得； （）因点与点关于坐标原点对称，故的面积是的面积的两倍.所以当时，的面积取到最大值，此时，从而原点到直线的距离， 又，故. 再由（I），得，则. 又，故，即， 从而，即.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于中档试题.