无约束最优化问题的最优性条件.pptx

会计学1无约束最优化问题的最优性条件无约束最优化问题的最优性条件无约束最优化问题的最优性条件第1页/共12页若若若若n=1,n=1,则则则则f(x)f(x)为一元函数为一元函数为一元函数为一元函数.(1)若为的局部极小点，则 (3)若则为的严格局部极小点；若 (2)为的局部极小点，则：无约束最优化问题的最优性条件回顾：回顾：一元函数的最优性条件一元函数的最优性条件必要条件必要条件充分条件充分条件第2页/共12页一阶必要条件一阶必要条件一阶必要条件一阶必要条件定理3.1.1若为的局部极小点，且在内一阶连续可微，则注:(1)仅仅是必要条件，而非充分条件(2)满足的点称为驻点驻点分为：极小点，极大点，鞍点无约束最优化问题的最优性条件Stationary Stationary PointPointSaddle Saddle PointPoint平稳点平稳点第3页/共12页一阶必要条件一阶必要条件一阶必要条件一阶必要条件无约束最优化问题的最优性条件：函数曲面在：函数曲面在x*x*处的切平面是水平的处的切平面是水平的.所谓所谓x*x*是鞍点是鞍点,从直观上说曲面在从直观上说曲面在x*x*处沿某方向处沿某方向“向上弯曲向上弯曲”，而沿另一方向，而沿另一方向“向下弯曲向下弯曲”.第4页/共12页定理3.1.2若为的局部极小点，且在内二阶连续可微，则半正定无约束最优化问题的最优性条件二阶必要条件二阶必要条件注注:(1):(1)刻画了刻画了f(x)f(x)在在x x处切平面的法向处切平面的法向.(2)(2)刻画了曲面刻画了曲面f(x)f(x)的弯曲方向的弯曲方向.第5页/共12页无约束最优化问题的最优性条件二阶必要条件二阶必要条件(3)(3)定理定理3.1.23.1.2 仅仅是仅仅是必要条件必要条件而非充分条件而非充分条件.例例在在x x00=(0,0)=(0,0)TT处，有处，有第6页/共12页定理3.1.3若在 内 二阶连续可微，且 正定,则 为严格局部 极小点 注:(1)如果 负定,则 为严格局部极大点 二阶充分条件二阶充分条件无约束最优化问题的最优性条件(2)(2)定理定理3.1.33.1.3 仅仅是仅仅是充分条件充分条件而非必要条件而非必要条件.分析分析:x x0 0=(0,0)=(0,0)T T为其严格局部极小点为其严格局部极小点.但有但有例例第7页/共12页定理3.1.4设在上是凸函数且在x*处一阶连续可微，则为的全局极小点的充要条件是无约束最优化问题的最优性条件凸优化问题凸优化问题-一阶充要条件一阶充要条件定理3.1.5设在上是严格凸函数，在x*处则为的惟一全局极小点.一阶连续可微，第8页/共12页例1：利用极值条件解下列问题：解：令即：得到驻点：无约束最优化问题的最优性条件第9页/共12页函数的Hesse阵：故，在点处的Hesse阵依次为：无约束最优化问题的最优性条件第10页/共12页由于矩阵不定，则不是极小点负定，则不是极小点，实际上它是极大点正定，则是局部极小点无约束最优化问题的最优性条件第11页/共12页