第4章 人口统计学和生命表教学课件保险精算学.pptx

第4章人口统计学和生命表教学课件保险精算学第四章第四章 人口统计学与生命表简介人口统计学与生命表简介 ACTUARYACTUARY第四章第四章 人口统计学与生命表简介人口统计学与生命表简介第一节第一节 人口统计人口统计第二节第二节 生存模型生存模型第三第三节节 生命表概述生命表概述生存函数 剩余寿命死亡力ACTUARYACTUARY第四章第四章 人口统计学与生命表简介人口统计学与生命表简介ACTUARYACTUARY人口统计学是对一个总体进行的基于统计调查所得数据对该总体特征进行研究的学科，而人口分析中对特定人群生命现象的延续与变化特征，可以通过生命表加以反映，因此生命表实际是人口统计的一个重要工具，同时生命表的编制又依赖人口统计得所数据。由于数据问题比如人口普查中的数据误差、寿险公司经验数据的缺失等，生命表编制时，其计算可能会产生较大波动，同时对有些数量较小的总体，其高龄组数据可能非常稀少，用统计方法往往无法给出满意的生命表数值。此时一种思路就是，首先给出人口的生存函数，以人口统计所得数据对函数的参数进行估计，再由函数计算生命表中的数值。由于生存函数模型能够综合反映群体生命的变化特征，与生命表相比它提供了更多的信息，事实上生命表就是生存函数的一种离散形式。第四章第四章 人口统计学与生命表简介人口统计学与生命表简介ACTUARYACTUARY生存模型是描述单个个体由生存状态到死亡状态这一过程（或由开始运行到报废或失效状态这一过程）的数学模型。通常研究机械设备从运行到失效，或动物由生存到死亡的生存模型，其所研究的精确年龄意义不大，比如一台机械从运行5年至6年间报废的概率的测度并没有多大意义，但对于人类而言，所研究个体的精确年龄意义就非常重要了。比如寿险保单的被保险人，投保时25岁与投保时45岁是影响保费费率的重要因素。生存模型既可以以函数形式加以表达，也可以用表格形式给出来，这种表格给出的生存模型可称之为表格生存模型，精算表格生存模型，就是通常所说的生命表（或死亡表）。本章首先介绍人口统计学相关内容，再介绍生存模型的相关概念与计算方法，包括剩余寿命、死力、生存函数s(x)等概念；最后对生命表相关函数进行简介。生命表是寿险产品计算保费和提存各项准备金的基础，它描述了个体未来寿命的概率分布，要充分掌握运用生命表函数建立生命表的过程，理解生命表的意义。ACTUARYACTUARY第一节第一节 人口统计人口统计4.1.1 4.1.1 人口统计概述人口统计概述ACTUARYACTUARY1人口统计学人口统计学人口统计学是搜集整理描述反映总体现象的状态、变动过程及与社会经济发展的数量关系的科学，通过数量表现揭示总体现象的本质、规律和发展趋势，是精算学的重要研究工具。当总体限定为人群时它也是是人口学及社会经济统计的重要组成部分。人口统计学研究的对象是总体，这样的总体可以是一群人，一群熊猫、一个鱼群、一批移动电话等。任何总体的的升降变化都是人口统计学研究的内容。当然大多数情况下研究的还是人类（因此才称人口统计学）。当然人口统计学研究的不仅是总体，也包括总体中不同类别，比如女性群体、中国人、财金学院的学生、年金领取者、失业人口、足球迷等。以我们所在学校为例：总体就是我们大学。总体中很多的群体比如不同学科，以及这些学科多年来的发展壮大或消失退化；进而可以观察到每个学生及其特征的汇总信息。人口统计学可以帮助我们达到达成以下目标：预测下一年需要多少停车位；计算机实验室下一年度需投资多少；预测需要安排多少个毕业典礼场位；做财金学院下一年代课程助教的预算。4.1.1 4.1.1 人口统计概述人口统计概述ACTUARYACTUARY2人口统计学的组成人口统计学的组成（1）统计资料搜集方法，包括人口普查、人口经常性统计、人口抽样调查和典型调查，以及其他搜集人口统计资料的方法。这些方法互相独立又互相联系，搜集的数据互相验证互相补充，从而共同组成人口统计资料搜集的完整体系的。二战后人口普查与人口经常性统计、人口普查与抽样调查、人口经常性统计与抽样调查都是互相结合使用的。（2）总体统计资料的汇总与整理。人口统计学规定汇总、整理的原则和方法，对人口统计资料按性质和数量关系建立分类和分组体系，如城市人口分组、出生率死亡率分组、职业分类等等。（3）总体分析方法。人口统计分析是统计分析方法和人口现象结合的产物，内容极为广泛。从分析方法上讲，有综合指标法、平均数法、方差分析法、相关与回归分析法、人口数学模型等。从人口现象讲，有人口增长率和趋势分析，人口分析和人口构成（自然构成、经济构成、社会构成）分析，人口再生产过程（生育、死亡、迁移）分析，人口预测和目标分析,人口与经济、社会分析等等,包罗人口现象的各个方面。4.1.1 4.1.1 人口统计概述人口统计概述ACTUARYACTUARY尤以人口增长战略分析、人口老化分析、生育率分析、死亡率和寿命分析、人口迁移流动与城镇化分析、家庭与婚姻分析、人口劳动就业分析、人口职业和文化分析、人口统计资料评估等,较为突出。此外，人口数学模型、人口微观模拟和间接估算法等也是发展较快的一些分支。3群体分布的一般研究过程群体分布的一般研究过程收集总体及各个体相关信息。重新分类，比如按年龄(通常0-4岁为一组，5-9岁为一组,等等）或性别分类。整合进入及退出时间及比例相关信息。构建及校正模型。分析和解释结果。4.1.1 4.1.1 人口统计概述人口统计概述ACTUARYACTUARY4 4人口总体信息包括而不限于：人口总体信息包括而不限于：全国普查获取信息，其特点如下：每十年实施一次问卷收集各类详细信息实施费用比较高人们可能给出错误信息比如隐瞒收入和年龄面对我国特有的问题：是按居住地原则还是户籍原则？出生、死亡及婚姻登记等海关关口收集护照及变更信息社保信息学校的注册信息人寿保险、年金和健康保险。其中保单持有人的相关信息按照年龄、性别、吸烟状况、健康状况等进行分类。包含索赔记录和行业数据4.1.1 4.1.1 人口统计概述人口统计概述ACTUARYACTUARY5总体特征总体特征任何总体都有大量共有的特征，为达到研究目的，一个总体需满足一个最起码的条件，即总体中的个体需要有同质性，比如以同样的方式进入这个总体以同样的方式离开这个总体“同质”是指至少存在一种方式可以辨认出某个个体是属于这个总体的。比如，精算学家是一直从事精算研究的一群人，这就是同质性的一个特征。考虑一个国家，我们可以以下面的标准对其进行分组：同一地区同一行业同一工种同一嗜好4.1.1 4.1.1 人口统计概述人口统计概述ACTUARYACTUARY6我们为什么关注人口统计我们为什么关注人口统计精算师非常关注对总体的研究，因为很多精算工作会涉及到对同类分组发展趋势的预测。举例而言，精算师在设定保费时：对于车险，精算师在设定保费时，需要知道同类司机发生碰撞的可能性，及这个碰撞造成的损失程度可能有多大；对于寿险，精算师在设定保费时，需要知道保单在何时可能发生给付同类型保单持有人在某一特定时间死亡的概率。无论是对个体生存概率的估计（例如用于预期今后十年北京需要多少小学老师）还是对于个体死亡率的测算（比如用于预测今后十年需要多少养老金支出），都需要理解人口变化发展的趋势。4.1.2 4.1.2 一些较重要的统计量一些较重要的统计量ACTUARYACTUARY通常人们通过若干统计量描述总体特征，每个统计量描述一个侧面，若干统计量的综合能够展示总体形态和特点，更直观地反遇总体特征。1性别比性别比可以计算总体性别比率、特定年龄的性别比率及各个年龄组的性别比率。有一个比较重要的性别比，出生人口性别比，这是全国人口普查工作中的一项数据，是指活着出生的男婴与活着出生的女婴的比值。联合国明确认定，出生性别比的正常值域为102107之间，其他值域则被视为异常。（思考：不同国家在种族及其他状况等方面均有所不同，为什么出生人口性别比都在102107之间？）2育龄妇女生育率育龄妇女生育率是指一定时期(通常为一年)内活着出生的婴儿数与同期平均育龄妇女（通常指15-49岁）人数之比，通常用千分数表示。育龄妇女生育率是反映妇女生育强度的重要指标，是影响人口增长速度的核心因素，同时也是制定人口计划和进行人口预测的重要指标。生育率还可以再细分为不同年龄组生育率、孩次生育率（一孩生育率，二孩生育率等等），在此不详细介绍。4.1.2 4.1.2 一些较重要的统计量一些较重要的统计量ACTUARYACTUARY3抚养比（抚养比（Dependency ratio）也叫抚养系数。是指在人口当中，非劳动年龄人口对劳动年龄人口数的比率。抚养比越大，表示劳动力人均承担的被抚养人数就越多，就意味着劳动力的抚养负担就越严重。社会经济生活中，人口可大体分为未成年人口、劳动力人口、老龄人口三类。因此抚养比可以分为老年人口抚养比和未成年人口抚养比。总抚养比（即赡养率）=（老龄人口+未成年人口）/劳动力人口=老龄人口抚养比+未成年人口抚养比简单地说，劳动力人口以他们缴纳的赋税为其他人（老人与未成年人）提供公共服务。如果抚养比非常高，利用税赋支付养老金和医疗费用等的负担将会比较高。4.1.2 4.1.2 一些较重要的统计量一些较重要的统计量ACTUARYACTUARY4人口变动率人口变动率如人口自然增长率、人口迁移率等。简而言之，可以用一个简单的式子描述人口总量从时刻t到时刻t+1总体的变化。P(t+1)=P(t)+出生人数（t，t+1）死亡人数（t，t+1）+迁入人数（t，t+1）迁出人数（t，t+1）其中：自然增长数出生人数死亡人数净移民移入人数移出人数人数的增加人口自然增长数净移民4.1.2 4.1.2 一些较重要的统计量一些较重要的统计量ACTUARYACTUARY5 5粗率（粗率（Crude RatesCrude Rates）以千人为单位计算的比率。粗死亡率=每1000人的死亡人数粗出生率=每1000人中的出生人数这些比率为什么称为粗率？例如粗死亡率，只考虑每千人中的死亡人数，对人口年龄结构、性别结构等因素的影响都不加考虑。由此导致它的一些缺陷。比如在比较不同地区不同人群死亡水平差异时，用粗死亡率对比就不准确。比如欧洲多数国家，其粗死亡率比许多亚非国家都要高，但这主要是因为人口老龄化造成，不能反映二者医疗卫生水平。因此对粗率需要以其他比率作补充，或作标准化处理。6 6特定比率特定比率特定比率粗率更加具体，是指某一特定类别的比率。比如特定性别（针对女性或男性的各自）相关比率、特定年龄（针对某一特定年龄范围）相关比率、特定类别（按照研究需要而划分的类别，比如吸烟者、已婚者等等）相关比率等。4.1.3 4.1.3 人口转变理论与人口金字塔人口转变理论与人口金字塔ACTUARYACTUARY1人口转变理论（The theory of Demographic Transition）人口转变理论是描述人口规模随经济的发展而变化的一种理论模型，它描述了传统人口再生产类型（即高出生率、高死亡率和低自然增长率）向现代人口再生产类型（即低出生率、低死亡率和低自然曾长率）的过渡。由美国人口学家汤姆逊（U.S.Thom-son）于1929年首先提出，法国人口学家兰德里（A.Landry）加以补充，后又为美国人口学家诺特斯坦（F.W.Notestein）全面发展成为一套人口理论。该理论的产生是为了对西欧、北美的人口死亡率和生育率下降的历史过程加以描述和解释，同时也可用于对发展中国家人口发展趋势的预测。人口的变化可能与以下现象相关：游牧/狩猎与采集文化、商品交易文化、城市化与工业化的加速等。基本规律是，社会经济条件的改善降低了婴儿死亡率，同时人口出生率也会上升。伴随着人类生活水平的提高及工业化进程的加速，人口的出生率与死亡率都在下降。为了维持生计所需的大家庭逐步失去了存在的意义。工业化加速使家庭开始小型化。由于人们更加关注高水平的教育及宽裕的经济条件，家庭规模也变得越来越小。因此，人口数量的变化呈现出起初的“繁荣”然后逐步下降。4.1.3 4.1.3 人口转变理论与人口金字塔人口转变理论与人口金字塔ACTUARYACTUARY当今世界城市化和工业化趋势在中国和印度尤为明显。这两国家成为世界上人口最为稠密的国家，这两国的变化发展对全球经济的发展都起到了主导作用。2人口金字塔人口金字塔是用以展示一个国家人口的性别和年龄分布状况的类似金字戴的图形，由许多条形块结合组成。比如下图印度1989年人口金字塔所示，男性人口数量如图右边所示，女性人口数量如图左边所示。金字塔中年龄组的组间距为5年，04岁为第一组，往后类推。人口金字塔可以直接根据各年龄组男女人数来确定坐标刻度进行绘制；也可以先计算出各年龄组男女人数各自所占总人口百分比来确定坐标刻度进行绘制。人口年龄金字塔具有反映人口年龄结构状况的作用。4.1.3 4.1.3 人口转变理论与人口金字塔人口转变理论与人口金字塔ACTUARYACTUARY（3）静止型塔形上下差别不大，曲线比较平稳，少年儿童比例及老年人口比例介于前两种类型之间，中年人和老年人的比例都比较高。这种人口金字塔下各个各个年龄段死亡率都比较低，出生率低，幼儿负担率较低，人均期望寿命较高。这往往是一些成熟经济体的人口金字塔形。4.1.3 4.1.3 人口转变理论与人口金字塔人口转变理论与人口金字塔ACTUARYACTUARY人口金字塔一般分为三种类型：（1）增长型塔形呈上尖下宽，表明少年人口比例大，老年人口比例低，年龄构成类型属年轻型，说明未来结婚生育的人数多、生育率高，死亡率也高，人口发展呈持续增长趋势。新兴经济体如印度人口金字塔就是这种形状。（2）缩减型塔型下部向内收缩，表明少年儿童比例低，中、老年人口比例大、年龄构成类型属老年型、说明未来年轻人越来越少，生育率低，死亡率也低，人口发展呈减少趋势。老龄化国家人口金字就这种形状。（3）静止型塔形上下差别不大，曲线比较平稳，少年儿童比例及老年人口比例介于前两种类型之间，中年人和老年人的比例都比较高。这种人口金字塔下各个各个年龄段死亡率都比较低，出生率低，幼儿负担率较低，人均期望寿命较高。这往往是一些成熟经济体的人口金字塔形。4.1.3 4.1.3 人口转变理论与人口金字塔人口转变理论与人口金字塔ACTUARYACTUARY人口金字塔图直观反映了某一特定时期一个总体分布的全貌，这种全貌的成因需要用很多知识来解释和理解其形状。比如如果某国家某年人口金字塔中25岁的人较少，其形成原因可能包括，25年前人口生育率比较低、二十年前儿童中曾流传过一种传染性疾病加上救援措施不到位导致婴儿死亡率高等等，这就要结合当时的社会经济状况来理解。如下图是前苏联1987年的人口金字塔图，思考一个问题：为什么年龄在4044之间的人口这么少呢？4.1.3 4.1.3 人口转变理论与人口金字塔人口转变理论与人口金字塔ACTUARYACTUARY目前全球社会和经济变化导致了人口分布的变化，发达国家呈现人口老龄化的趋势，生育率降低、生第一个小孩子的年龄变大使得代际年龄增加、死亡率下降使每个人预期寿命更长，这些现象导致人口的老龄化。中国也在发生这种现象。人口老龄化意味着老年抚养比的增加，而劳动人口今后压力的增加可能不仅源于抚养比增加，还包括：（1）赡养老年人的花费比较高，因为老人需要的津贴（养老金）和医疗费用支出比中年人高；（2）死亡率的不断降低意味着人们更长寿，更可能得慢性病（比如不断增多的阿尔茨海默病）从而需要更多长期医疗费用。此外，人在最后一年的医疗费用几乎抵上其他各年份医疗费用之和。老龄化问题成为全球广泛关注的问题。ACTUARYACTUARY第二节第二节 生存模型生存模型4.2.1 4.2.1 生存函数生存函数s(x)s(x)ACTUARYACTUARY既新生儿在x岁之前死亡的概率，则F(x)=1-s(x)，则F(0)=0、F()1（为假定的人能存活的最高年限），并且F(x)在这个区间上是单调递增函数。换种角度，1=s(x)+F(x)，既一个个体在X岁时，必为生存或死亡两种状态之一。4.2.1 4.2.1 生存函数生存函数s(x)s(x)ACTUARYACTUARY如前所述，F(x)在0至间是单调递增函数，s(x)显然就是单调减函数了。4.2.2 4.2.2 剩余寿命剩余寿命T(x)T(x)ACTUARYACTUARY是指一个x岁的人在以后的t年生存的概率，即，一个新生儿在x岁仍生存的条件下在x+t年仍然生存的概率。而x岁的人生存t年后在今后的r年内死亡的概率为4.2.2 4.2.2 剩余寿命剩余寿命T(x)T(x)ACTUARYACTUARY【例【例4-1】：】：有兄弟三的年龄分别为10岁、12岁和15岁。试求：（1）他们都能够活到参加彼此的21岁生日聚会的概率？（2）老大生存到年龄最小的兄弟过18岁生日的概率是多少？（3）五年内年龄最大的死亡而年龄最小的仍生存的概率是多少？解：由题意可知所求概率分别为：4.2.2 4.2.2 剩余寿命剩余寿命T(x)T(x)ACTUARYACTUARY【例例4-2】：已知 求：（1）30岁的人生存到60岁的概率；（2）30岁的人活到了60岁但未能生存至70岁的概率4.2.3 4.2.3 死力死力ACTUARYACTUARY1.死力死力指年化的瞬间名义死亡概率，2.死力与生存函数的关系死力与生存函数的关系：对可结合利息力来理解。如上章所述，利息力实际是一种名义利率，是瞬间利率的年化值。死力也是，它是死亡概率的年化值，4.2.3 4.2.3 死力死力ACTUARYACTUARY式中，就是瞬时长度上的死亡概率，分母除以时间长度，实际就是将上述死亡概率进行了“年化”4.2.3 4.2.3 死力死力ACTUARYACTUARY4.2.3 4.2.3 死力死力ACTUARYACTUARY4.24.2.4 4 常见生存模型常见生存模型ACTUARYACTUARY生命表记载了同时出生的一个人群从出生到死亡的分布，但生命表的构造，需要基于大量的实际数据，以修匀技术最终得到不同的生命表。因此在实际应用中，对于给定的经验样本数据，需要分析哪些分布比较合适拟合这些数据。精算学家提出过不同的参数模型进行拟合，其中四种解析模型较为著名，常见的生存模型假设包括均匀分布生存模型（德谟伊芙模型1729模型）、指数分布生存模型、德谟伊芙（DeMoivre）模型、龚柏兹（Gompertze）模型、马克汉姆（Makeham）模型和威布尔（Weibull）模型等。4.24.2.4 4 常见生存模型常见生存模型ACTUARYACTUARY1德谟伊芙模型(1729)即均匀分布模型这种模型相对简单，其密度函数为：当时，就是长度区间表示最大寿命时，该模型就是生存模型。此时均匀分布的生存模型有以下性质：4.24.2.4 4 常见生存模型常见生存模型ACTUARYACTUARY4.24.2.4 4 常见生存模型常见生存模型ACTUARYACTUARY2指数分布模型指数分布模型在精算中称为“常数死力模型”，其生存函数与死力分别为：这种常数死力模型的假设，显然不适合描述生物的生命状态，因此通常用以非生物体（如机械、电子元器件等）的生存模型。与均匀分布类似，常数死力模型不适合用作长时间段的人类生存模型，但可以用于短时间段的近似模拟，比如一年内的非整数时间段的死亡分布等。4.24.2.4 4 常见生存模型常见生存模型ACTUARYACTUARY4.24.2.4 4 常见生存模型常见生存模型ACTUARYACTUARY3龚柏兹模型(1825)这是Gompertze于1825年在一篇精算论文中提出的，他假设死力以几何过程增长，其生存函数与死力分别为，其概率密度函数表达式比较复杂，分布的期望也不易求得。4马克汉姆模型(Makeham，1860)这种模型认为，死力虽然呈几何过程增长，但每一类生命生命开始之初死力受一个初始状态影响，这种初始状态与后续死力是迭加关系。其生存函数与死力分别为，这种模型的密度函数也不容易进行数学处理，计算概率、矩等数字特征也比较困难。4.24.2.4 4 常见生存模型常见生存模型ACTUARYACTUARY5.威布尔模型(1939)认为死力呈幂函数模式增长，且初始状态乘数影响死力增长。其生存函数与死力分别为，上述几种有关生命分布的解析模型，都是特定历史条件下提出的，虽然对人类生命状态的拟合不准确，但其提出对当时的精算工作都起了一定作用。实践当中到目前为止并没有找到非常合适的寿命分布拟合模型，上述四个常用模型的拟合效果都不令人满意，使用这些参数模型推测未来的寿命状况都会产生很大的误差。因此现在寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布，只有在非寿险领域，才经常采用参数模型拟合物体寿命的分布。ACTUARYACTUARY第第三三节节生命表概述生命表概述ACTUARYACTUARY生存函数描述的是有生命的总体生存寿命的概率分布。在这个总体中的每个个体都有各自的寿命，所有个体的寿命的组合便产生了总体的分布。但实际中，通过观察总体的经验值来确定分布函数是比较困难的。对于人类，死亡率的分布在不同年龄段是不同的，这些因年龄段不同而不同的死亡率，以生命表加以记载。生命表记载了同时出生的一个人群从出生到死亡的分布，但生命表的构造，需要基于大量的实际数据，以修匀技术最终得到不同的生命表。因此在实际应用中，对于给定的经验样本数据，需要分析哪些分布比较合适拟合这些数据。精算学家提出过不同的参数模型进行拟合，其中四种解析模型较为著名，常见的生存模型假设包括均匀分布生存模型（德谟伊芙模型1729模型）、指数分布生存模型、德谟伊芙（DeMoivre）模型、龚柏兹（Gompertze）模型、马克汉姆（Makeham）模型和威布尔（Weibull）模型等。第四章第四章 人口统计学与生命表简介人口统计学与生命表简介4.34.3.1 生命表及其分类生命表及其分类ACTUARYACTUARY记载一组人群从出生到死亡的时间内每个年龄段死亡规律的汇总表，称为生命表（又称死亡表Mortality table）。生命表通常是根据生存及死亡人数的历史统计而编制。根据不同的人口统计数据编制的生命表可以有不同的分类。1国民生命表与经验生命表国民生命表与经验生命表（1）国民生命表以某区域内政府所有的人口统计与死亡登记为基础编制而成的生命表，称为国民生命表。这种国民生命表因为描述的是某区域内所有民众的生命状态，因此不适用于人寿保险业。因为为保证公平合理，被保险人加入保险时，原则上必须经过体格检查，只有体检通过的被保险人，保险公司才会接受其投保，因此人寿保险业的客户对象，其人群特征与区域内所有人群的特征是不一致的。4.34.3.1 生命表及其分类生命表及其分类ACTUARYACTUARY（2）经验生命表如前所述，被保险人投保时需告知健康状况等，对被接受的投保人，保险公司对他们进行分类并确定适当费率。人寿保险业按照其经营能力，承保各类人员事故的要保。在此期间，保险人对被保险人要进行选择，而被保险则有逆选择存在，因此保险业经营过程中，会形成自己历年业务经验的死亡统计，这种依据保险业经营过程中自有客户的死亡统计而编制的生命表称为经验生命表。2选择表、终极表与混合表选择表、终极表与混合表保险经营过程中，必须对被保险人进行核保，要经过体检及健康状况调查，对被保险人分类后选择适当的费率。通过核保的被保险人健康水平平均要较一般人群高，这称为选择效应。但经过若干年后，这些人的健康水平逐步与普通人群相差不大，选择效应就消失了。经验生命表按照其依据的经验统计数据是否包含有核保效应的不同，分为选择表、终极表与混合表三种。4.34.3.1 生命表及其分类生命表及其分类ACTUARYACTUARY（1）选择表（Select Table）根据经历过体检的人口统计资料编制而成的经验表，称为选择表。该表除了年龄外，还有另一维度量指标，既投保险时间（也称经历时间）。比如一位30岁的被保险人今年投保（既进入选择表记录），其死亡率一定小于一位29岁投保并历经一年、今年已30岁的被保险人，而这二者的死亡率又小于一位28岁投保、投保时间已经两年从而今年也是30岁的被保险人。（2）终极表（Ultimate Table）根据选择效应消失后的经验资料编制而成的表，称为终极表。若选择效应为3年，则是根据被保险人投保3年后的资料而编制。假使投保年龄最低为20岁，则终极表的最早年龄为23岁。（3）混合表（Aggregate Table）：包括各种死亡统计，即根据发行保单后的几年以以后各年间的死亡记录编制而成。因此混合表中，凡达一定年龄的被保险人，均组合成一个保单组，再根据保单组的死亡经验编制混合表。4.34.3.1 生命表及其分类生命表及其分类ACTUARYACTUARYx选择表终极表200.00132 0.00156 0.00177 0.00191 23210.00135 0.00161 0.00182 0.00196 24220.00137 0.00164 0.00186 0.00200 25230.00139 0.00167 0.00190 0.00204 26240.00140 0.00169 0.00193 0.00208 27250.00140 0.00171 0.00196 0.00212 28260.00140 0.00173 0.00199 0.00217 29270.00141 0.00175 0.00203 0.00223 30280.00143 0.00179 0.00208 0.00230 31x选择表终极表201249147416701799232112751519171418432422129215441749187725231308157017831910262413151585180719442725131216011832197728261310161618562020292713161631188920713028133216651931213131x选择表终极表2094639494514594367194200123219447109434359419169402022422942944941652940108938359252394114393983593826593648226249392799379649363799345722725937373936061934460932628282693543393412393250793065129279334679321519305209286313028931488930156928491926560314.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY1生存数生存数表示自出生至满x岁时依然存活的人数。为连续函数，随年龄x增加而递减，但生命表中仅记载整数年龄。表示刚出生的人数，称为生命表的“基数”。由于精算关注的是同时出生的一批人的生命期内死亡规律，即各年龄的死亡规律，因此初始人数即基数并不重要，研究中可以任意取值，为方便，通常取10的整数幂。中国人寿经验生命表以1,000,000为基数，英国通常则以100,000为基数。是生命表的年龄上限，表示人口生命极限年龄，人口存活的最高年龄为-1。实际中人的寿命完全可能超过生命表记载的这个极限年龄。生存函数 为生存至x岁时的生存概率，因此所有 人在x岁时有 人仍生存，这就是x岁时的所有生存人数 ，所以 。4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY2.死亡数死亡数 与与表示x岁生存的人，在一年内死亡的人数，即中自x岁至x+1岁间死亡的人数，称为x岁的死亡数，因此生命的最高年龄以表示，因此死亡数曲线通常有如下图表示的规律。表示x岁生存的 人，在在xx+n岁之间死亡的人数。一般地，有 等式成立。生命表0岁的人数 经过一年后成为 ，在这一年中死亡的人数是 ，在1岁2岁的死亡人数为 ，依此类推，这也是生命表编制时运用的的简单的循环关系。由于在生命表最高年龄上存活人数为0，即l=0，因此，0岁存活人数等于各个年龄上死亡人数之和：4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY2.死亡数死亡数 与与4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY表示选择生命表中x岁投保的人当年的死亡率；表示x投保，已经过了n个保单年度、目前已经x+n岁的人当年的死亡率。4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY由于选择效果的存在，易理解，三者的关系为：即选择生命表中从左下到右上，死亡率是逐步提高的，直到选择效应消失。通常选择效力会随时间延长而逐渐消失，即n越大，和会趋于相等，这种选择效果存在的时间，称为选择期（SelectPeriod），选择期通常为五年。x选择表终极表200.00132 0.00156 0.00177 0.00191 23210.00135 0.00161 0.00182 0.00196 24220.00137 0.00164 0.00186 0.00200 25230.00139 0.00167 0.00190 0.00204 26x选择表终极表201249147416701799232112751519171418432422129215441749187725231308157017831910264.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY14.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY8整值平均余命或整整值平均余命或整 值生命期望值值生命期望值 、完全平均余命或完全生命期望值、完全平均余命或完全生命期望值 （1）表示现年x岁的人尚可再生存若干年的整数平均数，亦即每一个到达x岁的人，其今后尚可生存的平局年数。（2）假定死亡者都在年初死亡，则x岁后第一年全体生存年数为年，同理，第二年全体生存年数为年。依此类推，此x岁的人群总生存年数为：所以：。但是事实上此现象并不合理，因为不可能所有的人都在年初死去，假定一年中死亡数呈均匀分布，或可假定于年中死去，那么每人应该比假定年初死亡多活半年，此时并称此为完全生命期望值。4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY4.34.3.2 2 生命表函数生命表函数ACTUARYACTUARY【例4-9】根据上表中的死亡率经验数据，求：（1）60岁的人至少生存5年的概率？（2）60岁的人在65岁前死亡的概率？（3）60岁的人在63岁时死亡的概率？（4）估计解：（1）60岁的人至少生存5年的概率为：（2）60岁的人在65岁前死亡的概率为：（3）60岁的人在63岁时死亡的概率为：（4）由公式：得：4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARY通常生命表提供的只是整数年龄上的寿命分布，但有时我们需要分数年龄上的生存状况，既x岁的人再活t年，t非整数，在x+t时刻死亡的概率。通常做法是依靠相邻两个整数生存数据，选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况。估计的基本原理是，利用该分数年龄相邻两整数年龄的死亡率，插值计算该非整年龄的死亡概率。插值时需要假定该区间的死亡分布函数。常用假定有三种，包括死亡均匀分布假设、常数死亡力假设，和巴尔杜奇(Balducci)假设。1死亡均匀分布假设死亡均匀分布假设死亡均匀分布假定实际是假设各时点死亡人数成均匀分布（Assumptionofuniformdistributionofdeathovertheyearofage），即定义，因此这实际是一种最简单的线性插值假设。据此有：4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARY因此这实际是一种最简单的线性插值假设。据此有：A证明：B所以证明：4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARY证明：证明：CDT(x)的密度函数4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARY2常数死力假设既几何插值假设，生存函数在此假设下可以得到：的值为：4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARYCT(x)的密度函数D死力该值在x到x+1之间是一个常数，所以这种假设称为年龄间常数死力假设。4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARY4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARY4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARY4.34.3.3 3 非整数年龄的假设非整数年龄的假设ACTUARYACTUARY4.3.4 4.3.4 生命表的编制生命表的编制ACTUARYACTUARY，1.混合表的编制混合表的编制编制生命表通常假定有一个人口基数，如一千万，然后统计这一千万人不同年龄的死亡情况加以编制。但实际经营中不可能有同一年具正好有一千万人同时投保，也不可能逐年跟踪观察这一千万人的死亡人数。因此实际当中是考察所有投保人，分别记载其年龄，考察每个年龄的人数及各年龄的死亡人数，将空间数据转化为时间数据加以编制。假如以下三个数据均有足够大的样本量，就可以编制经验生命表了。这三个数据为：（1）被保险人各年龄的人数（2）考察的期间（3）一定期间内每一年中各年龄人数的死亡率1.比如刚出生人数20万人，年终死亡1022人，那么死亡率就是1022/200,000；一岁的人有50万人，年终死亡2091人则一岁的死亡率为2091/500,000，依此类推，就可以得到，就可以得到经验生命表。当然，实际编制生命表是一项较为复杂的工作，不仅要获得不同年龄人口生存死亡人数等详细样本，还需要用到修匀数学等专门知识，本教材在此不加赘述。4.3.4 4.3.4 生命表的编制生命表的编制ACTUARYACTUARY，1.比如刚出生人数20万人，年终死亡1022人，那么死亡率就是1022/200,000；一岁的人有50万人，年终死亡2091人则一岁的死亡率为2091/500,000，依此类推，就可以得到，就可以得到经验生命表。当然，实际编制生命表是一项较为复杂的工作，不仅要获得不同年龄人口生存死亡人数等详细样本，还需要用到修匀数学等专门知识，本教材在此不加赘述。4.3.4 4.3.4 生命表的编制生命表的编制ACTUARYACTUARY，2.选择表的编制选择表的编制假定选择期为三年，则编制过各如下：（1）首先由保险业统计经验数据得到由于选择期为3年，所以投保期过了三年的死亡率，就不再受选择效力的效应，既直接以表示既可，不需要专门标示。以表4-1数据为例，计算过程如下。4.3.4 4.3.4 生命表的编制生命表的编制ACTUARYACTUARY，4.3.4 4.3.4 生命表的编制生命表的编制ACTUARYACTUARY，4.3.4 4.3.4 生命表的编制生命表的编制ACTUARYACTUARY，【关键词】【关键词】生存函数，剩余寿命，死力，生命表，生存数，死亡数，死亡率，生存率，平均余命4.3.4 4.3.4 生命表的编制生命表的编制ACTUARYACTUARY，