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第4章频域分析法第1页，本讲稿共119页高阶系统的分析难以进行；高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。工作将无法进行。引言：时域分析的优点和局限优点 利用微分方程求解系统输出随时间变化的情况比较直观、准确、易于理解。缺点第2页，本讲稿共119页 易于实验分析；系统中存在难以用数学模型描述的某些元、部件时，可用实验方法求出系统的频率特性，进而对系统有效分析。可推广应用于某些非线性系统 （如含有延迟环节的系统）频域分析法（图解分析方法）频域分析法是进行系统稳定性分析、品质分析、系统设计的一种有效方法。根据开环频率特性来研究闭环系统的性能；无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性 能，并指明改进性能的方向；第3页，本讲稿共119页 一、一、一、一、频率响应的概念频率响应的概念频率响应的概念频率响应的概念设系统的传递函数：G(s)系统的稳态输出分量可写成：xi=AisintAi t稳定系统稳定系统xi=Aisintxo=Ao()sint+()()A0 0 xo=Ao()sint+()4.1 频率响应和频率特性频率响应和频率特性第4页，本讲稿共119页 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。即：稳定的系统对正弦输入的稳态响应，称为频率响应。频率响应的定义频率响应的定义CRx0(t)xi(t)举例举例：RC滤波网络滤波网络第5页，本讲稿共119页系统输出为：系统输出为：传递函数CRx0(t)xi(t)第6页，本讲稿共119页瞬态响应，随时间增加会衰减为0；稳态响应。第7页，本讲稿共119页频率响应的特点频率响应的特点稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的倍数；稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的倍数；相位比输入相位滞后一个角度。相位比输入相位滞后一个角度。稳态输出与输入相比，都是同频率的正弦函数，但幅稳态输出与输入相比，都是同频率的正弦函数，但幅值不同，相位不同。值不同，相位不同。稳态响应：第8页，本讲稿共119页 线性稳定系统在正弦信号作用下，当频率从零变化到无穷线性稳定系统在正弦信号作用下，当频率从零变化到无穷时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性，时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性，称为频率特性。称为频率特性。二、二、二、二、频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义幅值比幅值比频率特性定义频率特性定义频率特性定义频率特性定义:相位差相位差幅频特性幅频特性相频特性相频特性幅频特性、相频特性统称为频率特性对于上例，对于上例，第9页，本讲稿共119页 系统稳态正弦输出信号系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的与相应的正弦输人信号的幅幅值之比值之比随输入频率的变比而随输入频率的变比而变化的特性称为变化的特性称为幅频特性幅频特性，它描述了系统对输入信号幅它描述了系统对输入信号幅值的放大、衰减特性。值的放大、衰减特性。系统稳态正弦输出信号与系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相应的正弦输入信号的相位之相位之差差随输入频率的变化而变化的随输入频率的变化而变化的特性称为特性称为相频特性相频特性，它描述了，它描述了系统输出信号相位对输入信号系统输出信号相位对输入信号相位的超前、迟后特性。相位的超前、迟后特性。幅频特性幅频特性相频特性相频特性txi(t)x0(t)()Ai A0第10页，本讲稿共119页2.直接从传递函数求取直接从传递函数求取1.根据已知系统的微分方程，输入正弦信号，求其稳态解，取输出稳态分量的复数之比（幅值比、相位差）。三、三、三、三、频率特性的求取方法频率特性的求取方法频率特性的求取方法频率特性的求取方法3.实验法实验法第11页，本讲稿共119页 频率特性的求取举例频率特性的求取举例频率特性的求取举例频率特性的求取举例对于正弦输入xi(t)=Aisint，根据频率特性的定义：第12页，本讲稿共119页 解：解：求频率特性求频率特性例2：已知系统的传递函数，求系统的稳态输出。第13页，本讲稿共119页求稳态输出求稳态输出第14页，本讲稿共119页q 频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。q 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。q 应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱数。因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。几点说明:第15页，本讲稿共119页以RC滤波网络为例：q 频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率低时，系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率低时，系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率高时，系统输出幅值衰减近似为高时，系统输出幅值衰减近似为0 0，相位严重滞后，系统，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输入。控制系统具有不能跟踪、复现输入。控制系统具有低通滤波器特性低通滤波器特性。第16页，本讲稿共119页四、频率特性的图解方法介绍四、频率特性的图解方法介绍四、频率特性的图解方法介绍四、频率特性的图解方法介绍频率特性的主要图解方法极坐标图Nyquist图对数坐标图Bode图 Nichols图第17页，本讲稿共119页1.1.奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)图（极坐标图）图（极坐标图）U():实频特性ReImG(j)IG(j)IU()V()()()(UVarctg=)()()(22VUA+=在复平面上，随（0）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。V():虚频特性第18页，本讲稿共119页2.2.波德波德(Bode)(Bode)图（对数频率特性图）图（对数频率特性图）（1）对数幅频特性图横坐标：以横坐标：以1010为底的对数分度表示的角频率为底的对数分度表示的角频率 单位单位 rad/s rad/s或或HzHz纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20 倍，即：（2）对数相频特性图横坐标：同上在实际工程中计算不方便，故取：纵坐标：线性分度，频率特性的相角第19页，本讲稿共119页十倍频程2.2.波德波德Bode图的坐标系图的坐标系 注：在实际标注时，横坐标以标注，其意义还是代表以10为底的对数分度表示的角频率。频率变化十倍称为一个十倍频程，对应横坐标的间隔距频率变化十倍称为一个十倍频程，对应横坐标的间隔距离为一个单位记为离为一个单位记为decade或简写为或简写为dec 第20页，本讲稿共119页一、一、比例环节比例环节 4.2 典型环节的频率特性图典型环节的频率特性图传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=K+j0=Kej0对数幅频特性：L()=20lgK幅频特性：A()=K相频特性：()=00对数相频特性：()=第21页，本讲稿共119页比例环节的频率特性图：Bode Diagram (rad/sec)()L()/(dB)-20020406010-1100101102-180-900 90 180 0ReImNyquist图图A()=K()=00 L()=20lgK第22页，本讲稿共119页二、惯性环节二、惯性环节 传递函数：频率特性：相频特性：()=-arctgT幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：()=-arctgT第23页，本讲稿共119页 惯性环节的惯性环节的Nyquist图图 Nyquist Diagram1/20ReIm 1=0=G(j)=1/T第24页，本讲稿共119页 惯性环节的惯性环节的Bode图图 对数幅频特性：对数相频特性：转折频率1/T渐近线第25页，本讲稿共119页 惯性环节的惯性环节的Bode图图 横坐标变换横坐标变换1转折频率第26页，本讲稿共119页 惯性环节的惯性环节的Bode图图 横坐标变换横坐标变换2转折频率第27页，本讲稿共119页q 渐近线误差-4-3-2-100.1110惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线dB第28页，本讲稿共119页转折频率1/T渐近线实际幅频特性实际幅频特性第29页，本讲稿共119页三、三、一阶微分环节一阶微分环节 对数相频特性：()=arctg传递函数：频率特性：对数幅频特性：幅频特性：相频特性：()=arctg第30页，本讲稿共119页三、一阶微分环节0ReImarctg1 一阶微分环节的一阶微分环节的Nyquist图图 第31页，本讲稿共119页 一阶微分环节的一阶微分环节的Bode图图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数(设：=T)，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。三、一阶微分环节惯性环节幅频特性：一阶微分环节幅频特性：惯性环节相频特性：()=-arctgT一阶微分环节相频特性：()=arctg第32页，本讲稿共119页0 10 203090450L()/(dB)()Bode Diagram转折频率实际幅频特性渐近线20dB/dec一阶微分环节的Bode图第33页，本讲稿共119页四四、积分环节、积分环节 Nyquist图0ReIm第34页，本讲稿共119页 积分环节的积分环节的Bode图图 -40-200200.1110100L()/(dB)()Bode Diagram20dB/dec四、积分环节 第35页，本讲稿共119页五五、振荡环节振荡环节 传递函数：频率特性：实频特性：虚频特性：幅频特性：相频特性：第36页，本讲稿共119页幅频特性：相频特性：Nyquist Diagram=0.1=0.2-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3=n-=1800901010)()(TA1.1.二阶振荡环节的二阶振荡环节的Nyquist图图 第37页，本讲稿共119页幅频特性：相频特性：Nyquist Diagram=0.1=0.2-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3=n1.1.二阶振荡环节的二阶振荡环节的Nyquist图图 第38页，本讲稿共119页2.2.振荡环节的振荡环节的Bode图图 q 对数幅频特性第39页，本讲稿共119页振荡环节振荡环节波德波德Bode图图 q 对数相频特性q 对数幅频特性第40页，本讲稿共119页q 对数幅频特性的实际Bode图第41页，本讲稿共119页五 振荡环节-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)=0.1=0.2=0.3=0.7=1.0-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec=0.1=0.2=0.3=0.7=1.0渐近线Bode Diagram转折频率=0.5=0.5第42页，本讲稿共119页 振荡环节在不同振荡环节在不同值时的修正曲线值时的修正曲线 -8-40481216200.1110=0.05=0.10=0.15=0.20=0.25=0.30=0.35=0.40=0.80=0.90=1.00=0.50=0.60=0.707/nError (dB)由图可见，当由图可见，当 较小时，由较小时，由于在于在=n 附近存在谐振，幅附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，较大的误差，越小，误差越越小，误差越大。大。当当0.38 1时，时，N=1/2=p/2，系统闭环稳定；当，系统闭环稳定；当k0的频率段内。的频率段内。正穿越N+：相位增大；负穿越N-：相位减小。第92页，本讲稿共119页在开环对数坐标图上，在所有在开环对数坐标图上，在所有L()0的频段内，相频的频段内，相频特性曲线穿越特性曲线穿越180线的次数线的次数正、负穿越次数之差正、负穿越次数之差N+N-=P/2，则闭环系统稳定。，则闭环系统稳定。P为开环右极点数。为开环右极点数。（1）开环稳定，即）开环稳定，即P=0时，幅值交界频率小于相位交界频时，幅值交界频率小于相位交界频率，则系统闭环稳定。率，则系统闭环稳定。0ReIm 2.Bode判据 第93页，本讲稿共119页（1）开环稳定，若幅值交界频率=相位交界频率，则系统闭环临界稳定。Bode判据 0ReIm第94页，本讲稿共119页（1）开环稳定，若幅值交界频率大于相位交界频率，则系统闭环不稳定。Bode判据 0ReIm第95页，本讲稿共119页（2）开环不稳定，即开环不稳定，即P P00时，时，N+N-=P/2，则系统稳定。，则系统稳定。图图 中，中，N+=0，N-=2，所以，所以，N+N-P/2，系，系统闭环不稳定。统闭环不稳定。图 中，N+=2，N-=1，所以，N+N-=2-1=P/2，系统闭环稳定。+第96页，本讲稿共119页在在系统设计中，不仅要求系统稳定，而且还希望系统具系统设计中，不仅要求系统稳定，而且还希望系统具备适当的的稳定性储备备适当的的稳定性储备即即裕量。裕量。0ReIm 根据最小相位系统的开环传递函数的频率特性与(-1，j0)点的位置情况，系统是否稳定也分为：闭环稳定：闭环稳定：G(j)H(j)不包围不包围 (-1，j0)点。点。六、稳定性裕量对于开环稳定的系统：因此，用曲线接近因此，用曲线接近 (-1，j0)点的程度来衡量系统稳定裕量点的程度来衡量系统稳定裕量的大小的大小相对稳定性。相对稳定性。临界稳定：临界稳定：G(j)H(j)通过通过 (-1，j0)点。点。闭环不稳定：闭环不稳定：G(j)H(j)包围包围 (-1，j0)点。点。第97页，本讲稿共119页0ReIm习惯上用相位裕量（度）和幅值裕量（度）来表征开环幅相曲线接近临界点的程度，作为系统稳定程度的度量。六、稳定性裕量1.相位裕量（度）在在c上，使系统达到不稳定的边上，使系统达到不稳定的边缘（临界稳定）所需要附加的滞后角缘（临界稳定）所需要附加的滞后角度度(相位滞后量），称为相位裕量。相位滞后量），称为相位裕量。相位裕量为正，系统稳定。相位裕量为负，系统不稳定。第98页，本讲稿共119页0ReIm幅值裕量为正，系统稳定。幅值裕量为负，系统不稳定。在相位交界频率上，使开环幅在相位交界频率上，使开环幅值达到值达到1 1所需放大的倍数。所需放大的倍数。2.幅值裕量（度）第99页，本讲稿共119页0Im03.Bode图上的幅值裕量和相位裕量第100页，本讲稿共119页已知系统的开环传递函数如下：1.写出系统的组成。2.绘制系统的开环Bode图，并标明各种频率和斜率。3.分析系统的稳定性。解：1.系统组成比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节例：系统开环包括了五个典型环节，分别为：第101页，本讲稿共119页转折频率：4=0.5 转折频率：5=10 2.绘制Bode图第102页，本讲稿共119页Bode Diagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100 245=10 第103页，本讲稿共119页几点说明：（1）控制系统的幅值裕量和相位裕量，是极坐标图对(-1，j0)点靠近程度的度量。故可用作设计准则。（2）对于最小相位系统，只有幅值裕量和相位裕量都是正值时，系统才是稳定的。（3）为了得到满意的性能，第104页，本讲稿共119页第105页，本讲稿共119页 系统的动态性能，在频域中分析时，可以用频域指标来评价。系统动态性能的频域指标分为闭环频域性能指标和开环频域性能指标。闭环系统的幅频特性4.4 系统动态性能的频域指标系统动态性能的频域指标 一、闭环频域性能指标与时域指标的关系1.闭环频域特征量零频幅值零频幅值 表示频率接近于0时，系统输出的幅值与输入幅值之比。零频值越接近1，系统的稳态误差越小。第106页，本讲稿共119页复现频率复现频率闭环幅频特性值与零频值之差第一次达到闭环幅频特性值与零频值之差第一次达到的频率值。的频率值。谐振频率谐振频率指系统产生峰值时对应的频率。指系统产生峰值时对应的频率。谐振峰值谐振峰值指在谐振频率处对应的幅值。指在谐振频率处对应的幅值。闭环系统的幅频特性截止频率截止频率第107页，本讲稿共119页2.闭环频域主要性能指标 二阶系统可以求出频域和时域指标之间严格的数学关系：3.闭环频域指标与时域指标的关系 阻尼比是联系两者的桥梁 Mp和和Mr都随着阻尼比的增大而减都随着阻尼比的增大而减小。因而，随着小。因而，随着Mr增加，相应的增加，相应的Mp也也增大增大其物理意义：当闭环幅频特性其物理意义：当闭环幅频特性有谐振峰时，输入信号频谱在有谐振峰时，输入信号频谱在=r附附近的谐波分量通过系统后显著增强，从近的谐波分量通过系统后显著增强，从而引起振荡。而引起振荡。第108页，本讲稿共119页 当当一定时，截止频率正比于系统无阻尼自然频率，一定时，截止频率正比于系统无阻尼自然频率，因此无阻尼自然频率愈大，截止频率也就愈大，即带宽因此无阻尼自然频率愈大，截止频率也就愈大，即带宽愈大，响应愈快。但带宽过大，系统抗高频干扰的性能愈大，响应愈快。但带宽过大，系统抗高频干扰的性能下降，所以带宽也不宜过大。下降，所以带宽也不宜过大。（2）截止频率一般来说，如果系统闭环谐振峰值Mr愈高，时域响应的振荡性愈强；如果系统的带宽愈宽，即截止频率愈大，则时域响应的快速性愈好，系统复现输入信号的能力也愈强。第109页，本讲稿共119页 求开环频率特性比求闭环频率特性方便，而且在最小相位系统中，幅频特性和相频特性之间有唯一确定的对应关系，因此工程上常用开环对数频率特性来分析和设计系统。二、开环频域性能指标与时域指标的关系1.开环频域性能指标开环截止频率（幅值交界频率）开环截止频率（幅值交界频率）幅值裕量（度）幅值裕量（度）相位裕量（度）相位裕量（度）第110页，本讲稿共119页 与与系系统统无无阻阻尼尼自自然然频频率率成成正比，描述响应快速性。正比，描述响应快速性。相位裕度（量）相位裕度（量）幅值裕度（量）幅值裕度（量）描述系统相对稳定性。描述系统相对稳定性。2.开环频域性能指标与时域性能指标的关系第111页，本讲稿共119页通常分为三个频段来加以分析中频段通常是指折线对数幅频特性中频段通常是指折线对数幅频特性c前后转折频率之间的一前后转折频率之间的一段。有人认为是段。有人认为是L()从从+30dB降到降到-15dB的一段。的一段。三、频域分析的特点时域响应的动态指标主要由中频段的形状决定。低频段一般是指折线对数幅频特低频段一般是指折线对数幅频特性在第一个转折频率以前性在第一个转折频率以前 的频段。的频段。系统的稳态指标主要是由这个频段系统的稳态指标主要是由这个频段幅频特性的高度和斜率所决定的。幅频特性的高度和斜率所决定的。第112页，本讲稿共119页 所以对时域响应的快速性所以对时域响应的快速性要求可以反映在对开环截止频要求可以反映在对开环截止频率率c大小的要求上。大小的要求上。当斜率为当斜率为-40dB/dec时，相位裕量的值趋近时，相位裕量的值趋近0，系统趋于临界，系统趋于临界稳定状态，甚至系统不稳。为了使系统稳定，且有足够的稳定裕稳定状态，甚至系统不稳。为了使系统稳定，且有足够的稳定裕量，一般希望中频段的斜率为量，一般希望中频段的斜率为-20dB/dec，且有足够的宽度。，且有足够的宽度。频域分析的特点系统的系相位裕量主要系统的系相位裕量主要取决于中频段即开环截止频取决于中频段即开环截止频率率c处的斜率。处的斜率。高频段是指中频段以后的频段高频段是指中频段以后的频段高频段的斜率与系统抗干扰性能有关。第113页，本讲稿共119页四、最优模型1.二阶系统的最优模型2.三阶系统的最优模型三阶系统的最优模型第114页，本讲稿共119页稳定的系统对正弦输入的稳态响应稳定的系统对正弦输入的稳态响应频率响应。频率响应。系统频率特性是系统在频域中的数学模型，能够反映系统动态过程的性能，它和传递函数有着直接而重要的关系。系统频率特性由幅频特性和相频特性两部分组成。1.频率特性的基本概念频率特性的基本概念小结 系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性；系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入领率的变化而变化的特性称为相频特性。稳定系统的频率特性可以通过实验测定。第115页，本讲稿共119页（1 1）Nyquist（奈奎斯特）图（奈奎斯特）图极坐标图极坐标图 以频率为参变量，在复平面上，画出以频率为参变量，在复平面上，画出由由0时的向量时的向量G(j)的端点连线图。的端点连线图。（2 2）Bode（博德）图（博德）图对数坐标图对数坐标图 它由两张图组成：对数幅频特性、对数相频特性它由两张图组成：对数幅频特性、对数相频特性 熟练掌握典型环节的Nyquist图和Bode图的绘制。（3 3）系统开环频率特性）系统开环频率特性 Nyquist（奈奎斯特）图绘制的方法（奈奎斯特）图绘制的方法 Bode（博德）图绘制的方法（博德）图绘制的方法2.频率特性的图示方法3.频域稳定性判据频域稳定性判据（1）奈奎斯特稳定性判据）奈奎斯特稳定性判据 如果系统开环稳定那么，系统闭环稳定的充分必要条件是：如果系统开环稳定那么，系统闭环稳定的充分必要条件是：G(j)不包围（不包围（-1,j0)点；点；第116页，本讲稿共119页（2）对数频率稳定性判据 如果系统开环不稳定（设有如果系统开环不稳定（设有p个右根），那么，系统闭环稳个右根），那么，系统闭环稳定的充分必要条件是：定的充分必要条件是：G(j)正方向（正方向即逆时针方向）包正方向（正方向即逆时针方向）包围（围（-1,j0)点点p/2次。次。在开环对数坐标图上，在所有在开环对数坐标图上，在所有L()0的频段内，相频的频段内，相频特性曲线穿越特性曲线穿越180线的次数线的次数正、负穿越次数之差正、负穿越次数之差N+N-=P/2，则闭环系统稳定。，则闭环系统稳定。P为开环右极点数。为开环右极点数。若系统开环稳定，则系统闭环稳定的充分必要条件是：幅值交界频率小于相位交界频率；若幅值交界频率等于相位交界频率，系统闭环临界稳定；若幅值交界频率大于相位交界频率，系统闭环不稳定；第117页，本讲稿共119页4.稳定性裕量 在系统设计中，不仅要求系统稳定，而且还希望系统具在系统设计中，不仅要求系统稳定，而且还希望系统具备适当的的稳定性储备备适当的的稳定性储备即裕量。习惯上用相位裕量（度）即裕量。习惯上用相位裕量（度）和幅值裕量（度）来表征开环幅相曲线接近临界点的程度，和幅值裕量（度）来表征开环幅相曲线接近临界点的程度，作为系统稳定程度的度量。作为系统稳定程度的度量。5.频域性能指标（1）闭环频域性能指标（2）开环频域性能指标与时域性能指标的关系第118页，本讲稿共119页作业P1694-2 a)4-74-12第119页，本讲稿共119页