相似矩阵和矩阵.pptx

会计学1相似矩阵和矩阵相似矩阵和矩阵记为ABAB存在可逆矩阵P，使n n定义415 设A、B均是n阶方阵，若存在n n 可逆矩阵P，使 n n P-1AP=Bn n 则称B是A的相似矩阵，n n 或称矩阵A与B相似。P-1AP=B第1页/共19页n n例如：对取 ，所以AB则 ，即P可逆第2页/共19页2、对称性：若AB，则BA 3、传递性：若AB，BC，则AC1、反身性：AA相似矩阵的性质因为：若P-1AP=B，则A=(P-1)-1B P-1因为：若P-1AP=B，Q-1BQ=C，则C=Q-1BQ因为：E-1AE=AQQ-1=(P Q)-1 A(PQ)=Q-1 P-1AP Q第3页/共19页n n定理49 若n阶方阵A与B相似，则A与Bn n 有相同的特征值证明：由A与B相似，存在可逆矩阵P使 P-1AP=BB的特征多项式=即A与B有相同的特征多项式所以 A与B有相同的特征值=A的特征多项式第4页/共19页证明：由于A与相似，A与有相同的特征值相似,则1,2,n是A的n个特征值定理410 若n阶方阵A与对角阵由知：1,2,n是的n个特征值所以，1、2、n是A的n个特征值重要结论第5页/共19页n n定义4.16 设A为n阶方阵,若存在对角阵,使 n n AA n n 则称 A 可对角化A可对角化的充要条件是：存在对角阵及可逆矩阵PP-1AP=使 P-1AP=成立第6页/共19页定理411 n阶方阵A可对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量。证明：必要性 由于A可对角化，要证A有n个线性无关的特征向量及可逆矩阵P存在对角阵，使 P-1AP=下证 就是A的n个线性无关的特征向量第7页/共19页对角阵及可逆阵使 P-1AP=首先，由P可逆知，AP=P且由AP=P，即 P=即 是方程 的非零解 是A的属于 的特征向量所以A有n个线性无关的特征向量第8页/共19页充分性：设A有n个线性无关的特征向量,要证A 设Pi是属于特征值i的特征向量证明：则有 A Pi=i Pi（i=1,2,n）,则P可逆且对角阵,所以A 第9页/共19页A=推论：若n阶方阵A有n个不同的特征值 1,2,n,则A可对角化,且证明：取特征值i 的一个特征向量即A有n个线性无关的特征向量所以，A可对角化。且A=第10页/共19页证明：补充定理：若n阶方阵A 的ki重特征值i对应 有ki个线性无关的特征向量 ,则A可对角化。设1,2,m是A的所有不同特征值i为ki重特征值取向量组：该向量组由n个特征向量构成，且线性无关所以A可对角化第11页/共19页判断一个n阶方阵能否对角化的方法：（1）若A的特征值都是单根，即 A 则A一定可对角化：对每一个特征值i,取其一个特征向量第12页/共19页（2）若A的ki重特征值i对应有ki个线性无 关的特征向量 则A可对角化，且且取P=(),即 A 第13页/共19页n n【例1】判断P176例1中的矩阵能否对角化 且1=-1对应的特征向量为2=7对应的特征向量为取解 因为二阶方阵A有两个不同的特征值，所以A可对角化，,即 A 第14页/共19页【例2】判断P177例2中的矩阵能否对角化解 三阶方阵A的特征值为：1=2，2=3=1 属于1=2的线性无关的特征向量为属于2=3=1的线性无关的特征向量为二重一个所以A不能对角化第15页/共19页【例3】判断P177例3中的矩阵能否对角化解 三阶方阵A的特征值为：1=-2，2=3=7 属于2=3=7的线性无关的特征向量为：属于1=-2的线性无关的特征向量为一重一个二重二个所以A可对角化。且取则有，即 A 第16页/共19页【例4】设方阵A与对角阵相似，求x,y.其中：解：的特征值为：1=5,2=y,3=-4由AA与有相同的特征值所以A的特征值为：1=5,2=y,3=-4由于第17页/共19页A的特征值为：1=5,2=y,3=-4将3=-4带入,解得 x=4由1+2+3=a11+a22+a33第18页/共19页