随机变量的数字特征与特征函数幻灯片.ppt
随机变量的数字特征与特征函数第1页，共44页，编辑于2022年，星期三4.1 4.1 数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数学特征，它对评判事物、做出决策等具有重要作用。P138例1定义：定义：设设X为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为 或均值，记为或均值，记为E(X)或或EX.即：即：例：产品价值的评判连续型r.v.的数学期望XB(n,p),E(X)=?X(),E(X)=?第2页，共44页，编辑于2022年，星期三二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望设设X是是连连续续型型随随机机变变量量，其其密密度度函函数数为为f(x),在在数数轴轴上上取取很很密密的的点点x0 x1x20,D(Y)0，称，称为随机变量为随机变量X和和Y的相关系数，有时也记为的相关系数，有时也记为相关系数的性质：相关系数的性质：二维r.v.是协方差，那，n维r.v.呢？第18页，共44页，编辑于2022年，星期三三、协差阵三、协差阵n维随机变量的重要数字特征是协差阵。定义：定义：设设(X(X1 1,X,X2 2,，X Xn n)为为n n维随机变量，且维随机变量，且则称矩阵则称矩阵为为n n维随机变量维随机变量(X(X1 1,X,X2 2,，X Xn n)的协差阵。的协差阵。第19页，共44页，编辑于2022年，星期三4.5 特征函数特征函数一、特征函数的定义一、特征函数的定义1.复随机变量复随机变量如果随机变量如果随机变量X X和和Y Y都是实值随机变量，则称都是实值随机变量，则称E=X+E=X+iY Y为为复复(值值)随机变量，其中随机变量，其中i为虚单位。为虚单位。2.特征函数的定义特征函数的定义设设X是是(实值实值)随机变量，则对任意实数随机变量，则对任意实数t，称为随机称为随机 变量变量X的特征函数，其中的特征函数，其中i为虚单位。为虚单位。离散型r.v.和连续型r.v.的特征函数第20页，共44页，编辑于2022年，星期三3.离散型随机变量的特征函数离散型随机变量的特征函数设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为则则X 的特征函数为的特征函数为4.连续型随机变量的特征函数连续型随机变量的特征函数设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度的概率密度f(x)，则，则X的特征函数为的特征函数为 XB(n,p)，特征函数=?X服从泊松分布，特征函数=?X服从均匀分布，特征函数=?特征函数的性质第21页，共44页，编辑于2022年，星期三二、特征函数的性质二、特征函数的性质 性质5:特征函数与矩的关系第22页，共44页，编辑于2022年，星期三或或用特征函数计算矩用特征函数计算矩求导数求导数比较简便。比较简便。用定义计算矩用定义计算矩求级数或积分求级数或积分比较繁琐。比较繁琐。P171例6特征函数与分布函数的关系第23页，共44页，编辑于2022年，星期三四、特征函数与分布函数的关系四、特征函数与分布函数的关系则对则对f(x)的连续点的连续点x1,x2，有，有有定理可见，随机变量的分布函数与特征函数是以一对应的，因此特征函数同样可以完整地描述一个随机变量。Z在概率论中，概率分布于特征函数的一一对应性，是特征函数应用的理论基础。定理定理4.5.2：设随机变量：设随机变量X的分布函数为的分布函数为 ，特征函数为，特征函数为定理定理4.5.24.5.2：随机变量：随机变量X X的分布函数被它的特征函数唯一地确定。的分布函数被它的特征函数唯一地确定。第24页，共44页，编辑于2022年，星期三例例1:一盒晶体管一盒晶体管100支支,其直流放大倍数其直流放大倍数值与相应的个数如下：值与相应的个数如下：的平均值的平均值：一般，若随机变量一般，若随机变量X X的分布律为的分布律为则则X的平均值为的平均值为 第25页，共44页，编辑于2022年，星期三例例某种产品每件表面上的疵点数服从参数某种产品每件表面上的疵点数服从参数的泊松分布的泊松分布,若规定疵点数不超过若规定疵点数不超过 1 个为一等品个为一等品,值值 10 元元;疵点数大于疵点数大于 1 个不多于个不多于 4 个为二等品个为二等品,价值价值 8 元元;疵点数超过疵点数超过 4 个为废品个为废品,求求:(1)产品的废品率产品的废品率;(2)产品价值的平均值产品价值的平均值.解解设设代表每件产品上的疵点数代表每件产品上的疵点数,由题意知由题意知价价价价因为因为所以产品的废品率为所以产品的废品率为第26页，共44页，编辑于2022年，星期三设设代表产品的价值代表产品的价值,那么那么 的概率分布为的概率分布为:所以产品价值的平均值为所以产品价值的平均值为第27页，共44页，编辑于2022年，星期三例例4(p139):设设XB(n,p)，求，求E(X).解：解：如果求和中没有k，则求和结果为1（概率的归一性）。希望把k取掉。先具体化组合数求和结果为1(概率归一性)也可用另一法求得此结果，见p150例6第28页，共44页，编辑于2022年，星期三例例2(p138):设设X(),试求试求E(X).解：解：X的分布律的分布律 后面还可利用特征函数的性质来求得此EX，见p171例6.第29页，共44页，编辑于2022年，星期三例例8 随机变量随机变量X的分布律如下，的分布律如下，解：解：第30页，共44页，编辑于2022年，星期三解：解：用分部积分法第31页，共44页，编辑于2022年，星期三例例10 假设市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量假设市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位为吨单位为吨)，它在，它在2000,4000内服从均匀内服从均匀分布，又设每售出这种商品分布，又设每售出这种商品1吨可为国家挣得外汇吨可为国家挣得外汇3万元，但若销售部出去而囤积于仓库，则每吨需浪费保万元，但若销售部出去而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费养费1万元。问应组织多少货源才能使国家平均收益最大？万元。问应组织多少货源才能使国家平均收益最大？解：以解：以代表某年准备出口此种产品的数量，代表某年准备出口此种产品的数量，Y为国家收益，则为国家收益，则X的概率密度为：的概率密度为：在准备货源为在准备货源为X吨时，国家平均收益为：吨时，国家平均收益为：第32页，共44页，编辑于2022年，星期三教材有误(2000)可见，当组织货源可见，当组织货源=3500吨时，国家平均收益吨时，国家平均收益E(Y)最大。最大。教材有误(300)第33页，共44页，编辑于2022年，星期三解：由于解：由于X,Y独立同分布服从独立同分布服从N(0,1)，所以，所以X,Y的联合概率密度为的联合概率密度为第34页，共44页，编辑于2022年，星期三例例12 将不同地址的将不同地址的N封信随机地装入写有相应的封信随机地装入写有相应的N个不同地址的信封中个不同地址的信封中去，求碰对地址信件数的数学期望。去，求碰对地址信件数的数学期望。解：令解：令X为碰对地址的信件数。又令为碰对地址的信件数。又令第第i封信碰对信封的概率为封信碰对信封的概率为可见，平均来说，可见，平均来说，N封信里只有封信里只有1封信能碰对地址。封信能碰对地址。第35页，共44页，编辑于2022年，星期三例例:设设XB(n,p)，求，求E(X).解：题中的解：题中的 X是是n此试验中此试验中A(出现概率为出现概率为p)出现的次数。令出现的次数。令 显然，显然，独立同分布于参数为独立同分布于参数为p的二点分布，即的二点分布，即Xi的分布律为的分布律为 第36页，共44页，编辑于2022年，星期三契比雪夫不等式契比雪夫不等式此不等式称为契比雪夫不等式。此不等式称为契比雪夫不等式。契比雪夫不等式是概率论诸多不等式中基本和重要的一个，从它可以看出，方差越小，随机变量的取值就以越大的概率集中在数学期望的附近，方差的大小确实刻画了随机变量取值相对于数学期望的分散程度。第37页，共44页，编辑于2022年，星期三契比雪夫不等式的证明契比雪夫不等式的证明 第38页，共44页，编辑于2022年，星期三例例1(p155)1(p155)：X X和和Y Y的联合分布律及边缘分布律如下表，求的联合分布律及边缘分布律如下表，求cov(X,Y).cov(X,Y).解：根据协方差的公式解：根据协方差的公式答答案案第39页，共44页，编辑于2022年，星期三例例2(p155):设设(X,Y)在三角形区域在三角形区域内服从均匀分布，试求内服从均匀分布，试求cov(X,Y).解：由题作出解：由题作出D如图。显然，如图。显然，D的面积为的面积为1/2,故故(X,Y)的概率密度为的概率密度为第40页，共44页，编辑于2022年，星期三例例2(p169):设设XB(n,p)，即，即 则则X的特征函数为的特征函数为例例3(p169):设设X服从泊松分布，即服从泊松分布，即 则则X的特征函数为的特征函数为公式第41页，共44页，编辑于2022年，星期三例例4(p169):设设X服从区间服从区间a,b上的均匀分布，即上的均匀分布，即X的概率密度为的概率密度为 则则X的特征函数为的特征函数为第42页，共44页，编辑于2022年，星期三例例6(p171):设设X()，利用特征函数求，利用特征函数求EX,EX2,DX.解：已知解：已知X()下下X的特征函数为的特征函数为再结合特征函数的性质再结合特征函数的性质5可见，求得的EX与当初用数学期望定义所得的结果一致，但当初涉及积分，现只需求导。第43页，共44页，编辑于2022年，星期三第44页，共44页，编辑于2022年，星期三
