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会计学1系统工程原理系统工程原理127夏昊翔夏昊翔第第9章章 系统的静态模型与分析系统的静态模型与分析n n系统的静态模型n n静态模型及建立方法静态模型及建立方法n n静态模型举例静态模型举例生产函数模型、生产函数模型、投入产出模型投入产出模型n n系统的静态分析n n系统的静态优化n n线性规划线性规划n n目标规划目标规划第1页/共37页9.1 系统的静态模型系统的静态模型前面讲了系统的结构模型。结构模型描述系统中包含哪些要素、要素之间的关系是什么。对一个系统更深入的研究还应该研究系统内部各种数量关系。例如一个企业，其结构模型需要描述这个企业由哪些部门构成，哪个部门与哪个部门通过业务相互关联。同时还应该研究，企业每年的投入是多少、利润有多少、投入在各个部门是怎么分配的、怎样的投入分配能够产生更大的利润，等等。这种数量关系的基本描述：系统系统输入输入X输出输出Y环境环境第2页/共37页1、静态模型、静态模型根据系统输入输出的描述，可以从系统静态和动态两个层面来考察系统。系统静态系统相对静止的状态，系统的变量不随时间变化。系统静态模型反映系统变量在静态下关系的模型。系统静态意味着输入和输出变量都和时间无关，因此系统静态模型一般可以表示为代数方程或者代数方程组：y=f(x)其中y为输出向量，x为输入向量；在线性情况下，可表示为y=Ax+b第3页/共37页2、静态模型的建立、静态模型的建立u对于复杂的大系统，一般是分解成子系统或单元，先写出它们的数学表达式，然后再进行合并，形成整个系统的模型。u对于工程科学，有不少分解和描述的方法，如电力系统、控制系统等；u在生物学、生态学中，分解出来的单元称为房室。如研究森林中的食物链；u对工业、经济系统，可划分生产分配单元。u这种单元小到一个生产装置，大到一个车间、工厂、行业。总是有输入、有输出，先对它加以描述，再按生产顺序加以联接，合并出系统的模型方程。第4页/共37页静态模型的建模步骤第5页/共37页n n建模的主要工作有两部分：建模的主要工作有两部分：n n1 1）单元的描述）单元的描述把系统分成若干个小的单把系统分成若干个小的单元（车间、装置、地区元（车间、装置、地区)；n n2 2）流的分析）流的分析研究各单元的联系，组成系研究各单元的联系，组成系统的模型（结构模型起作用）。统的模型（结构模型起作用）。n n1 1）通过）通过2 2）加以连接，最终形成系统的数学）加以连接，最终形成系统的数学描述。描述。n n列列写写静静态态模模型型方方程程的的基基础础是是各各种种平平衡衡方方程程，这这些些平平衡衡方方程程的的基基础础则则是是质质量量守守恒恒和和能能量量守守恒。恒。第6页/共37页静态模型的静态模型的具体的建模过具体的建模过程程1）单元的描述：分析每一个单元的流入流出的平衡关系。以一个由n个单元构成的生产系统为例。研究其中的第i个单元。以变量xi表示该单元的状态；以fij和Ii分别表示来自系统内部第j个单元以及系统外部的输入流的流量；分别以fji和foi表示该单元流向系统内部的第j个单元以及流向外部的输出流流量。对单元i，根据物料平衡关系，有：第7页/共37页为把单元i的活动水平在平衡方程中显式地表示出来，令aij=fij/xj，aji=fji/xi，aoi=foi/xi，则上式可变换为：对每个单元的流入流出通过上述方程进行描述。这些方程在整体上构成了系统的单元描述。作为整个系统的描述，进而还必须建立起流的平衡关系。2）流的匹配与平衡：物质生产系统中，各单元的联系主要是物流。一个活动的某种输出，分配给其它单元，同样也需要来自其它单元的输入维持其活动。第8页/共37页系统中流的平衡方程系统中流的平衡方程u如果我们把系统的各物流加以分析，可以看到每种物流都应保持一种平衡关系。u如研究系统中某流j的输入、输出关系。第9页/共37页u流j的输入是单元i的产出fji，流j的输出分别是单元l和单元k的输入flj和fkj。那么，对该流来说显然有ufji-flj-fkj=0，或者ajixialjxjakjxk=0u如果在整个系统中有多个单元产生物料j，又有多个单元需要j物料维持其活动，那么对物流j的平衡关系为j=1，najixi-j=1，naijxj=0u这里所说的匹配，是指按物流名建立平衡关系，每种物流只有一个与之对应的平衡方程，不同单元的同名输入、输出流应在同一个物流平衡方程中。u3）根据需要，建立描述型模型（仿真模型）或规范型模型（优化模型）。单元模型和流平衡模型综合起来构成了系统的静态模型。系统中流的平衡方程系统中流的平衡方程第10页/共37页系统静态模型举例系统静态模型举例系统静态模型举例系统静态模型举例1 1：生产函数模型生产函数模型生产函数模型生产函数模型任何生产过程都是一定的社会、经济、技术条件下，一组投入要素转化为产出的过程的，生产函数表达的正是这个过程中投入与产出的关系。一般说来，生产函数描述多种投入与一种产出的关系。最初的生产函数模型：Y=F（K，L）即产出（Y）与投入的资本（K）及劳力（L）之间的关系。生产系统资本劳力经济产出知识第11页/共37页n n生产函数中最简单的一种是单因素生产函数，即生产函数中最简单的一种是单因素生产函数，即生产函数中最简单的一种是单因素生产函数，即生产函数中最简单的一种是单因素生产函数，即只有一个自变量只有一个自变量只有一个自变量只有一个自变量X X的生产函数，在研究单一生产的生产函数，在研究单一生产的生产函数，在研究单一生产的生产函数，在研究单一生产要素的产出效果时很有用：要素的产出效果时很有用：要素的产出效果时很有用：要素的产出效果时很有用：n nY=aY=a0 0+a+a1 1X X 线性型线性型线性型线性型n nY=aY=a0 0+a+a1 1X-aX-a2 2X X2 2 平方型平方型平方型平方型n nY=aY=a0 0X X 幂型幂型幂型幂型n nY=aY=a0 0-K-Ka1X a1X 指数型指数型指数型指数型n n重要的生产函数都是多变量型的重要的生产函数都是多变量型的重要的生产函数都是多变量型的重要的生产函数都是多变量型的n nCobb-DouglasCobb-Douglas生产函数：生产函数：生产函数：生产函数：n nY=AKY=AK L L 第12页/共37页生产函数模型（生产函数模型（2）生产函数一般是自变量的连续函数，通常满足的假设条件对于生产函数y=f(x1,x2,xn)1）任何一种资源缺乏都会使产出为零，即当任意xi=0(i=1,2,n),f(x1,x2,xn)=02）任何资源增加都不会使产出减少，即：3）边际效益递减，即随着资源投入的增加，产出增长率逐步降低：4）规模报酬可以是任意的。第13页/共37页规模报酬：生产的投入要素成比例增加时，产出变化的大致趋势。有三种情况：若 规模报酬不变若 规模报酬递增若 规模报酬递减生产函数模型（生产函数模型（3）第14页/共37页n n由美国经济学家由美国经济学家列昂捷夫列昂捷夫（W.LeontiefW.Leontief）提出提出n n投投入入产产出出法法中中的的“投投入入”和和“产产出出”都都有有其其特特定定的的含含义。义。n n投入投入从事一项经济活动的消耗从事一项经济活动的消耗从事一项经济活动的消耗从事一项经济活动的消耗n n是是指指一一个个部部门门在在生生产产或或经经营营中中消消耗耗的的一一定定数数量量的的生生产产资资料料(包包括括原原材材料料、辅辅助助材材料料、燃燃料料、动动力力、固固定定资资产的磨损等产的磨损等)和劳动者提供的劳动。和劳动者提供的劳动。n n产出产出从事经济活动的结果从事经济活动的结果从事经济活动的结果从事经济活动的结果n n是是指指各各部部门门生生产产的的产产品品，以以及及它它被被分分配配使使用用于于生生产产消消费、生活消费、积累和出口等各个去向。费、生活消费、积累和出口等各个去向。系统静态模型举例系统静态模型举例2：投入产出投入产出投入产出投入产出模型模型第15页/共37页u投入产出数学模型通过编制投入产出表，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。u按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。u投入产出模型应用生产与分配互相平衡的原理，来预测未来一定期限内国民经济对各种产品的需要量及其发展速度和比例关系。u其基本模型如表51所示。第16页/共37页第17页/共37页 投入产出表描述了各经济部门在某个时期投入产出表描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。它的的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；表示某部门的产出；列表示某部门的投入。如表表示某部门的投入。如表5.1中第一行中第一行x1表表示部门示部门1的总产出水平，的总产出水平，x11为本部门的使用为本部门的使用量，量，x1j(j=1,2,n)为部门为部门1提供给部门提供给部门j的使用的使用量，各部门的供给最终需求（指积累和消费的总和量，各部门的供给最终需求（指积累和消费的总和,包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为yj(j=1,2,n)。这几个方面投入的总和代表了这这几个方面投入的总和代表了这个时期的总产出水平。个时期的总产出水平。新增价值指国民收入的价值构成，包括劳动报酬和社会纯收入新增价值指国民收入的价值构成，包括劳动报酬和社会纯收入(V十十M)两个部分。两个部分。第18页/共37页 流量 产出投入消耗部门最终需求总产出消费 累计 出口合计生产部门新创价值工 资纯收入合 计总投入投入产出表基本形式（价投入产出表基本形式（价值型）值型）第19页/共37页消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915总产出1020885616328330第20页/共37页n n从左到右：从左到右：从左到右：从左到右：中间需求最终需求总产出中间需求最终需求总产出中间需求最终需求总产出中间需求最终需求总产出 n n从从模模型型的的水水平平方方向向看看，说说明明了了各各生生产产部部门门的的产产品品在在生生产产性性消消耗耗、非非生生产产性性消消费费以以及及社社会会积积累累方方面面的的分分配配，即即产产品的经济用途。品的经济用途。n n部门生产构成部门生产构成n n式式中中x xijij表表示示第第j j个个消消耗耗部部门门所所消消耗耗的的第第i i个个生生产产部部门门的的产产品价值品价值y yi i为第为第i i个部门最终产品的价值。个部门最终产品的价值。第21页/共37页n n从上到下：从上到下：从上到下：从上到下：中间消耗净产值总投入中间消耗净产值总投入中间消耗净产值总投入中间消耗净产值总投入n n从从从从模模模模型型型型的的的的垂垂垂垂直直直直方方方方向向向向看看看看，说说说说明明明明了了了了各各各各部部部部门门门门产产产产品品品品的的的的价价价价值值值值构构构构成成成成，包括物化劳动的转移价值与新创造的价值包括物化劳动的转移价值与新创造的价值包括物化劳动的转移价值与新创造的价值包括物化劳动的转移价值与新创造的价值(国民收入国民收入国民收入国民收入)。n n其数学方程为其数学方程为其数学方程为其数学方程为n ni=1i=1i=1i=1，n n n nx x x xij ij ij ij+Z+Z+Z+Zj j j j=X=X=X=Xj j j j，j=1,j=1,j=1,j=1,n,n,n,nn n部门生产的价值构成部门生产的价值构成部门生产的价值构成部门生产的价值构成n n式中式中式中式中 Z Z Z Zj j j j =V=V=V=Vj j j j+M+M+M+Mj j j j 为为为为第第第第j j j j个个个个消消消消耗耗耗耗部部部部门门门门新新新新创创创创造造造造的的的的价价价价值值值值（即即即即劳劳劳劳动动动动报酬加社会纯收入）。报酬加社会纯收入）。报酬加社会纯收入）。报酬加社会纯收入）。n n对任一部门（对任一部门（对任一部门（对任一部门（i=ji=ji=ji=j）有：）有：）有：）有：n nj=1j=1j=1j=1，n n n nx x x xij ij ij ij+y+y+y+yi i i i=i=1i=1i=1i=1，n n n nx x x xij ij ij ij+Z+Z+Z+Zj j j j第22页/共37页n n对所有对所有对所有对所有n n n n个部门：个部门：个部门：个部门：n ni=1i=1i=1i=1，n n n nj=1j=1j=1j=1，n n n nx x x xij ij ij ij+y+y+y+yi i i i=j=1j=1j=1j=1，n n n n i=1i=1i=1i=1，n n n nx x x xij ij ij ij+Z+Z+Z+Zj j j j ，整理，则有整理，则有整理，则有整理，则有n ni=1i=1i=1i=1，n n n n y y y yi i i i=j=1j=1j=1j=1，n n n n（V V V Vj j j j+M+M+M+Mj j j j）n n最终产品等于国民收入最终产品等于国民收入最终产品等于国民收入最终产品等于国民收入n n定义直接消耗系数定义直接消耗系数定义直接消耗系数定义直接消耗系数n na a a aijijijij=x=x=x=xijijijij/X/X/X/Xj j j j （i i i i，j=1j=1j=1j=1，2 2 2 2，,n,n,n,n）n n它它它它的的的的经经经经济济济济意意意意义义义义是是是是生生生生产产产产单单单单位位位位产产产产品品品品j j j j所所所所消消消消耗耗耗耗的的的的产产产产品品品品i i i i的的的的数数数数量量量量。代入上式，整理，得：代入上式，整理，得：代入上式，整理，得：代入上式，整理，得：n nj=1j=1j=1j=1，n n n na a a aij ij ij ij X X X Xj j j j+y+y+y+yi i i i=X=X=X=Xi i i i，i=1,i=1,i=1,i=1,n,n,n,nn ni=1i=1i=1i=1，n n n na a a aij ij ij ij X X X Xj j j j+（V V V Vj j j j+M+M+M+Mj j j j）=X=X=X=Xj j j j，j=1,j=1,j=1,j=1,n,n,n,nn n写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式,即即即即第23页/共37页n nAX+Y=XAX+Y=Xn nSX+SX+（V+MV+M）=X=Xn nA A是是直直接接消消耗耗系系数数矩矩阵阵。A=aA=aijij nnnn,i,j=1,i,j=1,n,n,n nS Snnnn=dig=digi=1i=1，n na aikik k=1,k=1,n,nn n投入产出模型主要应用于编制计划，特别是投入产出模型主要应用于编制计划，特别是编制中长期计划。编制中长期计划。n n投入产出模型在经济分析中也得到了广泛的投入产出模型在经济分析中也得到了广泛的应用，它可以用来研究国民经济中的很多重应用，它可以用来研究国民经济中的很多重要比例关系，研究宏观经济效益，进行经济要比例关系，研究宏观经济效益，进行经济预测或分析采取某项政策所带来的影响等等。预测或分析采取某项政策所带来的影响等等。第24页/共37页n n它也可以用于地区和部门以至于企业的经济分析。它也可以用于地区和部门以至于企业的经济分析。n n企业也可利用企业的投入产出模型反映企业内部企业也可利用企业的投入产出模型反映企业内部各分广、各车间各产品之间的生产联系，对于大各分广、各车间各产品之间的生产联系，对于大批量生产、加工分阶段进行、有复杂的工艺联系、批量生产、加工分阶段进行、有复杂的工艺联系、生产设备专业化的企业，投入产出模型是制订生生产设备专业化的企业，投入产出模型是制订生产计划的有效辅助工具。产计划的有效辅助工具。n n投投入入产产出出模模型型还还可可以以用用来来研研究究各各部部门门生生产产发发展展后后，三三废废(废废气气、废废液液、废废碴碴)的的生生成成量量，这这在在研研究究环环境系统时是很有用的。境系统时是很有用的。n n也也可可以以用用来来分分析析各各部部门门生生产产发发展展后后对对水水资资源源或或能能量的需求。量的需求。第25页/共37页9.2 系统的静态分系统的静态分析析n n系系统统的的静静态态分分析析（边边际际分分析析）是是研研究究系系统统在在静静态态下下，一一定定的的输输入入引引起起输输出出怎怎样样改改变变，或或要要求求一一定定的的输输出出，需要在系统上施加什么样的输入。需要在系统上施加什么样的输入。n n有有时时也也研研究究系系统统结结构构与与参参数数对对系系统统输输入入输输出出之之间间的的关系有什么影响。关系有什么影响。n n生产函数模型的静态分析生产函数模型的静态分析以生产函数模型为例，通常需要分析投入要素的改变对于产出要素的影响。第26页/共37页规模效益分析规模效益分析前面介绍生产函数模型的时候提出了规模效益（规模报酬）的概念。事实上，规模效益的分析是系统静态分析的一个重要方面。假设当各个投入要素xi都增加为原来的倍，产出函数f 有如下性质：f(x1,x2,xn)=kf(x1,x2,xn)。k大于、等于、小于1分别对应于规模效益递增、不变、递减的情况。第27页/共37页边际分析边际分析边际分析用于分析单位投入的变化对于产出的意义。为简化起见，用单变量生产函数作说明。假设在某一点(x,y),投入增加x，相应的产出变化为y。y/x 称为边际产出称为边际产出M，当x0，这个比值成为y对于x的导数：M=df(x)/dx。根据这一导数大于、等于或小于0，可以分析生产函数的边际效益。yxyx第28页/共37页资源替代性分析资源替代性分析在多种投入的生产函数中，有时需要分析资源的替代性。为了达到同样的产出，可以有不同的投入组合。资源可以替换。考虑二元的情况，假设系统为y=f(x1,x2)。这样，对应于y为常数的情况，可以在x1,x2平面上画出x1与x2的关系曲线，即等y值线。x2x1在等y值线中，dy=0,因此：令：有：边际替代率，代表两种资源相互替代的比值，恰好是两者边际产出之比。负号表示一增一减。第29页/共37页9.3 系统的静态系统的静态优化模优化模型型n n最小的努力，最大的效果最小的努力，最大的效果n n在在现现实实中中常常常常需需要要处处理理系系统统在在静静态态下下怎怎样样保保持持最最佳佳工工作状态的问题，这就是系统的静态优化问题。作状态的问题，这就是系统的静态优化问题。n n一、线性规划问题一、线性规划问题一、线性规划问题一、线性规划问题n n1 1 1 1、问题与例子、问题与例子、问题与例子、问题与例子 n n静态优化问题：静态优化问题：n n已知某系统的某一目标函数已知某系统的某一目标函数 f f（x x），求），求MaxMax（MinMin）f f（x x）n n满足约束：满足约束：g gi i（x x）=0=0i=1,2,i=1,2,.p.pn nhhj j（x x）0j=1,2,0j=1,2,.,q.,qn nLPLP：f f（x x）、）、g gi i（x x）、）、h hj j（x x）均为线性的。）均为线性的。第30页/共37页线性规划问题例：线性规划问题例：n n某某一一生生产产单单位位，生生产产两两种种产产品品：甲甲与与乙乙，如如果果它它们们的的日日产产量量分分别别为为x x1 1与与x x2 2，甲甲产产品品每每件件耗耗用用原原材材料料两两个个单单位位，乙乙产产品品每每件件耗耗用用三三单单位位，而而日日供供应应原原料料量量为为100100单单位位。甲甲产产品品每每件件加加工工工工时时为为4 4小小时时，乙乙产产品品为为2 2小小时时，每每日日可可用用工工时时为为120120。甲甲产产品品价价值值6 6元元，乙乙产产品品价价值值4 4元元。试试问问应应如如何何安安排排生生产产(即即x x1 1与与x x2 2各各应应为为多多少少)，才能使日产值最大，才能使日产值最大?n n将上述条件用数学关系式表示将上述条件用数学关系式表示:第31页/共37页n n目标函数 z=6 x1十4 x2 取极大值；n n原料限制 2 x1十3 x2100；n n工时限制 4 x1十2 x2120；n n非负条件 x1，x2O第32页/共37页线形规划问题例（线形规划问题例（2）n n调运问题：调运问题：n n有有m m个个工工厂厂生生产产同同样样产产品品，产产品品要要运运输输到到n n个个供供应应点点去去，每每个个工工厂厂的的产产量量S Si i(i=1(i=1，2 2，m)m)、每每个个供供应应点点的的需需求求量量d dj j(j(jl,l,n),n)都都是是一一定定的的。从从第第i i个个工工厂厂把把一一件件产产品品运运到到第第j j个个供供应应点点的的运运费费是是c cij ij，试试问问每每个个工工厂厂应应向各个供应点调运多少产品，才能使总的运费最低向各个供应点调运多少产品，才能使总的运费最低?这个问题要求：min z i=1，mj=1，nCijxij s.t j=1，nxij Si(生产能力限制)i=1，mxij dj(保证供应量)其中xij(0)是从第i个工厂发往第j个供应点的产品数。第33页/共37页n n任务指派问题：任务指派问题：n n某某施施工工队队有有大大小小不不同同的的m m台台汽汽车车吊吊车车，可可以以派派往往n n个个施施工工观观场场(nm)(nm)去去工工作作，每每个个现现场场只只能能有有一一台台吊吊车车工工作作。如如果果在在某某一一段段施施工工期期间间，第第i i个个吊吊车车在在第第j j个个现现场场工工乍乍，可可以以创创造造产产值值w wijij。(w wijij随随吊吊车车i i不不同同与与现现场场j j不不同同而而有有数数值值上上的的不不同同)，试试问问该该施施工工队队应应如如何何指指派派吊吊车车，即即派派哪哪些些吊吊车车去去哪哪个个现现场场工工作作多多长长时时间间(一一段段施施工工期期间间的的几几分分之之几几)，才能使创造的总产值最大，才能使创造的总产值最大?n n用用x xijij表表示示第第i i台台吊吊车车在在第第j j个个现现场场工工作作的的相相对对时时间间(总总施施工期的百分数工期的百分数)，则：，则：Max z Max z i=1i=1，m mj=1j=1，n nw wijijx xijijn nSt St j=1j=1，n nx xijij 1(1(吊车生产能力限制吊车生产能力限制)n n i=1i=1，m mx xijij 1(1(现场限制现场限制)线形规划问题例（线形规划问题例（3）第34页/共37页n n混合问题：混合问题：n n例例如如汽汽油油调调合合、饲饲料料混混配配。试试以以饲饲料料混混合合问问题题为为例例，有有n n种种原原料料，各各含含有有不不同同的的m m种种养养分分，第第j j种种原原料料含含有有第第i i种种养养分分的的量量是是a aijij，配配出出的的混混合合饲饲料料对对各各种种养养分分的的最最低低含含量量要要求求为为b bi i(i(i1 1，2 2，m)m)，现现在在问问各各原原料料应应占占多多少少成成分分(百百分分数数)，才才能能在在保保证证养养分分的的情情况况下下使使成成本本最低最低(每种原料的成本是每种原料的成本是c cj j)?)?n n目标函数：目标函数：z=z=j=1j=1，n nc cj jx xj j取极小值取极小值n nSt St j=1j=1，n na aijijx xj jbbi i(i(i1 1，2 2，m)m)n n x xj j0(j0(j1 1，2 2，n)n)线形规划问题例（线形规划问题例（4）第35页/共37页规划模型小结规划模型小结n n规划问题的目标：规划问题的目标：n n最大：产值、利润、利用率、产量等；最大：产值、利润、利用率、产量等；n n最最小小：花花费费的的原原料料、燃燃料料、劳劳动动力力、占占用用机机器时间、机器磨损、占用资金、占用场地等；器时间、机器磨损、占用资金、占用场地等；n n约约束束条条件件：生生产产能能力力、资资金金、原原材材料料、需需要要、物物料料平平衡衡、能能量量平平衡衡、质质量量要要求求、产产量量要要求求，等。等。n n建立模型，就是适当选择：建立模型，就是适当选择：n n目标函数；目标函数；n n约束条件。约束条件。第36页/共37页