线性代数41向量组的线性相关性.pptx
会计学1线性代数线性代数41向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、一、一、一、n n n n 维向量的概念维向量的概念维向量的概念维向量的概念分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，默认为实向量1.1.定义定义：第1页/共38页例如n n维实向量维实向量n n维复向量维复向量第1个分量第n个分量第2个分量第2页/共38页2 2 2 2、n n n n 维向量的表示方法维向量的表示方法维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：第3页/共38页注意注意注意注意行向量和列向量总被看作是两个不同的行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；向量；行向量和列向量都按照矩阵的运算法则行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量都当作列向量.第4页/共38页3 3、向量的几何意义：、向量的几何意义：、向量的几何意义：、向量的几何意义：d.d.四维以上向量集合，无具体几何意义四维以上向量集合，无具体几何意义.叫做 维向量空间叫做 维向量空间 中的 维超平面a.a.一维一维向量集合向量集合-数轴；数轴；b.b.二维向量集合二维向量集合-平面；平面；c.c.三维向量集合三维向量集合-空间；空间；第5页/共38页4.4.4.4.特殊向量（与矩阵类比可知）特殊向量（与矩阵类比可知）特殊向量（与矩阵类比可知）特殊向量（与矩阵类比可知）a.a.零向量：零向量：b.b.负向量：负向量：c.c.n n 维维单位坐标向量组：单位坐标向量组：第6页/共38页思考题思考题思考题思考题比如一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用 在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述.比如平均成绩、总学分等，维数还将增加答36维的如果我们还需要考察其它指标，第7页/共38页5 5 5 5.向量组：向量组：向量组：向量组：若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组组.行向量组行向量组 列向量组列向量组 默认为列向量组默认为列向量组 有限个向量有限个向量 无限个向量无限个向量 先讨论有限个向先讨论有限个向量量mm个个n n维列向量构成向量维列向量构成向量组组称为向量组称为向量组，或者称为向量组，或者称为向量组A A,或者称为向量组或者称为向量组第8页/共38页6 6 6 6.有限个有限个有限个有限个向量的向量组与矩阵一一对应向量的向量组与矩阵一一对应向量的向量组与矩阵一一对应向量的向量组与矩阵一一对应行向量组列向量组第9页/共38页7 7、线性方程组的向量表示：、线性方程组的向量表示：、线性方程组的向量表示：、线性方程组的向量表示：线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对应应第10页/共38页二、二、二、二、向量的运算向量的运算向量的运算向量的运算 转置、相等、加法、数乘、乘法；转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律运算律例：设例：设 求求（特殊矩阵特殊矩阵）解解第11页/共38页三、三、三、三、线性组合与线性表示线性组合与线性表示线性组合与线性表示线性组合与线性表示定义定义，对于任何一组实数给定向量组，称向量为向量组A的线性组合线性组合.，称为线性组合的系数.第12页/共38页称称可由可由线性表示线性表示.若若不存在系数不存在系数给定向量组给定向量组A A：若若存在一组系存在一组系数数使得使得成立，则称成立，则称是是的一个线性的一个线性组合组合和向量和向量不能由不能由线性表示线性表示.称称使（使（*）成立）成立第13页/共38页能否线性表示，只需看能否线性表示，只需看注：注：能找到实数组能找到实数组能表示；能表示；找不到找不到则不能表示则不能表示.是否成立是否成立第14页/共38页举例：举例：举例：举例：（1 1）零向零向量量线性表示线性表示；（2 2）能由能由线性表示线性表示；（3 3）中任何一个向量中任何一个向量线性表示线性表示；都能都能由由能由能由第15页/共38页(4)(4)设设判判断断线性表示线性表示.能否由能否由 解：设解：设即即线性表示线性表示.不能由不能由不存在不存在,第16页/共38页线性表示判定方法线性表示判定方法线性表示判定方法线性表示判定方法向量向量有解；其中能由能由线性表示线性表示第17页/共38页 解一解一：设：设(5)(5)设设判断判断线性表示线性表示.能否由能否由即即线性表示线性表示能由能由，且表示方式唯一，且表示方式唯一第18页/共38页 解二解二：设：设即即线性表示线性表示能由能由(5)(5)设设判断判断线性表示线性表示.能否由能否由第19页/共38页已知向量向量组问向量b能否由向量组 A 线性表示?(6)(6)设设 解解：设：设第20页/共38页因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.第21页/共38页证明：向量b 能由向量组并求出表示式.线性表示，(7)(7)设设证明证明 令第22页/共38页故方程即的解为第23页/共38页四、向量组的四、向量组的线性线性线性线性表示与等价表示与等价定义定义两个向量组两个向量组若向量组若向量组 B B 中每个向量都可由向量组中每个向量都可由向量组A A 线性线性表示表示，则，则称向量组称向量组B B 能由向量组能由向量组 A A 线性表示线性表示.若向量组若向量组 B B 与向量组与向量组 A A 能能相互相互线性表示线性表示，则称向量组则称向量组 B B 与向量组与向量组A A等价等价.第24页/共38页使得存在数向量组向量组B B 能由向量组能由向量组A A 线性表示线性表示，即对每个向量若记第25页/共38页从而矩阵矩阵称为线性表示的称为线性表示的系数矩阵系数矩阵第26页/共38页向量组向量组B B 能由向量组能由向量组A A 线性表示线性表示B B 中每个向量都可由向量组中每个向量都可由向量组A A 线性表线性表示示存在系数矩阵存在系数矩阵K K，使得使得B=AKB=AK矩阵方程矩阵方程AX=BAX=B有解有解R R(A A)=R=R(A A,B B)向量组向量组B B 与向量组与向量组A A 等价等价矩阵方程矩阵方程AX=BAX=B和和BY=ABY=A都有解都有解R R(A A)=R=R(A A,B B)=)=R R(B B)第27页/共38页举例举例举例举例能由但不等价.线性表示，(1)(1)与等价.(2(2)第28页/共38页已知向量组证明：向量组A与向量组B等价.和(3(3)证证：令第29页/共38页因此向量组A与向量组B等价.第30页/共38页 证：证：(4(4)第31页/共38页五、矩阵乘法与向量组的线性表示关系五、矩阵乘法与向量组的线性表示关系五、矩阵乘法与向量组的线性表示关系五、矩阵乘法与向量组的线性表示关系说明：矩阵说明：矩阵C C的列向量组的列向量组能由矩阵能由矩阵A A的列向量组的列向量组线性表示，表示的系数矩阵为线性表示，表示的系数矩阵为B B.第32页/共38页说明：矩阵说明：矩阵C C的行向量组的行向量组能由矩阵能由矩阵B B的行向量组的行向量组线性表示，表示的系数矩阵为线性表示，表示的系数矩阵为A A.第33页/共38页六、矩阵等价与向量组等价关系：六、矩阵等价与向量组等价关系：六、矩阵等价与向量组等价关系：六、矩阵等价与向量组等价关系：第34页/共38页第35页/共38页七、方程组的线性表示与等价：七、方程组的线性表示与等价：已知方程组已知方程组A A和方程组和方程组B B，对方程组对方程组A A的各个方程做线性运算得到的方程的各个方程做线性运算得到的方程称为方程组称为方程组A A的一个线性组合；的一个线性组合；若方程组若方程组B B的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组A A的线性组合的线性组合就称方程组就称方程组B B能由方程组能由方程组A A线性表示，线性表示，都是都是B B的解；的解；此时此时A A的解的解若方程组若方程组A A与方程组与方程组B B能相互线性表示，能相互线性表示，两个方程组等价；两个方程组等价；就称这就称这等价的方程组一定同解等价的方程组一定同解.第36页/共38页八、与方程组有解等价的命题八、与方程组有解等价的命题八、与方程组有解等价的命题八、与方程组有解等价的命题线性方程组 有解向量向量b b能由向量组能由向量组线性表示线性表示向量组向量组与与向量组向量组等价等价矩阵矩阵矩阵矩阵与与秩相等秩相等第37页/共38页
