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机器人技术机器人技术第三章 机器人坐标系统 张远辉张远辉 机械电子所机械电子所 20144/17/20231第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 机器人是个复杂的运动系统，它的每一个机器人是个复杂的运动系统，它的每一个动作都是各个元部件共同作用的结果。动作都是各个元部件共同作用的结果。4/17/20232第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.1 位置与姿态位置与姿态 3.2 正交坐标系正交坐标系 3.3 运动坐标表示运动坐标表示 3.4 齐次坐标变换齐次坐标变换 3.5 机器人坐标系统机器人坐标系统 为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。4/17/20233第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统要要全全面面地地确确定定一一个个物物体体在在三三维维空空间间中中的的状状态态需需要要有有三三个个位位置置自自由由度度和和三三个个姿姿态态自自由由度度。前前者者用用来来确确定定物物体体在在空空间间中中的的具具体体方方位位，后后者者则则是是确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。如如果果H H为为手手坐坐标标系系，用用以以描描述述手手的的姿姿态态，那那再再加加上上手手的的位位置置就就构成了手的位姿。构成了手的位姿。3.1 位置与姿态位置与姿态 一一般般姿姿态态的的描描述述可可以以用用横横滚滚（Roll）、俯俯仰仰（Pitch）和和侧侧摆摆（Yaw）三轴的转角来实现。）三轴的转角来实现。绕坐标系绕坐标系H H各轴转动各轴转动yawProllpitchHXHZHYH4/17/20234第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统从二维坐标系说起从二维坐标系说起BHP如果已知P点在H坐标系下的坐标为1,1T,则P在B下的坐标?4/17/20235第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统BHP坐标系重合的情况（旋转）4/17/20236第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统正交基之间的变换4/17/20237第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统带入后坐标写成列向量4/17/20238第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统旋转矩阵R4/17/20239第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统仅仅只有平移BHPH坐标系的原点，在B坐标系中的坐标是a,bT，则4/17/202310第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统仅仅只有平移BHP4/17/202311第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统先平移+后旋转BHH4/17/202312第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统先旋转+后(相对于B平移a,b)BHB4/17/202313第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统有加法和乘法-整合4/17/202314第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.2 正交坐标系正交坐标系3.2.1 正交坐标系及矢量的基础知识正交坐标系及矢量的基础知识 右右图图是是所所谓谓的的正正交交坐坐标标系系B(x,y,z)B(x,y,z)，用用来来表表示示机器人的基坐标，机器人的基坐标，其其中中 ,分分别别是是三三个个坐标轴的单位向量坐标轴的单位向量。B B系系中中有有另另外外一一个个坐坐标标系系H H（x xH，yH，zH），用用来来表示手坐标表示手坐标,其其中中 ,分分别别是是H系系三个坐标轴的单位向量。三个坐标轴的单位向量。zyxBHHzHxHyanoijkP端点端点P P相对于机器人手坐标系相对于机器人手坐标系H H及基座坐标系及基座坐标系B B的定位的定位4/17/202315第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.2.1.1 正交坐标系的性质正交坐标系的性质 单位矢量单位矢量 ,在基坐标系中可表示为在基坐标系中可表示为 根根据据矢矢量量点点积积和和叉叉积积的的性性质质，对对于于相相互互正正交交的的单单位位矢矢量量，有有 对于单位矢量对于单位矢量,也有同样的性质。也有同样的性质。4/17/202316第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 令矩阵令矩阵R称为正交坐标变换矩阵。称为正交坐标变换矩阵。当用列向量表示单位矢量时，有当用列向量表示单位矢量时，有于是，变换矩阵于是，变换矩阵R可以表示为：可以表示为：当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有4/17/202317第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 正交坐标变换矩阵正交坐标变换矩阵R R的性质的性质 显然显然由上式可得由上式可得 从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。于是可得于是可得1-=RRT4/17/202318第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.2.1.3 正交坐标变换矩阵的几何意义正交坐标变换矩阵的几何意义,上式可写成上式可写成其中其中 考虑到考虑到 上上式式表表明明正正交交坐坐标标变变换换矩矩阵阵R实实现现了了由由手手坐坐标标系系H到到基基坐坐标标系系B的的正正交交坐坐标标变变换换，它它可可以以将将一一组组3个个相相互互正正交交的的单单位位矢矢量量变变换换为为另另一一组组3个个相相互互正正交交的的单单位位矢矢量量，每每一一组组单单位位矢矢量量均均代代表表了了一一个个正正交交坐坐标标系系。这这也也说说明明了了将将矩矩阵阵R称称为为正正交交坐坐标标变变换换矩矩阵阵的的原原因因。在在机机器器人人学学中中经经常常要要用用到到这这种种正正交交坐标变换。坐标变换。4/17/202319第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.2.2 位置的描述位置的描述 一一旦旦建建立立起起一一个个坐坐标标系系，我我们们就就可可以以用用3 3维维的的位位置置矢矢量量来来确确定定该该空空间间内内任任一一点点的的位位置置 。其其中中，x x、y y、z z是是p p点点在在笛笛卡卡尔尔坐坐标标系系的的三三个个坐坐标标轴轴上上坐坐标标分分量量。用用这这种种方方法法可可以以很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。姿态的描述姿态的描述 物物体体的的姿姿态态可可由由某某个个固固接接在在物物体体上上的的坐坐标标系系来来描描述述。设设在在空空间间中中除除了了有有参参考考坐坐标标系系B B外外，还还有有物物体体质质心心上上的的一一个个笛笛卡卡尔尔正正交交坐坐标标系系H H，且且H H系系与与此此物物体体的的空空间间位位置置关关系系是是固固定定不不变变的的，那那么么就就可可以以H H系系的的三三个个坐坐标标轴轴的的单单位位矢矢量量相相对对于于B B系系的的方方向向来来表表示示H H系和系和B B系的姿态。系的姿态。4/17/202320第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统4/17/202321第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 假设假设 为为H H坐标系中某轴的单位向量，即它在坐标系中某轴的单位向量，即它在B B坐标系的方坐标系的方向可以向可以 与与B B系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图。系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图。因此正交坐标变换矩阵因此正交坐标变换矩阵R R为一方向余弦矩阵，也被称之为为一方向余弦矩阵，也被称之为旋转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。旋转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。故有故有 根据前面的推导可得根据前面的推导可得jlgxyzkBllalbi 矢量的方向矢径表示矢量的方向矢径表示4/17/202322第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.3 运动坐标表示运动坐标表示 平动的坐标表示平动的坐标表示 设设手手坐坐标标系系H H与与基基坐坐标标系系B B具具有有相相同同的的姿姿态态，但但H H系系坐坐标标原原点点与与B B系系的的原原点点不不重重合合。用用矢矢量量 来来描描述述H H系系相相对对于于B B系系的的位位置置（如如右右图图所所示示），称称 为为H H系系相相对对于于B B系系的的平平移移矢矢量量。如如果果点点p p在在H H系系中中的的位位置置为为 ，那那么它相对于么它相对于B B系的位置矢量系的位置矢量可由矢量相加得出，即可由矢量相加得出，即称其为称其为坐标平移方程坐标平移方程。r0rHxPHzyxHyHzBpr 表示移动的坐标变换表示移动的坐标变换4/17/202323第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 下下面面以以绕绕z z轴轴转转动动 角角为为例例来来研研究究绕绕坐坐标标轴轴转转动动某某个个角角度度的的表表示示法法。设设H系系从从与与B系系相相重重合合的的位位置置绕绕B系系的的z轴轴转转动动角角，H系系与与B系系的的关关系系如如右图所示。右图所示。3.3.2 转动的坐标表示转动的坐标表示(1)(1)绕坐标轴转动某个角度的表示法绕坐标轴转动某个角度的表示法 naHxxyzHzHyHB,ozqzq H H系相对系相对B B系绕系绕z z轴转动轴转动zz角的坐标关系角的坐标关系4/17/202324第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 若将若将H系的系的3个单位矢量表示在个单位矢量表示在B系中，则有系中，则有，实实现现两两个个坐坐标标系系之之间间的的转转动动关关系系的的矩矩阵阵，又又叫叫转转动动矩矩阵阵R，可表示为可表示为 上上面面的的分分析析说说明明了了R矩矩阵阵可可以以用用来来表表示示绕绕坐坐标标轴轴的的转转动动，这表征了这表征了R矩阵的另一种几何意义。矩阵的另一种几何意义。4/17/202325第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 设设B系与系与H系的系的z轴相重合，轴相重合，B系绕系绕z轴转动角轴转动角 就得就得H系，系，如下图所示。如下图所示。(2)(2)两个坐标系的投影之间的关系两个坐标系的投影之间的关系xyHy),(HBzqzqzqHxyxA CuPv 矢径矢径BPBP在在H H系与系与B B系的投影关系系的投影关系O4/17/202326第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统已知矢径已知矢径在在H系三轴投影分别为系三轴投影分别为u,v,w。则由上图可知。则由上图可知 由由上上式式可可见见，R矩矩阵阵可可以以将将矢矢径径在在手手坐坐标标系系上上的的投投影影变变换换到到该该矢矢径径在在基基坐坐标标系系上上的的投投影影，这这表表征征了了R矩矩阵阵的的又又一种几何意义。一种几何意义。于是有于是有（）（）4/17/202327第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统(3)(3)具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系 设矢量设矢量 在坐标系在坐标系Bxy的投影为的投影为u，v，w；将矢量；将矢量 绕绕z轴转动轴转动 角，得到矢量角，得到矢量 ，设矢量，设矢量 在同一坐标系的在同一坐标系的投影为投影为x,y,z，如下图所示。，如下图所示。xyHy),(HBzqzqHxyuPvxQ关系具有转动关系的两个矢量的投影之间的投影关系具有转动关系的两个矢量的投影之间的投影O4/17/202328第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 如如果果注注意意到到在在x,y轴轴的的投投影影相相当当于于在在轴轴的的投投影影，再再对对比比页页和和页页的的两两个个图图所所示示的的相相同同几几何何关关系系，便便可可得得式式（）相相同同结结果果，只只是是此此时时的的u，v，w与与x，y，z同同前前面面讨讨论论的的情情况况的的几几何何含含义义不不同同。这这时时矩矩阵阵R用用来来表表示示具具有有转转动动关关系系的的两两个个矢矢量量在在同同一一坐坐标标系系中中的的投投影影之之间间的的关关系，这表征了系，这表征了R矩阵的最后一种几何意义。矩阵的最后一种几何意义。至至此此，归归纳纳了了R矩矩阵阵的的四四种种几几何何意意义义，这这对对于于认认识识R矩矩阵的本质，研究机器人的坐标系统很有帮助。阵的本质，研究机器人的坐标系统很有帮助。4/17/202329第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.3.3 复合运动的坐标表示复合运动的坐标表示 设设H相相对对于于B的的位位置置矢矢量量为为 ，由由H H到到B B的坐标变换矩阵是的坐标变换矩阵是 。在在H H中中有有一一点点P P，点点P P 相相对对于于H H 的的位位置置矢矢量量为为 ，如如右右图所示。图所示。基基坐坐标标系系B和和手手坐坐标标系系H的的原原点点不不重重合合，而而且且两两坐坐标标系系的的姿姿态态也也不相同的情况。不相同的情况。zyxBHr0rHzHxHyanoPPAuvwHr 表示转动和移动的坐标变换表示转动和移动的坐标变换4/17/202330第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 对于任意一点对于任意一点P P在在B B和和H H系中的描述有以下的关系系中的描述有以下的关系其中，其中，是是p点相对点相对于于B B系的位置矢量。系的位置矢量。至至此此，我我们们由由浅浅入入深深地地介介绍绍了了物物体体的的基基本本宏宏观观运运动动在在坐坐标标系系中中的的表表示示方方法法，这这是是我我们们学学习习机机器器人人复复杂杂运运动动的的最最基基本本的的数数学学工工具具。在在后后续续章章节节中中会会频频繁地用到。繁地用到。再由式（再由式（3-9），可得复合变换），可得复合变换 可可把把上上式式看看成成坐坐标标旋旋转转和和坐坐标标平平移移的的复复合合变变换换。实实际际上上，规规定定一一个个过过渡渡坐坐标标系系C C，使使C C的的坐坐标标原原点点与与H H系系重重合合，而而C C的的姿姿态态和和B B系系保保持持一一致致。根根据据式式（）可得由（）可得由H系到过渡坐标系系到过渡坐标系C的坐标变换为的坐标变换为其中，其中，是点是点P在在C中的位置矢量。中的位置矢量。4/17/202331第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.4 齐次坐标变换齐次坐标变换 齐次坐标的定义和性质齐次坐标的定义和性质 齐次坐标的概念 用用四四个个数数所所组组成成的的列列向向量量 来来表表示示三三维维空空间间中中的一点的一点，这两个坐标向量之间的关系是，这两个坐标向量之间的关系是，则则 称称为为三三维维空空间间点点 的的齐齐次次坐坐标标。通通常常情况下取情况下取w=1,则则 的齐次坐标表示为的齐次坐标表示为 。4/17/202332第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.4.1.2 齐次坐标的性质齐次坐标的性质（1）齐次坐标的不唯一性 所所谓谓不不唯唯一一性性是是指指某某点点的的齐齐次次坐坐标标有有无无穷穷多多点点，不不是是单值确定的。例如单值确定的。例如 是某点的齐次坐标，则是某点的齐次坐标，则也是该点的齐次坐标。也是该点的齐次坐标。（2）齐次坐标的原点和坐标轴 根根据据齐齐次次坐坐标标的的定定义义，齐齐次次坐坐标标表表示示坐坐标标原原点点，而而，分分别别表表示示OX轴轴、OY轴轴和和OZ轴轴的的无无穷穷远远点点，即即表表示示直直角角坐坐标的标的OX轴、轴、OY轴和轴和OZ轴。轴。4/17/202333第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统=常量标量常量标量设设则有则有其中，其中，（）（）4/17/202334第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 齐次变换和齐次矩阵齐次变换和齐次矩阵 在引入齐次坐标之后，现在我们来看如何用齐次坐标来在引入齐次坐标之后，现在我们来看如何用齐次坐标来表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔标系统表示出了物体复合运动，最后我们得出了标系统表示出了物体复合运动，最后我们得出了 的结论，它表示了的结论，它表示了 由到由到 的变换。现在我们利用齐次坐的变换。现在我们利用齐次坐标来表示出上式：标来表示出上式：4/17/202335第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 A A矩矩阵阵称称为为齐齐次次矩矩阵阵（Homogeneousmatrix）,在在机机器器人人学学中中是是个个重重要要的的术术语语，它它将将转转动动和和移移动动组组合合在在一一个个4444矩矩阵阵中中。其其中中 为为33的的转转动动矩矩阵阵，为为13的的零零阵阵 ，为为表表示示移移动动的的31的的列列阵阵。接接下下来来我我们们将将利利用用齐次矩阵来表示物体的运动。齐次矩阵来表示物体的运动。式中式中旋转矩阵旋转矩阵平移矢量平移矢量透视变量透视变量比例因子比例因子齐次矩阵齐次矩阵齐次矩阵用途很广，更一般形式为：齐次矩阵用途很广，更一般形式为：4/17/202336第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 利用齐次矩阵表示平移变换 设向量设向量，要和向量要和向量相加得相加得V，即，即（）（）欲求一变换矩阵欲求一变换矩阵H，使得，使得U经过经过H变换之后变成向量变换之后变成向量V，即，即（）（）考虑到式考虑到式（）（）和式和式（）（）等效，根据式（）可知等效，根据式（）可知 平移变换就是用于两个向量的相加。平移变换就是用于两个向量的相加。4/17/202337第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 此此变变换换矩矩阵阵有有一一性性质质就就是是它它的的每每一一个个元元素素乘乘上上一一个个非非零的元素后不会改变这个变换。零的元素后不会改变这个变换。由此可知得由此可知得4/17/202338第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 利用齐次矩阵表示旋转变换 根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕X，Y，Z轴旋轴旋转一个角的相应旋转变换是转一个角的相应旋转变换是 4/17/202339第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统例例如如，已已知知一一个个向向量量U绕绕Z轴轴旋旋转转90变变成成V，则则用用旋旋转矩阵表示为转矩阵表示为如，一个向量如，一个向量U先后绕先后绕X、Y轴分别旋转轴分别旋转90、60得到得到V，用旋转矩阵表示为，用旋转矩阵表示为4/17/202340第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 利用齐次矩阵表示旋转加平移变换 把把上上述述两两种种变变换换结结合合起起来来用用齐齐次次矩矩阵阵表表示示，这这时时的的齐齐次变换矩阵就是次变换矩阵就是4/17/202341第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵和和表示平移的列阵表示平移的列阵确实是分离的。确实是分离的。注意，一般情况下注意，一般情况下4/17/202342第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 利用齐次矩阵表示手的转动和移动 手手的的转转动动可可以以表表示示为为绕绕X X轴轴的的侧侧摆摆 ，绕绕Y Y轴轴的的俯俯仰仰 和和绕绕Z Z轴轴横横滚滚 ，依依次次构构成成的的复复合合转转动，采用简化符号动，采用简化符号 ，则有，则有4/17/202343第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 上上式式表表示示了了手手的的转转动动运运动动。如如果果手手除除了了转转动动运运动动以以外外还还可可做做移移动动运运动动，只只需需将将上上式式中中齐齐次次矩矩阵阵的的第第4 4列列用用表表示示移移动动的的矩矩阵阵块块 来来代代替替，便便可可得得到到包包括括3 3个姿态转动和个姿态转动和3 3个平移的个平移的6 6自由度运动的齐次矩阵。自由度运动的齐次矩阵。4/17/202344第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 齐次变换的性质齐次变换的性质 变换过程的相对性相对变换 前前面面所所介介绍绍的的所所有有旋旋转转和和平平移移变变换换都都是是相相对对于于参参考考坐坐标标系系B B系而言的。例如系而言的。例如上上述述的的变变换换过过程程是是：手手坐坐标标系系H首首先先绕绕着着基基坐坐标标系系B旋旋转转，然后平移，然后平移。这种变换的顺序是从右向左进行的。这种变换的顺序是从右向左进行的。这这样样的的过过程程也也可可以以以以相相反反的的顺顺序序进进行行，即即从从左左向向右右进进行行。此此 时时 可可 以以 理理 解解 为为 首首 先先 手手 坐坐 标标 系系 H在在 基基 坐坐 标标 系系 B中中 平平 移移 然后绕当前的手坐标系然后绕当前的手坐标系H的的 轴旋转轴旋转 。4/17/202345第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统一般的变换过程可以分两种情况：一般的变换过程可以分两种情况：(1)如如果果我我们们用用一一个个描描述述平平移移和和（或或）旋旋转转的的变变换换C，左左乘乘一一个个坐坐标标系系的的变变换换T，那那么么产产生生的的平平移移和和（或或）旋旋转就是相对于转就是相对于静止坐标系静止坐标系进行的。进行的。(2)(2)如如果果我我们们用用一一个个描描述述平平移移和和（或或）旋旋转转的的变变换换C，右右乘乘一一个个坐坐标标系系的的变变换换T，那那么么产产生生的的平平移移和和（或或）旋旋转就是相对于转就是相对于运动坐标系运动坐标系进行的。进行的。真是那么精彩吗真是那么精彩吗?4/17/202346第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.4.3.2 变换过程的可逆性逆变换 在在机机器器人人学学中中很很多多时时候候要要用用到到齐齐次次变变换换矩矩阵阵的的逆逆阵阵，下下面面我我们们将将导导出出齐次变换矩阵的逆阵的求法。齐次变换矩阵的逆阵的求法。由公式由公式易得易得由此可见由此可见将上两式表示成矩阵的形式，即将上两式表示成矩阵的形式，即4/17/202347第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 变换过程的封闭性-变换方程的建立 在解机器人运动学和动力学方程时，要经常解变换方程。在这些变在解机器人运动学和动力学方程时，要经常解变换方程。在这些变换方程里，一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述。换方程里，一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述。（1）机器人机器人 变换变换Z Z：参考坐标系：参考坐标系U U 基坐标系基坐标系B B 变换变换A A：基坐标系：基坐标系B B 手坐标系手坐标系H H 变换变换E E：手坐标系：手坐标系H H 加工工具加工工具T T（2 2）变位机变位机 变换变换P P：参考坐标系：参考坐标系U U 变位机变位机V V变换变换Q Q：变位机：变位机V V 被加工件被加工件W WBUHAEPQWT 操作机坐标系及变换过程分析操作机坐标系及变换过程分析ZV4/17/202348第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 这种联系亦可由一有向变换图表述，见右图。这种联系亦可由一有向变换图表述，见右图。右右图图中中每每一一段段弧弧表表示示一一个个变变换换，由由参参考考坐坐标标系系向向外外指指向向，封封闭闭于于物物体体的的某某一一个个点点。由由于于变变换换Z-A-EZ-A-E与与P-QP-Q具具有相同的起点与终点，故有有相同的起点与终点，故有 如如果果我我们们希希望望解解上上述述方方程程，求求出出变变换换A A，就就必必须须对对方方程程左左乘乘 ，然然后右乘后右乘 ，得到，得到 实实际际上上，可可以以从从封封闭闭的的有有向向变变换换图图的的任任一一变变换换开开始始列列变变换换方方程程。从从某某一一变变换换弧弧开开始始，顺顺箭箭头头方方向向为为正正方方向向，逆逆箭箭头头方方向向为为逆逆变变换换，一一直直连连续续列列写写到到相相邻邻于于该该变变换换弧弧为为止止（但但不不再再包包括括该该起起点点变变换换），如如果果包包括括该该起起点点变变换，则得到一个单位变换。换，则得到一个单位变换。变换过程的封闭性变换过程的封闭性ZQPEA4/17/202349第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.5 机器人坐标系统机器人坐标系统 机器人坐标系统的构成机器人坐标系统的构成 现现在在让让我我们们设设想想完完成成将将一一条条螺螺栓栓拧拧入入螺螺母母这这样样一一项项简简单单的的工工作作。如如果果是是人人来来完完成成这这件件事事情情，每每个个人人看看来来都都是是非非常常容容易易的的。但但是是如如果果让让机机器器人人来来完完成成这这项项工工作作，机机器器人人必必须须规规划划出出每每个个关关节节的的运运动动过过程程，最最终终合合成成末末端端执执行行器器的的动动作作。在在完完成成这这样样的的工工作作时时，我我们们必必须须为为每每个个关关节节变变量量规规划划出出运运动动轨轨迹迹，而而这这样样的的轨轨迹迹是是相相对对于于每每个个关关节节所所对对应应的的坐坐标标系系而而言言的的。由由此此可可见见，我我们们必必须须为为每每一一个个关关节节定定义义出出一一个个坐坐标标系系。除除此此之之外外，为为了了能能与与工工件件相相配配合合完完成成既既定定的的工工作作，也也需需要要为为工工件件和和周周围围环环境境定定义义出出坐坐标标系系统统。所所有有上上述述的的坐坐标标系系就就构构成成了了一一个个机机器器人人的的坐坐标标系系统统。由由上上面面的的分分析析可可以以得得出出这这样样的的坐标系统包括三大部分：坐标系统包括三大部分：（1 1）机器人自身的坐标系）机器人自身的坐标系（2 2）作业工件和变位机的坐标系）作业工件和变位机的坐标系（3 3）作为共同参考的世界坐标系）作为共同参考的世界坐标系 其其中中，世世界界坐坐标标系系是是联联系系前前两两种种坐坐标标系系的的纽纽带带。下下面面我我们们举举一一个个例例子子来说明如何建立机器人的坐标系统。来说明如何建立机器人的坐标系统。4/17/202350第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 变换方程的建立变换方程的建立 机机器器人人变变换换方方程程的的建建立立主主要要是是利利用用上上一一节节所所介介绍绍的的齐齐次次变变换换的的封封闭闭性性。接接下下来来将将利利用用图图3-11的的例例子子来来说说明明如如何何建建立立变变换方程。换方程。设由设由P P系到系到U U系的变系的变换矩阵为换矩阵为 ，由由B B系到系到U U系的变换系的变换矩阵为矩阵为 ，由由H H系到系到B B系的变换系的变换矩阵为矩阵为 ，由由E E系到系到H H系的变换系的变换矩阵为矩阵为 。BUBUTHHBTEPPUTEPTEHT操作机坐标系及变换方程的建立操作机坐标系及变换方程的建立4/17/202351第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统 于于是是，固固定定在在钻钻头头端端点点处处的的工工具具坐坐标标系系E E系系相相对对世世界界坐坐标标系系U U系系的的位位置置可表示为可表示为 另另一一方方面面，由由P系系到到U系系的的变变换换矩矩阵阵为为，由由E系系到到P系系的的变变换换矩矩阵阵为为，工件上孔的位置（即工件上孔的位置（即E系）相对于系）相对于U系的位置为系的位置为（）（）由以上两个公式可得由以上两个公式可得 式式（）即即所所谓谓的的机机器器人人的的变变换换方方程程。解解此此方方程程，由由上上式式左左乘乘，右乘右乘 ，则得，则得 由由此此可可以以求求出出手手坐坐标标系系相相对对于于基基坐坐标标系系的的变变换换矩矩阵阵，于于是是便便可可以以知知道道手手相对于基座处于何种姿态时，便可以完成在工件上的钻孔工作。相对于基座处于何种姿态时，便可以完成在工件上的钻孔工作。4/17/202352第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统参考文献参考文献1.陈哲，吉熙章编著，机器人技术基础，机械工陈哲，吉熙章编著，机器人技术基础，机械工业出版社，业出版社，1997.102.熊有伦熊有伦,丁汉丁汉,刘恩沧刘恩沧.机器人学机器人学.机械工业出版机械工业出版社社,1993年年10月月4/17/202353第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统The End of Chapt.34/17/202354