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第三章矩阵代数第三章矩阵代数第1页，本讲稿共28页第三章第三章 矩阵代数矩阵代数n n3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n3.2 矩阵代数的矩阵代数的MATLAB指令指令n n3.3 计算实验：线性方程组求解计算实验：线性方程组求解n n3.4 建模实验：投入产出分析和基因遗传建模实验：投入产出分析和基因遗传第2页，本讲稿共28页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n线性方程组线性方程组n n记为记为 A x=b第3页，本讲稿共28页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n线性方程组线性方程组第4页，本讲稿共28页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n线性方程组线性方程组若秩若秩(A)(A)秩秩(A,b)(A,b)，则无解；，则无解；若秩若秩(A)=(A)=秩秩(A,b)=n,(A,b)=n,存在唯一解；存在唯一解；若秩若秩(A)=(A)=秩秩(A,b)n,(A,b)n,存在无穷多解；存在无穷多解；通解是齐次线性方程组通解是齐次线性方程组Ax=0Ax=0的基础解系与的基础解系与Ax=bAx=b的一个特的一个特解之和。解之和。第5页，本讲稿共28页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n逆矩阵逆矩阵n n方阵A称为可逆的，如果存在方阵B，使AB=BA=E，记B=A-1n n方阵A可逆的充分必要条件:A0n nA-1=A*/|A|这里A*为A的伴随矩阵n n（AE）行变换（EA-1）第6页，本讲稿共28页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n特征值与特征向量特征值与特征向量 对于方阵A，若存在数和非零向量x使Ax=x，则称为A的一个特征值，x为A的一个对应于特征值的特征向量。n n特征值计算特征值计算归结为特征多项式的求根。n n特征向量计算特征向量计算：齐次线性方程组(A-E)x=0的所有一组线性无关解。第7页，本讲稿共28页3.2 矩阵代数的矩阵代数的MATLAB指令指令n n运算符运算符n nAA(共轭共轭共轭共轭)转置转置转置转置,A.,A.转置转置转置转置 n nA+BA+B与与与与A-BA-B 加与减加与减加与减加与减n nk+Ak+A与与与与k-Ak-A 数与矩阵加减数与矩阵加减数与矩阵加减数与矩阵加减n nk*Ak*A或或或或A*kA*k 数乘矩阵数乘矩阵数乘矩阵数乘矩阵 n nA*BA*B 矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法 n nAkAk 矩阵乘方矩阵乘方矩阵乘方矩阵乘方n n左除左除左除左除ABAB 为为为为AX=BAX=B的解的解的解的解n n右除右除右除右除B/AB/A 为为为为XA=BXA=B的解的解的解的解第8页，本讲稿共28页3.2 矩阵代数的矩阵代数的MATLAB指令指令n n矩阵运算与数组运算的区别矩阵运算与数组运算的区别n n数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义n n矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的 n n矩阵的乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法矩阵的乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法矩阵的乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法矩阵的乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法不同不同不同不同n n数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义的。数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义的。数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义的。数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义的。但在但在但在但在MATLABMATLAB中有定义。中有定义。中有定义。中有定义。第9页，本讲稿共28页3.2 矩阵代数的矩阵代数的MATLAB指令指令n n特殊矩阵生成特殊矩阵生成n nzeros(m,n)zeros(m,n)m m行行行行n n列的零矩阵列的零矩阵列的零矩阵列的零矩阵;n nones(m,n)ones(m,n)m m行行行行n n列的元素全为列的元素全为列的元素全为列的元素全为1 1的阵的阵的阵的阵;n neye(n)eye(n)n n阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵;n nrand(m,n)rand(m,n)m m行行行行n n列列列列0,10,1上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵第10页，本讲稿共28页3.2 矩阵代数的矩阵代数的MATLAB指令指令n n矩阵处理矩阵处理 n ntrace(A)trace(A)迹迹迹迹(对角线元素的和对角线元素的和对角线元素的和对角线元素的和)n ndiag(A)diag(A)A A对角线元素构成的向量对角线元素构成的向量对角线元素构成的向量对角线元素构成的向量;n ndiag(x)diag(x)向量向量向量向量x x的元素构成的对角矩阵的元素构成的对角矩阵的元素构成的对角矩阵的元素构成的对角矩阵.n ntril(A)Atril(A)A的下三角部分的下三角部分的下三角部分的下三角部分n ntriu(A)Atriu(A)A的上三角部分的上三角部分的上三角部分的上三角部分n nflipud(A)flipud(A)矩阵上下翻转矩阵上下翻转矩阵上下翻转矩阵上下翻转n nfliplr(A)fliplr(A)矩阵左右翻转矩阵左右翻转矩阵左右翻转矩阵左右翻转n nreshape(A,m,n)reshape(A,m,n)矩阵矩阵矩阵矩阵A A的元素重排成的元素重排成的元素重排成的元素重排成mm行行行行n n列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵 第11页，本讲稿共28页3.2 矩阵代数的矩阵代数的MATLAB指令指令n n矩阵分析矩阵分析 n nrank(A)rank(A)秩秩秩秩n ndet(A)det(A)行列式行列式行列式行列式;n ninv(A)inv(A)逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵;n nnull(A)null(A)Ax=0Ax=0的基础解系；的基础解系；的基础解系；的基础解系；n north(A)orth(A)A A列向量正交规范化列向量正交规范化列向量正交规范化列向量正交规范化n nnorm(x)norm(x)向量向量向量向量x x的范数的范数的范数的范数n nnorm(A)norm(A)矩阵矩阵矩阵矩阵A A的范数的范数的范数的范数第12页，本讲稿共28页3.2 矩阵代数的矩阵代数的MATLAB指令指令n n特征值与标准形特征值与标准形n neig(A)eig(A)方阵方阵方阵方阵A A的特征值的特征值的特征值的特征值n nV,D=eig(A)V,D=eig(A)返回方阵返回方阵返回方阵返回方阵A A的特征值和特征向量。其的特征值和特征向量。其的特征值和特征向量。其的特征值和特征向量。其中中中中D D为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的V V的列为属于该特征值的一个特征向量。的列为属于该特征值的一个特征向量。的列为属于该特征值的一个特征向量。的列为属于该特征值的一个特征向量。n nV,J=jordan(A)V,J=jordan(A)返回返回返回返回A A的相似变换矩阵和约当标的相似变换矩阵和约当标的相似变换矩阵和约当标的相似变换矩阵和约当标准形准形准形准形 第13页，本讲稿共28页3.3 计算实验：线性方程组求解计算实验：线性方程组求解 n n 矩阵除法矩阵除法 n n(1)(1)当当当当A A为方阵，为方阵，为方阵，为方阵，ABAB结果与结果与结果与结果与inv(A)*Binv(A)*B一致；一致；一致；一致；n n(2)(2)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B存在存在存在存在唯一解唯一解唯一解唯一解,AB,AB将给出这将给出这将给出这将给出这个解；个解；个解；个解；n n(3)(3)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B为不定方程组为不定方程组为不定方程组为不定方程组(即即即即无穷多解无穷多解无穷多解无穷多解)，ABAB将给出一个具有最多零元素的将给出一个具有最多零元素的将给出一个具有最多零元素的将给出一个具有最多零元素的特解特解特解特解；n n(4)(4)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）,AB,AB给出给出给出给出最小二乘意义上的近似解最小二乘意义上的近似解最小二乘意义上的近似解最小二乘意义上的近似解，即使得向量，即使得向量，即使得向量，即使得向量AXAXB B的模达到最小。的模达到最小。的模达到最小。的模达到最小。第14页，本讲稿共28页3.3 计算实验：线性方程组求解计算实验：线性方程组求解n n例例3.1 解方程组解方程组 第15页，本讲稿共28页3.3 计算实验：线性方程组求解计算实验：线性方程组求解n n例例3.2 线性方程组通解线性方程组通解n n用用用用rrefrref化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解n n用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用nullnull求得一个齐次组的求得一个齐次组的求得一个齐次组的求得一个齐次组的基础解系基础解系基础解系基础解系n n用符号数学工具箱中的用符号数学工具箱中的用符号数学工具箱中的用符号数学工具箱中的solvesolve求解求解求解求解(第七章第七章第七章第七章)第16页，本讲稿共28页3.3 计算实验：线性方程组求解计算实验：线性方程组求解n n相似对角化及应用相似对角化及应用 n n如果如果如果如果n n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵A A有有有有n n个线性无关的特征向量，则必存个线性无关的特征向量，则必存个线性无关的特征向量，则必存个线性无关的特征向量，则必存在正交矩阵在正交矩阵在正交矩阵在正交矩阵P P,使得使得使得使得 P P-1-1AP=AP=,其中其中其中其中 是是是是A A的特征值的特征值的特征值的特征值构成的对角矩阵，构成的对角矩阵，构成的对角矩阵，构成的对角矩阵，P P的列向量是对应的的列向量是对应的的列向量是对应的的列向量是对应的n n个正交特个正交特个正交特个正交特征向量。征向量。征向量。征向量。n n使用使用使用使用MATLABMATLAB函数函数函数函数eigeig求得的每个特征向量都是单求得的每个特征向量都是单求得的每个特征向量都是单求得的每个特征向量都是单位向量位向量位向量位向量(即模等于即模等于即模等于即模等于1)1)，并且属于同一特征值的线性，并且属于同一特征值的线性，并且属于同一特征值的线性，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化，所以由此容易进行相似对无关特征向量已正交化，所以由此容易进行相似对无关特征向量已正交化，所以由此容易进行相似对无关特征向量已正交化，所以由此容易进行相似对角化。角化。角化。角化。第17页，本讲稿共28页3.3 计算实验：线性方程组求解计算实验：线性方程组求解n n例例3.3 用相似变换矩阵用相似变换矩阵P将将A相似对角化，相似对角化，并求并求 第18页，本讲稿共28页3.4 建模实验建模实验设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部门j单位产品对部门i产品的消耗，di i为外部对部门为外部对部门i i的需求，的需求，f fj为部门j新创造的价值。分配平衡方程组消耗平衡方程组消耗平衡方程组i=1,2,n第19页，本讲稿共28页投入产出分析投入产出分析令 C=（cij），X=(x1,xn),D=(d1,dn)，F=(f1,fn),则 X=CX+D令A=EC，E为单位矩阵，则AX=DAX=DC称为直接消耗矩阵A称为列昂杰夫（Leontief）矩阵。第20页，本讲稿共28页Y=1,1,1BY表示各部门的总投入，称为投入向量。新创造价值向量 F=XY B=CB表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵。第21页，本讲稿共28页投入产出分析投入产出分析 例3.4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付开采一元钱的煤，煤矿要支付0.250.25元的电元的电费及费及0.250.25元的运输费元的运输费;生产一元钱的电力，发电厂要支生产一元钱的电力，发电厂要支付付0.650.65元的煤费，元的煤费，0.050.05元的电费及元的电费及0.050.05元的运输费元的运输费;创创收一元钱的运输费收一元钱的运输费,铁路要支付铁路要支付0.550.55元的煤费和元的煤费和0.100.10元元的电费，的电费，在某一周内煤矿接到外地金额在某一周内煤矿接到外地金额5000050000元定货，元定货，发电厂接到外地金额发电厂接到外地金额2500025000元定货，外界对地方铁路没元定货，外界对地方铁路没有需求。有需求。第22页，本讲稿共28页解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值,x3为铁路总产值,则问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值?第23页，本讲稿共28页直接消耗矩阵C=外界需求向量D=产出向量X=则原方程为则原方程为(E-C)X=D 投入产出矩阵为B=C*diag(X)总投入向量Y=ones(1,3)*B新创造价值向量F=X-Y第24页，本讲稿共28页表3.3投入产出分析表(单位：元)消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915总产出1020885616328330第25页，本讲稿共28页后代是从父母体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制，那么有三种基因型，上表给出父母基因型的所有可能组合使其后代形成每种基因对的概率。基因遗传基因遗传第26页，本讲稿共28页例5 设金鱼某种遗传病染色体的正常基因为A，不正常基因为a,那么AA，Aa，aa分别表示正常金鱼，隐性患者，显性患者。设初始分布为90%正常金鱼，10%的隐性患者，无显性患者。考虑下列两种配种方案对后代该遗传病基因型分布的影响方案一：同类基因结合，均可繁殖；方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患者必须与正常金鱼结合繁殖第27页，本讲稿共28页解 设初始分布X(1)=(0.90.10),第n代分布为X(n)=A=B=则X(n)=An-1X(1)X(n)=Bn-1X(1)分别是两种情况下第n代的基因型分布第28页，本讲稿共28页
