柱体锥体台体球体的表面积和体积综合.pptx
在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题多面体的展开图和表面积多面体的展开图和表面积第1页/共80页引入新课引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？第3页/共80页正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？积？棱柱的展开图棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图ha第4页/共80页正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？棱锥的展开图棱锥的展开图侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图第5页/共80页正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？棱锥的展开图棱锥的展开图侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图第6页/共80页棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h第7页/共80页 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成,因此只要求因此只要求.因为因为SB=a，所以：所以：因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积 交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作典型例题典型例题BCASa第8页/共80页圆柱的表面积圆柱的表面积O圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形第9页/共80页圆锥的表面积圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形O第10页/共80页圆台的表面积圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 OO圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环第11页/共80页三者之间关系三者之间关系OOOO 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？系？这种关系是巧合还是存在必然联系？rrr0第12页/共80页 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 典型例题典型例题第13页/共80页例3蜜蜂爬行的最短路线问题蜜蜂爬行的最短路线问题.易拉罐的易拉罐的底面直径底面直径为为8cm,高高25cm.分析分析:可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转化为平面几何的问题将问题转化为平面几何的问题.AB第14页/共80页柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥第15页/共80页7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 第16页/共80页1 1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法求法2 2、了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的体积、了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的体积公式进行计算和解决有关实际问题公式进行计算和解决有关实际问题3 3、培养学生空间想象能力和思维能力、培养学生空间想象能力和思维能力第17页/共80页瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！你们能求出它的体积吗？你们能求出它的体积吗？第18页/共80页看，这不是不复存在的世贸大厦吗？看，这不是不复存在的世贸大厦吗？这两个棱柱的体积怎么求？这两个棱柱的体积怎么求？第19页/共80页DABCD1A1B1C1、长方体的体积第20页/共80页等底等高柱体的体积相等吗？2 2、柱体的体积第21页/共80页等底等高柱体的体积相等h第22页/共80页3 3、锥体的体积等底等高锥体的体积相等第23页/共80页4 4、台体体积、台体体积由于圆台由于圆台(棱台棱台)是由圆锥是由圆锥(棱锥棱锥)截成的，截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台台(棱台棱台)的体积公式的体积公式根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？第24页/共80页例例1 1、埃及胡夫金字塔大约建于公元前、埃及胡夫金字塔大约建于公元前25802580年年,其形状为正四其形状为正四棱锥棱锥.金字塔高金字塔高146.6146.6米米,底面边长底面边长230.4230.4米米.这座金字塔的侧这座金字塔的侧面积和体积各是多少面积和体积各是多少.第25页/共80页解解:如图如图,AC,AC为高为高,BC,BC为底面的边为底面的边 心距心距,则则AC=146.6,BC=115.2,AC=146.6,BC=115.2,底面周长底面周长 c=4230.4.c=4230.4.答答:金字塔的侧面积约是金字塔的侧面积约是 ,体积约是体积约是 .第26页/共80页ONP例例2 2、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.5.8kg.已知底面已知底面六六 边形的边长是边形的边长是12mm,12mm,高是高是10mm,10mm,内孔直径是内孔直径是10mm,10mm,那么约那么约有毛坯多少个有毛坯多少个?(?(铁的比重是铁的比重是7.8g/cm7.8g/cm3 3)分析：分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差柱的体积的差.第27页/共80页解解:V V正六棱柱正六棱柱=312=3122 2 103.7410 103.74103 3(mm(mm3 3)V V圆柱圆柱=3.145=3.1452 2100.78510100.785103 3(mm(mm3 3)毛坯的体积毛坯的体积V=3.7410V=3.74103 3-0.78510-0.785103 3 2.9610 2.96103 3(mm(mm3 3)=2.96(cm)=2.96(cm3 3)约有毛坯：约有毛坯：5.8105.8103 3(7.82.96)2.510(7.82.96)2.5102 2(个个)答答:这堆毛坯约有这堆毛坯约有250250个个.ONP第28页/共80页柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？第29页/共80页S S为底面面积，为底面面积，h h为锥体高为锥体高S S分别为上、下底面分别为上、下底面面积，面积，h h 为台体高为台体高S S为底面面积，为底面面积，h h为柱体高为柱体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小第30页/共80页2 2、用一张长、用一张长12cm12cm、宽、宽8cm8cm的铁皮围成圆柱形的侧面，的铁皮围成圆柱形的侧面，该圆柱体积为该圆柱体积为_1 1、已知一正四棱台的上底面边长为、已知一正四棱台的上底面边长为4cm,4cm,下底面边长为下底面边长为8cm,8cm,高为高为3cm,3cm,其体积为其体积为_112cm112cm3 3第31页/共80页（2 2）柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系(1)(1)体积度量的基本思路：长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础.长方体正方体台体柱体锥体特殊到一般的数学思想特殊到一般的数学思想第32页/共80页不论去往何方，身后永远有不变的祝福，凝注的眼光母校用宽大的胸怀包容我们，等待我们，期许我们。第33页/共80页西伯利亚西伯利亚第34页/共80页例题讲解课堂作业教学目标重点难点球表面积球的体积课堂练习封底封底退出退出书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！勤 奋、守 纪、自 强、自 律！课堂小结第35页/共80页l掌握球的体积、表面积公式l掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割近似求和精确求和的思想方法l会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力l能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题教学目标教学目标第36页/共80页球的体积公式的推导球的体积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式的推导l教学重点l教学难点重点难点重点难点第37页/共80页R高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积球的体积第38页/共80页 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法球的体积球的体积 我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是第39页/共80页当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体积球的体积分割求近似和化为准确和第40页/共80页问题问题:已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积.AOB2C2球的体积球的体积AO第41页/共80页OROA球的体积球的体积第42页/共80页球的体积球的体积第43页/共80页球的体积球的体积第44页/共80页2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积.当当n n越大越大,越接近于球的体积越接近于球的体积,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.1)1)球的表面是曲面球的表面是曲面,不是平面不是平面,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积.当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时,这这n n小块平面面积之和接近小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积于甚至等于球的表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积第45页/共80页球的表面积第46页/共80页第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的表面积：则球的体积为：则球的体积为：O OO O球的表面积第47页/共80页第第二二步：步：求求近近似似和和由第一步得：由第一步得：O OO O球的表面积第48页/共80页第第三三步步：化化为为准准确确和和 如果网格分的越细如果网格分的越细,则则:“小锥小锥体体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥O O球的表面积第49页/共80页例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积.(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)例题讲解例题讲解第50页/共80页(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得由计算器算得:例题讲解例题讲解第51页/共80页(变式变式2)2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸至少要用多少纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体球内切于正方体侧棱长为侧棱长为5cm例题讲解例题讲解第52页/共80页例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解第53页/共80页OABC例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设球O半径为R，截面 O的半径为r，例题讲解例题讲解第54页/共80页OABC例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积例题讲解例题讲解第55页/共80页2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3.83.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三求这三个球的体积之比个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.练习一练习一课堂练习课堂练习第56页/共80页4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_.练习二练习二1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习第57页/共80页7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_.6.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_.练习二练习二课堂练习课堂练习第58页/共80页l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它是今后要学习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；l熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结课堂小结第59页/共80页课堂作业课堂作业习题9.11 P.74 5、6、7、8预习小结与复习P.75P.77第60页/共80页 夹在夹在两个平行平面两个平行平面之间的两个空间几何体，被平行之间的两个空间几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的截面的面积总相等面积总相等，那么这两个空间几何体的，那么这两个空间几何体的体积相等体积相等棱柱的体积公式棱柱的体积公式:V=S h重要结论：等底等高的两个棱柱的体积相等第61页/共80页棱锥的体积棱锥的体积棱柱的体积公式棱柱的体积公式:V=S h第62页/共80页问题1.棱锥的体积公式是什么?问题2.棱锥的体积公式是如何推导的.第63页/共80页重要结论:等底等高的两个三等底等高的两个三锥的体积相等锥的体积相等第64页/共80页第65页/共80页第66页/共80页 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S S S，高是，高是h h h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V V V三棱锥三棱锥 ShShShShABCACB把三棱锥以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。第67页/共80页 如果三棱锥的底面积是S S，高是h h，那么 它的体积是 V V三棱锥 ShShABCACB连接BC,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。23第68页/共80页 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA23第69页/共80页 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShCACB3ABCA1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1高高第70页/共80页 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShBCAB2CACB3ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等。第71页/共80页 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA1CACB3BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、CBCCBC的面积相等。的面积相等。高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是AA）。）。高高第72页/共80页 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA1CACB3BCAB2V1V2V3 V三棱柱第73页/共80页ABCACB23 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥 Sh证明:把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱 柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三 棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底ABA1、B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底 BCB1、C1B1C 的面积相等，高也相等 （顶点都是A1）V1V2V3 V三棱柱。V三棱柱 Sh。V三棱锥 Sh。第74页/共80页小结1、三棱锥体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、本节课对公式的认识过程分两步进行：、证明底面积相等、高也相等的两个三棱锥的体积相等.、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计算提供了新的思考方法.）第75页/共80页 在三棱锥A-BCD中，已知BCD的面积为，点A到平面，ABC的面积为BCD的距离为则点D到平面ABC的距离 设一个高为 的三棱锥被一个平行于底面的平面所截，若截得的棱锥的高为 ，求截得棱锥与原棱锥的确体积比？思考第76页/共80页练习1 1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）AB CD A CB D问题1、你能有几种 解法？问题2、如果这是一 个平行六面 体四棱柱呢？第77页/共80页练习2:2:从一个棱长为a正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？CF H D AB G 如果改为求点B到平面ACD的距离呢？E第78页/共80页师 生 小 结1、一个重要的结论：等底等高的两个棱锥的体积相等2、棱锥的体积公式：3、三棱锥体积公式推导过程所揭示的数学思想和方法：l两个思想：“等价转换”、“割补”l一个方法：通过三棱锥体积相等求点到平面的距离第79页/共80页感谢您的观看！第80页/共80页
