杨辉三角与二次项系数的性质.pptx
一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过质？我们先通过杨辉三角杨辉三角观察观察n为特殊值时，为特殊值时，二项式系数有什么特点？二项式系数有什么特点？第1页/共26页1615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn表中的每一个表中的每一个数等于它肩上数等于它肩上的两数的和的两数的和这个表叫做二项式系数这个表叫做二项式系数表表,也称也称“杨辉三角杨辉三角”你发现了什你发现了什么规律？么规律？第2页/共26页 类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的第3页/共26页杨辉三角杨辉三角九章算术杨辉第4页/共26页详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表本积本积平方平方立方立方三乘三乘四乘四乘五乘五乘商实商实第5页/共26页二项式系数的函数观点二项式系数的函数观点 展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：当n=6时，其图象是7个孤立点定义域0,1,2,n 第6页/共26页二项式系数的性质二项式系数的性质 （1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴：图象的对称轴：第7页/共26页2 2、若（、若（a+ba+b）n n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与式系数与 第五项的第五项的二项式系数相等，二项式系数相等，课堂练习课堂练习1 1、在、在(a(ab)b)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是()()A A 第项第项 B B 第项第项 C C 第项第项 D D 第项第项则则n=_n=_B B6 6请问请问:一般地一般地,当当r r满足什么范围时，后一项满足什么范围时，后一项C Cn nk k比前一项比前一项C Cn nk-1k-1要大要大?分析分析:以上问题即以上问题即C Cn nk k C Cn nk-1k-1时，求时，求k k的范围的范围?第8页/共26页二项式系数的性质二项式系数的性质 （2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数逐渐增大二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大中间项的取值最大.第9页/共26页二项式系数的性质二项式系数的性质 （2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 先增后减n是偶数偶数时，时，中间的一项（第中间的一项（第 项）的二项式系数项）的二项式系数取得最大值取得最大值 ；当n是奇数奇数时，时，中间的两项中间的两项（第（第 项）的二项式项）的二项式系数系数 和和 相等，且同时取相等，且同时取得最大值。得最大值。1615 20 1561111211331146411510 1051第10页/共26页1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .2.（x-2)9的展开式中，第的展开式中，第6项的二项式系数项的二项式系数 是（是（）A.4032 B.-4032 C.126 D.-126C4.4.在二项式(x-1)(x-1)1111的展开式中,求系数最小的项的系数。最大的系数呢？课堂练习课堂练习3.3.指出（a+2ba+2b）1515的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数最大。解:第8、9项的二项式系数即6435最大。第11页/共26页二项式系数的性质二项式系数的性质 （3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 赋值法第12页/共26页 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（4 4）当当 时，时，第13页/共26页例例1 1、证明：在证明：在(ab)n展开式中展开式中,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：即证：n-1n-1证明证明令令a=1,=1,b=-1=-1得得特例法赋值法第14页/共26页例2、已知 的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。依题意，n为偶数，且解：例3、已知(1+a)n展开式里，连续三项的系数比是 3：8：14，求展开式里系数最大的项。答案：m=3,n=10;最大项为T6=252a5第15页/共26页求奇数求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和(1)(1)(2)(2)第16页/共26页求奇数求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和所以（3）求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值第17页/共26页求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项(系数系数)例例5 5的展开式中的展开式中,的系数等于的系数等于_解解:仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是解法解法2 2 运用等比数列求和公式得在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为所以所以 的系数为的系数为-20求复杂的代数式的展开式中某项求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数某项的系数),),可以逐项分析求解可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行常常对所给代数式进行化简化简,可以减小计算量可以减小计算量第18页/共26页求展开式中系数最大求展开式中系数最大(小小)的项的项解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值第19页/共26页练习练习 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为第20页/共26页三项式转化为二项式三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得=1107=1107第21页/共26页_解：解：原式化为其通项公式为其通项公式为240240括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘也可因式分解化为乘积二项式积二项式.第22页/共26页例8：已知a,bN，m,n Z，且2m+n=0，如果二项式(ax m+bx n)12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a:b 的取值范围。解：令m(12 r)+nr=0，将 n=2m 代入，解得 r =4故T5 为常数项，且系数最大。第23页/共26页分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解两式相加第24页/共26页（1）二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质:（2）数学思想：函数思想数学思想：函数思想二项式系数之和:最最 值值:（3）数学方法数学方法 ：赋值法赋值法、递推法、递推法当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知,它的后半部是逐渐减小的。当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ，相等，且同时取得最大值。增减性增减性:n2 (由赋值法求得)课堂小结课堂小结第25页/共26页谢谢您的观看！第26页/共26页
