正交子空间学习.pptx

一,子空间的正交1,定义:2.3 正交子空间1)设 是欧氏(酉)空间V中的子空间,如果对 恒有则称向量与子空间 正交，记作2)与 是欧氏(酉)空间V中的两个子空间，如果对则称子空间 与 为正交的，记作恒有第1页/共16页 当且仅当 中每个向量都与 正交 当 且 时，必有 说明:若 ,则:第2页/共16页2,定理:(1),设酉(欧氏)空间 ,为标准正交基,则:(2),设 ,则:证明:设:第3页/共16页反之,令:则有:即:第4页/共16页二、正交子空间的和1.正交补的定义：如果欧氏空间V的子空间 满足并且则称 为 的正交补子空间.记作2,定理:证明：第5页/共16页证明：当 时，V 就是 的唯一正交补 当 时，也是有限维欧氏空间.取 的一组正交基2n维欧氏（酉）空间V的每个子空间 V1 都有唯 一正交补V2=V1,使得V=V1 V2.由定理，它可扩充成V的一组正交基第6页/共16页记子空间 显然,又对 即 为 的正交补.且,第7页/共16页再证唯一性.设 是 的正交补，则由此可得对 由上式知 即有 又从而有 即有 同理可证唯一性得证.第8页/共16页 维欧氏空间V的子空间W满足:子空间W的正交补记为即 i)ii)iii)注：)W的正交补 必是W的余子空间.但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.第9页/共16页例：设 求W1的正交补空间W2使得解化为 的正交基，将 用施密特正交化方法将 扩充为 的基 ，其中取第10页/共16页则第11页/共16页定理：设W1,W2都是酉（欧氏）空间V的子空间，则 第12页/共16页定义：设 是一个 维酉（正交）空间，是 的一个线性变换，如果对任意的 都有则称 是 的一个酉（正交）变换。1.酉（正交）变换的定义2.4 酉(正交)变换、正交投影一,酉变换与正交变换第13页/共16页定理1：酉（正交）变换是线性变换定理2：设 是一个 维酉（正交）空间，是 的一个 线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉（正交）变换；(2)（3）将 的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉（正交）变换在标准正交基下的矩阵表示为 酉（正交）矩阵。推论：设 为 阶酉（正交）矩阵，则 为 上的酉（正交）变换第14页/共16页第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页