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弹性力学张量第1页，共82页，编辑于2022年，星期六1.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标第一章 张量代数第2页，共82页，编辑于2022年，星期六1.1 基本概念1.标标量量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐坐标标系系选择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。2.矢矢量量：有大小，又有方向性的物理量。如矢径（或黑体）、位移、力 等。矢量可用一个方向来确定。x3x2x1r其中 、为坐标的基矢量（单位向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。第3页，共82页，编辑于2022年，星期六记法：记法：（1）实体记法：（或黑体字母）r（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应分解分量的基。（3）分量记法：将矢量用其全部分量的集合来表示r（r1、r2、r3)（4）矩阵记法：第4页，共82页，编辑于2022年，星期六3,张量张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描述更复杂的物理量）。如应力、应变。有些量不能只利用一个方向来确定。如应力：它与两个方向有关在 方向（为作用面的法矢），应力矢为 ；而在 方向，应力矢为这说明应力矢本身有方向，而且还与其作用面方向有关，必须用两个方向才能描述应力矢。必须用两个方向才能描述应力矢。第5页，共82页，编辑于2022年，星期六11eexxs31eexzt21eexyt常用的应力单元体也是如此：每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个方向为应力作用面的方向，第一个方向为应力作用的方向。每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢）表示，称为二阶张量。于是引入二阶基：第6页，共82页，编辑于2022年，星期六故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1个分量组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成；三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。从数学上说，可引入 阶基，阶基中有个基矢。与 阶基相关连的量称为 阶张量。时为标量；时为矢量；时为二阶张量（简称张量）。第7页，共82页，编辑于2022年，星期六1.2 张量表示张量表示1.2.1.下标记号法下标记号法张量的最简洁的一种表示方法张量的最简洁的一种表示方法点的坐标(x,y,z)（矢径）点的位移(u,v,w)点的速度应力（张量）：第8页，共82页，编辑于2022年，星期六应应力力张张量量可表示为（i=1,2,3;j=1,2,3）第9页，共82页，编辑于2022年，星期六应变张量：应变张量可表示为（i=1,2,3;j=1,2,3）第10页，共82页，编辑于2022年，星期六微分符号：第11页，共82页，编辑于2022年，星期六约定约定：英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.在该约定下，上述简写表达式后的说明 或 在以后的写法中将被略去。n阶张量可表示为第12页，共82页，编辑于2022年，星期六1.2.2求和约定求和约定（Einstein求和约定）矢量点积的实例设为两矢量，其分量分别记为，则：哑标哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两次，则表在表达式的某项中，若某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。该重复指标称为示要把该项指标在取值范围内遍历求和。该重复指标称为“哑标哑标”或或“伪标伪标”。第13页，共82页，编辑于2022年，星期六显然，指标 i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。于是*1 1、哑标的符号可以任意改变、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）（仅表示求和）第14页，共82页，编辑于2022年，星期六是违约的，求和时要保留求和号*2 2、哑标只能成对出现、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出否则要加上求和号或特别指出*3 3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和双重求和展开式（9项）第15页，共82页，编辑于2022年，星期六三重求和（27项）n表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题：第16页，共82页，编辑于2022年，星期六含偏导数项的下标记号表示法：*若重复出现的标号不求和，应特别声明若重复出现的标号不求和，应特别声明第17页，共82页，编辑于2022年，星期六1.2.3 自由指标例如指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,2,3,n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的的指标，称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取到最大数。的的指标，称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取到最大数。第18页，共82页，编辑于2022年，星期六*1*1、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标，但必须整个表达、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标，但必须整个表达式换标式换标 ；出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里 i相当于一个自由指标，而 i只是在数值上等于 i，并不与 i 求和。*2*2若重复出现的标号不求和的表示：若重复出现的标号不求和的表示：第19页，共82页，编辑于2022年，星期六又如，方程用指标法表示，可写成i 不参与求和，只在数值上等于 i*3*3由由 不能得出不能得出.第20页，共82页，编辑于2022年，星期六i为自由指标，j为哑标表示如下3个方程：例题：第21页，共82页，编辑于2022年，星期六表示如下3个方程：i为自由指标，j为哑标等价为第22页，共82页，编辑于2022年，星期六i，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：第23页，共82页，编辑于2022年，星期六1.3 Kronecker 符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：其中i，j为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：（kronecher delta）第24页，共82页，编辑于2022年，星期六符号的性质：性质：对称性可进行换标或运算笛卡尔坐标系的基向量的点积第25页，共82页，编辑于2022年，星期六若是相互垂直的单位矢量，则，但而，故第26页，共82页，编辑于2022年，星期六注意：是一个数值，即的作用：1）换指标；2）选择求和。例1：思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示第27页，共82页，编辑于2022年，星期六例2：例3：个数，项的和。求特别地，如果ij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij的另一个指标，而 ij 自动消失。ij也称为换标符号。第28页，共82页，编辑于2022年，星期六符号的应用应用矢量与代数运算 两个任意向量点积 微分运算第29页，共82页，编辑于2022年，星期六第30页，共82页，编辑于2022年，星期六1.4置换符号（Permutatisn Symbol）一、定义：1123123第31页，共82页，编辑于2022年，星期六例如：eijk(i,j,k=1,2,3)共有27个元素123（不为0的共六项，三项为正1，三项为负1）。第32页，共82页，编辑于2022年，星期六可见：也称为三维空间的排列符号。表明，标号改变奇次位置时改变正、负号；标号改变偶数次位置时表明，标号改变奇次位置时改变正、负号；标号改变偶数次位置时不改变符号不改变符号。排列符号的应用：排列符号的应用：排列符号的作用可以简化公式书写排列符号的作用可以简化公式书写1三阶行列式：（共六项，三项为正，三项为负）。二、第33页，共82页，编辑于2022年，星期六2.基向量的叉积：右手系任意基向量的叉积可写为3向量叉积的展开式：而则第34页，共82页，编辑于2022年，星期六三、常见的恒等式三、常见的恒等式(i)(ii)(iii)(iv)之关系 第35页，共82页，编辑于2022年，星期六证明：令即得（i），将（i）作相应的指标替换，展开化简，将得其余三式。指标任意排列，经过行列调整指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换及指标号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零重复时的正、负及零(i)第36页，共82页，编辑于2022年，星期六另证：由矢量恒等式反复运用 式，有设另一方面(a)(b)第37页，共82页，编辑于2022年，星期六(a)(b)代入有（矢量恒等则矢量的各分量应相等）由于对任意的上式均成立：若将上式中的下标s换为j有 第38页，共82页，编辑于2022年，星期六若将上式中的下标 t换为k,有第39页，共82页，编辑于2022年，星期六二维置换符号其中从三维退化得到有下列恒等式第40页，共82页，编辑于2022年，星期六关键公式：第41页，共82页，编辑于2022年，星期六二维关键公式：第42页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5 指标记法的运算1.5.1 代入设(1)(2)把（2）代入（1）mn or else3个方程，右边为9项之和第43页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5 指标记法的运算1.4.2 乘积设则不符合求和约定第44页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5 指标记法的运算1.4.3 因式分解考虑第一步用表示有换指标的作用所以即第45页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5 指标记法的运算1.5.4 缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系向同性材料应力应变关系缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系第46页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法或第47页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：写出其普通记法第48页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法第49页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5 张量的定义1.5.1 坐标系的变换关系（笛卡儿右手直角坐标系）坐标的旋转变换坐标的旋转变换oxyABcD引例:(平面直角坐标系)第50页，共82页，编辑于2022年，星期六新旧基矢量夹角的方向余弦：旧坐标系：单位基矢量：新坐标系：单位基矢量：x3x2x1x3x2x1第51页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5.1 坐标系的变换关系 旧新x3x2x1x3x2x1第52页，共82页，编辑于2022年，星期六图解（二维）：在解析式中记：第53页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5.1 坐标系的变换关系从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量（对 i 求和，为自由指标）张量的性质性质:张量不是对称张量1)因为 ，而 ，所以x3x2x1x3x2x1第54页，共82页，编辑于2022年，星期六张量是正交张量 张量的转置记为第一式两边乘以第二式两边乘以,有于是即或第55页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5.2 标量（纯量 Scalar）在坐标变换时其值保持不变，即满足如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量？第56页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5.3 矢量（Vector）设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即（对 i 求和）（对 i 求和）满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量第57页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5.3 矢量（Vector）哑标换成 k 比较上式两边，得即该变换是正交的第58页，共82页，编辑于2022年，星期六1.5.4 张量（Tensor）对于直角坐标系，有九个量按照关系变换成中的九个量则此九个量定义一个二阶张量。将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数）第59页，共82页，编辑于2022年，星期六第60页，共82页，编辑于2022年，星期六第61页，共82页，编辑于2022年，星期六第62页，共82页，编辑于2022年，星期六1.6 张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是第63页，共82页，编辑于2022年，星期六对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 称为二阶张量T的分量令第64页，共82页，编辑于2022年，星期六可理解为矢量Tej在ei上的分量，即第65页，共82页，编辑于2022年，星期六因此，有下面三种等价的表达式：第66页，共82页，编辑于2022年，星期六其中称为在基矢量组e1,e2,e3下二阶张量T 的矩阵。注意：矢量a、b 及张量T本身与坐标系无关，但其分量ai,bi,Tij通过基矢量组e1,e2,e3与坐标系相关。第67页，共82页，编辑于2022年，星期六1.7.1 张量的加法和减法 设T、S均为二阶张量，将它们的和、差用下式表示：仍为二阶张量。第68页，共82页，编辑于2022年，星期六若a为一矢量，则 其分量为：其矩阵形式为：第69页，共82页，编辑于2022年，星期六1.7.2张量和标量的乘积设T为二阶张量，为一标量，它们的乘积记为 ，则仍为二阶张量。第70页，共82页，编辑于2022年，星期六因为根据坐标变换，有可见，为二阶张量。第71页，共82页，编辑于2022年，星期六1.7.3并矢积、并矢记法、基张量矢量a 和矢量b 的并矢积ab 定义为按下列规则变换任意矢量的变换：二阶张量一阶零阶第72页，共82页，编辑于2022年，星期六关于是二阶张量的证明：即证明 满足张量的定义：是一个线性变换。设有任意矢量 ，及标量 ，则由并矢积定义第73页，共82页，编辑于2022年，星期六可见：满足张量的定义。第74页，共82页，编辑于2022年，星期六 关于基矢量组 的分量：有些文献把 写成第75页，共82页，编辑于2022年，星期六矩阵形式：第76页，共82页，编辑于2022年，星期六基矢量 的并矢积：第77页，共82页，编辑于2022年，星期六第78页，共82页，编辑于2022年，星期六于是，二阶张量 可以表示成：即这种并矢记法可以推广到任意阶张量，例如三阶张量 ：第79页，共82页，编辑于2022年，星期六一阶基张量二阶基张量n阶基张量可用上述并矢记法表示基张量：第80页，共82页，编辑于2022年，星期六一阶张量二阶张量n 阶张量于是，有等号右边称为广义标量记法。第81页，共82页，编辑于2022年，星期六到此为止，我们已有四种张量记法：不变性（符号，抽象）记法分量（指标）记法并矢记法广义标量记法第82页，共82页，编辑于2022年，星期六