全微分及其应用.ppt

一、全微分的定义二*、全微分在近似计算中的应用8.3 全微分及其应用上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、全微分的定义函数f(x y)对x的偏微分函数f(x y)对y的偏增量函数f(x y)对y的偏微分v全增量 zf(xx yy)f(x y)v偏增量与偏微分 f(xx y)f(x y)fx(x y)x f(x yy)f(x y)fy(x y)y 函数f(x y)对x的偏增量下页 根据一元函数微分学中增量与微分的关系 有 f(xx y)f(x y)f(x yy)f(x y)fx(x y)x fy(x y)y上页下页铃结束返回首页v全微分的定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分 而AxBy称为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz 即 dzAxBy 如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分 下页 如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量 zf(xx yy)f(x y)可表示为上页下页铃结束返回首页v可微分与连续 偏导数存在不一定连续 但可微分必连续 这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微 则 zf(xx yy)f(x y)AxByo(r)因此函数zf(x y)在点(x y)处连续 下页于是从而上页下页铃结束返回首页v可微分的必要条件v应注意的问题下页v可微分与连续 偏导数存在不一定连续 但可微分必连续 如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导 偏导数存在是可微分的必要条件 但不是充分条件 上页下页铃结束返回首页v可微分的充分条件 以上结论可推广到三元及三元以上函数 下页v可微分的必要条件v可微分与连续 偏导数存在不一定连续 但可微分必连续 如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导 则函数在该点可微分 上页下页铃结束返回首页v叠加原理 按着习惯 x、y分别记作dx、dy 并分别称为自变量的微分 这样函数zf(x y)的全微分可写作 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如uf(x y z)的全微分为下页上页下页铃结束返回首页 例1 计算函数zx2yy2的全微分 解 所以 例2 计算函数zexy在点(2 1)处的全微分 解 所以 dz2xydx(x22y)dy dze2dx2e2dy 下页因为 因为 上页下页铃结束返回首页 解 首页 例3 因为 所以上页下页铃结束返回首页二*、全微分在近似计算中的应用 当函数zf(x y)在点(x y)的两个偏导数fx(x y)fy(x y)连续 并且|x|y|都较小时 有近似等式zdzfx(x y)xfy(x y)y 即 f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 下页上页下页铃结束返回首页 例4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由20cm增大到20 05cm 高度由100cu减少到99cm 求此圆柱体体积变化的近似值 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V 则有 V r2h 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3 220100005202(1)VdV 2rhrr2h 200(cm3)VrrVhh 下页 f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y zdzfx(x y)xfy(x y)y 已知r20 h100 r0 05 h1 根据近似公式 有 上页下页铃结束返回首页 例5 计算(104)202的近似值(104)202 所以 x yyx y1xx yln x y f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y108 12212100412ln1002 解 设函数 f(x y)x y 显然 要计算的值就是函数在 x104 y202时的函数值f(104 202)结束 f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y zdzfx(x y)xfy(x y)y 因为 取x1 y2 x004 y002