直角坐标系下平面图形面积和旋转体体积.pptx

直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、由x=a，x=b,y=0 及 y=f(x)所围成的平面图形的面积为2、由x=a，x=b,y=f(x)及 y=g(x)所围平面图形的面积为3、由y=c，y=d,x=0 及 x=(y)所围平面图形的面积为第1页/共38页 平面图形的面积例题选举例1 计算由 及 所围成的图形的面积。例2 计算由曲线 和 所围成的图形的面积。例3 计算由 和 所围成的图形的面积。例4 求椭圆 的面积。解第2页/共38页练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴轴（3）第3页/共38页练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）第4页/共38页一般地：如右图中的阴影部分的面积为 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或 第5页/共38页12法一：以 y 作积分变量 法二：以 x 作积分变量 （7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。第6页/共38页例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线星形线解由图形的对称性可得偶次方化倍角 即第7页/共38页如果平面曲线由极坐标给出，如右图：如果平面曲线由极坐标给出，如右图：由由所围成的图形称为曲边扇形。所围成的图形称为曲边扇形。其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为 极坐标系下的平面图形的面积（演示）（扇形面积近似替换）第8页/共38页例6 求双纽线 所围平面图形的面积。例7 求心形线 所围平面图形的面积。极坐标系下的平面图形的面积计算例题解 解 第9页/共38页例 9 求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。解例8 求由曲线 所围成的图形面积。解第10页/共38页旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）旋转一周所得的立体（旋转一周所得的立体（演示）。）。可选取适当坐标系，使旋转轴为可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴或轴。轴。最基本的情形是曲边梯形绕最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴或轴旋转的情形。轴旋转的情形。旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。第11页/共38页aby=f(x)dcx=g(y)旋转体的体积计算公式1、旋转轴为 x 轴（演示）由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（a0)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（c0)所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为 y 轴（演示）第12页/共38页oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式例 1 连接坐标原点 O 及点 P(h,r)的直线，直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。xx+dx解 如图所示 任取 ，形成区间 体积元素为 直线OP的方程为 所求体积为 第13页/共38页旋转体的体积例题选举例2 求星形线 绕 轴旋转构成旋转体的体积。第14页/共38页返回例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。解 如图所示V2V1第15页/共38页练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周 绕x轴旋转一周 第16页/共38页练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周 第17页/共38页1y=x31y轴轴轴轴练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 绕y轴旋转一周 1y=x3y第18页/共38页21练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 第19页/共38页例4 求由曲线 及 所围成的图形绕直线 旋转一周而构成的旋转体的体积。yo-223x4第20页/共38页再见！再见！2 2第21页/共38页问题的提出返回第22页/共38页定积分元素法分析返回第23页/共38页定积分元素法返回第24页/共38页平面图形的面积（直角坐标）返回第25页/共38页求面积例题 1返回第26页/共38页面积例题 2返回第27页/共38页求面积例题 3返回第28页/共38页例 4 求椭圆面积返回第29页/共38页平面图形的面积（极坐标）返回第30页/共38页旋转体概念返回第31页/共38页旋转体实例圆锥返回第32页/共38页旋转体实例圆柱返回第33页/共38页旋转体体积推导返回第34页/共38页体积例题 3返回第35页/共38页体积例题 2返回第36页/共38页体积例题 5返回第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页