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    矩阵论学习教程.pptx

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    矩阵论学习教程.pptx

    定义7.2(ij+1),则称B为上Hessenberg矩阵,简称Hessenberg形,即B的形状为可以用平面旋转变换化矩阵为Hessenberg形,下面介绍另一种正交变换。为了节省运算工作量,实用的方法是先将矩阵约化为与Schur分块上三角阵很近似的Hessenberg形。第1页/共23页定义7.3(7.4.1)为(初等)镜面反射矩阵,或Householder变换矩阵。Houholder矩阵H=H(w)有如下性质:(1)(2)(3)记S为与w垂直的平面,则几何上x与y=Hx关于平面S对称。事实上,由上式表明向量x-y与w平行,注意到y与x的长度相等,于是x经变换后的象y=Hx是x关于s对称的向量,如图7-1所示。第2页/共23页xwyx-y图7-1对应于性质(2),有下面的定理。定理7.10得Hx=y。证第3页/共23页由此可得定理得证。(7.4.2)(7.4.3)第4页/共23页稳定性。(7.4.2)的意义是对向量作消元运算。与平面旋转不同的是,镜面反射变换可成批的消去向量的非零元。例7.4 解第5页/共23页(7.4.4)定理7.11为Hessenberg形。证第6页/共23页变换,有如此类推,经n-2步对称正交相似变换,得到Hessenberg形矩阵。第7页/共23页推论7.1对称三对角阵。上述定理7.11的证明是构造的,即可以用镜面反射化矩阵Hessenberg形。此定理可用平面旋转变换来证明,即也可用平面旋转变换化矩阵为Hessenberg如此类推,最后得到的正交矩阵Q,是平面旋转矩阵的乘积。7.4.2 QR算法及其收敛性 QR算法可以用来求任意的非奇异矩阵的全部特征值,是目前计算这类问题最有效的方法之一。它基于对任何实的非奇异矩阵都可以分解为正交阵Q和上三角矩阵R的乘积。第8页/共23页 定理7.2 (QR分定理)上三角阵R,使得A=QR,且当R的对角元素均取正时,分解是唯一的。证类似于定理7.11的证明,对矩阵A的左乘一系列正交变换矩阵,可以将A化为上三角形矩阵,因此,可得A的QR分解。下面证明分解的唯一性。设有两种分解上式左边为正交阵,即这个式子左边是下三角阵,则右边是上三角阵,所以只能是对角阵。设定理得证。第9页/共23页一般按平面旋转变换或镜面反射变换作出的分解A=QR,R的对角元不定理7.12的唯一QR分解。如下的算法:(7.4.5)或称为基本QR算法。QR算法,第10页/共23页证 容易证(1)从它递推得定理7.13QR算法产生的序列 满足:(1)(2)一般情形下,QR算法的收敛性比较复杂。若矩阵序列 对角元均收敛,且严格下三角部分元素均收敛到零,则对求A的特征值而言已经足够了。此时,我们称 基本收敛到上三角阵。下面对最简单的情性给出收敛性定理。第11页/共23页设矩阵 的特征值满足定理7.14=LU,其中L为单位下三角阵U为上三角阵,则QR算法产生的序列 基本收敛到上三角阵,其对角极限为更一般地,在一定条件下,由QR算法生成的序列 收敛为Schur分块上三角形,对角块按特征值的模从大到小排列,上述定理是它的特殊情形。当收敛结果为Schur分块上三角形时,序列 的对角块以上的元素以及2阶块的元素不一定收敛,但不影响求全部特征值。例7.5 用QR方法求下列矩阵的全部特征值。第12页/共23页解先用镜面反射变换化矩阵A为Hessenberg形矩阵 ,然后用平面旋转变换作QR分解进行迭代,生成序列 。(1)的计算结果为第13页/共23页该矩阵A非对称,从计算结果看,收敛于上三角阵。(2)的计算结果为第14页/共23页 从计算结果来看,迭代收敛于Schur分块上三角形,对角块分别是1阶和2阶子 一般在实际使用QR方法之前,先用镜面反射变换将A化为Hessenberg形矩阵H,然后对H作QR迭代,这样可以大大节省运算工作量。因为上 Hessenberg阵H的 次对角线以下元素均为零,所以用平面旋转变换作QR分解较为方便。对i=1,2,.n-1,依次用平面旋转矩阵J(i,i+1)左乘H,使J(i,i+1)H的第i+1行第i列元素为零。左乘J(i,i+1)后,矩阵H的第i行与第i+1行零元素位置上仍为零,其他行不变。这样,共n-1次左乘正交矩阵后得到上三角阵R。即 =R,=J(n-1,n)J(n-2,n-1)J(1,2)。可以验证 是一个下Hessenberg阵,即U是一个上Hessenberg阵。这样,得到H的QR分解H=UR。在作QR迭代时,下一步计算RU,容易验证RU是一个上Hessenberg阵。以上说明了QR算法保持了H的上Hessenberg结构形式。例 7.6求Hessenberg形矩阵 的特征值。第15页/共23页解重复上面的过程,计算11次得至此,不难看出,一个特征值是4,另一个特征值是-1,其他两个特征值是方程第16页/共23页上述用QR方法求得的特征值是该特征方程的准确解。7.4.3 带原点位移的QR算法 前面我们介绍了在反幂法中应用原点位移的策略,这种思想方法也可用于QR算法。一般我们针对上Hessenberg矩阵讨论QR算法,并且假设每次QR迭代中产生的 都是不可约的,否则,可以将问题分解为较小型的问题。这样,带原点位移的QR算法可以描述为:第17页/共23页第18页/共23页根据QR算法的收敛性质,位移量有下列两种取法:例7.7 用带原点位移的QR算法求下列矩阵的特征值:第19页/共23页解 先用镜面反射变换把A化为上Hessenberg矩阵。按(7.4.3)式有第20页/共23页第21页/共23页 该问题如果不用带原点位移的QR算法,而是用基本QR算法,则收敛速度很慢,计算结果为第22页/共23页谢谢您的观看!第23页/共23页

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