研究生入学考试大数定律与中心极限定理.pptx
1 随机变量序列依概率收敛的定义 第1页/共41页2定理5.2表明，当n很大时，的算术平均 接近于数学期望 。这种接近是在概率意义下的接近。此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。第2页/共41页3 例2：第3页/共41页4第4页/共41页52 中心极限定理第5页/共41页6第6页/共41页7 例3：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。第7页/共41页8 例4：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。第8页/共41页9 例5：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。第9页/共41页10 例6：第10页/共41页11 例7：（例1续）在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用中心极限定理,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。第11页/共41页12例1(用Chebyshev不等式的结果)第12页/共41页13 大数定律与中心极限定理的区别与联系：设 为独立同分布随机变量序列，则由 对任意的0有 大数定律虽并未给出 的表达式,但保证了其极限是1.而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格莱维）亦 成立，这时，对于任意的0及某固定的n，有 .由于 ，因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见中心极限定理的结论更为深入。第13页/共41页14 数 理 统 计第14页/共41页15关键词：总 体 个 体 样 本 统 计 量 第六章 数理统计的基本概念第15页/共41页16引言：数理统计学数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限的，甚至是少量的。例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。第16页/共41页17 一个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个成员称为个体.研究某批灯泡的质量考察国产轿车的质量总体总体1 1 总体和样本总体和样本总体与个体第17页/共41页18 然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.该批灯泡寿命的全体就是总体灯泡的寿命国产轿车每公里的耗油量所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体第18页/共41页19 由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X,Y,Z,X,Y,Z,等表等表示总体。当我们说到总体，就是指一个具有示总体。当我们说到总体，就是指一个具有确定概率分布的随机变量确定概率分布的随机变量(或者随机向量或者随机向量)。第19页/共41页20随机样本1.样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”.所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.第20页/共41页21 容量为n的样本可以看作n维随机变量.但是,一 旦取定一组样本,得到的是n个具体的数 称此为样本的一次观察值,简 称样本值.2.简单随机样本简单随机样本 抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性且便于处理.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条:第21页/共41页22满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.1.代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布.2.独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.第22页/共41页23 说明说明：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X具有概率密度f(x)，则样本（X1,X2,Xn）具有联合密度函数：第23页/共41页24统计量统计量：样本的不含任何未知参数的函数。常用统计量常用统计量：设（X1,X2,Xn）为取自总体X的样本统计量统计量第24页/共41页25 第25页/共41页262 2 常用的分布常用的分布 第26页/共41页27 第27页/共41页28 第28页/共41页29 第29页/共41页30 第30页/共41页31第31页/共41页32第32页/共41页33 正态总体样本均值和方差的分布正态总体样本均值和方差的分布第33页/共41页34第34页/共41页35第35页/共41页第36页/共41页37 第37页/共41页38 第38页/共41页39复习思考题复习思考题 6 61.什么叫总体？什么叫简单随机样本？总体X的样本X1,X2,Xn有 哪两个主要性质？2.什么是统计量？什么是统计量的值？3.样本均值和样本方差如何计算？4.N(0,1)分布,t分布,2分布和F分布的双侧、下侧、上侧分位点是 如何定义的？怎样利用附表查这些分位点的值？5.对一个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？6.对两个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？第39页/共41页2023/4/21课件待续!第40页/共41页41感谢您的观看！第41页/共41页
