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第十章第十章 量纲分析量纲分析第1页，此课件共19页哦 国际单位制国际单位制(SI)中，常用的基本量纲为：中，常用的基本量纲为：L T M 在工程单位制中在工程单位制中，常用的基本量纲为：常用的基本量纲为：L T F导出量纲：导出量纲：式中：式中：纯数的特点：纯数的特点：1）既无量纲又无单位）既无量纲又无单位 2）数值大小与所选的单位无关）数值大小与所选的单位无关【例例2】量纲公式10.1P2有压管流：有压管流：Recr=2000第2页，此课件共19页哦n4、量纲和谐原理、量纲和谐原理 一个完整的、正确反映客观规律的物理方程式中，各项物理量的一个完整的、正确反映客观规律的物理方程式中，各项物理量的量纲是一致的。量纲是一致的。用途：用途：1）检验方程的正确性和完整性）检验方程的正确性和完整性（经验公式除外）。（经验公式除外）。2）确定公式中物理量的指数，建立物理方程。）确定公式中物理量的指数，建立物理方程。n二、量纲分析法二、量纲分析法 n1、瑞利（、瑞利（Rayleigh）法）法 某一物理现象某一物理现象y同同x x1 1、x x2 2、xxn n因素有关因素有关。式中：式中：k为纯数，为纯数，1、2、n为待定指数。待定指数。写出量写出量纲式：式：式中：式中：a、b、c、ai、bi、ci均为已知。均为已知。10.1P3第3页，此课件共19页哦 从而求出待定指数从而求出待定指数n瑞利法的局限：影响因素瑞利法的局限：影响因素 n3时，时，(n-3)个指数非唯一解。个指数非唯一解。n【例【例3】实验表明：有压管流的下临界流速】实验表明：有压管流的下临界流速v vcr与管径与管径d、密度密度、动力动力粘滞系数数粘滞系数数有关，试用量纲分析法确定其函数关系。有关，试用量纲分析法确定其函数关系。n【解解】10.1P4第4页，此课件共19页哦10.1P5第5页，此课件共19页哦n2、定理（定理（Buckingham定理）定理）若某一物理现象包含若某一物理现象包含n个物理量个物理量，即，即 涉及到涉及到m个基本量纲个基本量纲，则该物理过程可表达成由，则该物理过程可表达成由n个物理量构成的个物理量构成的（n-mn-m）个量纲一的量（无量纲量）所组成的关系式。）个量纲一的量（无量纲量）所组成的关系式。n定理解定理解题步步骤：1）确定和物理现象有关的确定和物理现象有关的n个物理量个物理量x1 、x2 、xn。写出方程。写出方程 2）确定）确定n个物理量中包含的基本量纲的数目个物理量中包含的基本量纲的数目m；并选择；并选择m个基本物理量个基本物理量 一般情况下，一般情况下，m3。基本物理量的量纲应是独立的，即不能组成一。基本物理量的量纲应是独立的，即不能组成一个无量纲量个无量纲量。10.1P6第6页，此课件共19页哦 通常分别选择几何学、运动学和动力学的量各一即可。通常分别选择几何学、运动学和动力学的量各一即可。3）组成量纲一的量）组成量纲一的量1、2、n-m 。式中：式中：10.1P7量纲独立量纲独立第7页，此课件共19页哦 4）由量纲和谐原理确定各变量指数）由量纲和谐原理确定各变量指数 i、i、i，从而确定从而确定 i。5）组成无量纲表达式。组成无量纲表达式。n【例【例4】分析表明：总流边界单位面积上的切应力】分析表明：总流边界单位面积上的切应力0 0，与流体的密度，与流体的密度、动力粘度、动力粘度、平均流速、平均流速v v、断面特性几何尺寸（例如管径、断面特性几何尺寸（例如管径d d、水力半、水力半径径R R）及壁面粗糙高度）及壁面粗糙高度有关，令沿程阻力系数有关，令沿程阻力系数 8f(Re 8f(Re，/d)/d)，试证明：试证明：n【解解】1）确定物理量：）确定物理量：0 0、v v、d d、；2 2）确定基本物理量确定基本物理量 ：、v v、d d；m=3 m=3 3 3）组成量纲一的量）组成量纲一的量1 1、2 2、3 3 。10.1P8第8页，此课件共19页哦4）确定各变量指数）确定各变量指数 i、i、i，从而确定从而确定 i。对1：对2：10.1P9第9页，此课件共19页哦对3：5）组成无量纲表达式。组成无量纲表达式。10.1P10第10页，此课件共19页哦n10.2 10.2 流动相似流动相似 n流动相似的概念是几何相似的扩展流动相似的概念是几何相似的扩展 n一、流动相似的概念一、流动相似的概念 若两个流动（原型和模型）对应点上各同名物理量之间存在一定若两个流动（原型和模型）对应点上各同名物理量之间存在一定的比例，则两流动相似。的比例，则两流动相似。标量：对应点物理量大小成固定比例；标量：对应点物理量大小成固定比例；矢量：对应点物理量大小成比例，方向相同。矢量：对应点物理量大小成比例，方向相同。n1、几何相似、几何相似 两流动（原型和模型）的流场几何形状相似，对应长度都成一两流动（原型和模型）的流场几何形状相似，对应长度都成一 定的比例关系定的比例关系。10.2P1流动相似包括 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件相似 边界条件相似 流动相似的充分必要条件 第11页，此课件共19页哦 下标下标“p”：原型中的物理量：原型中的物理量 下标下标“m”：模型中的物理量：模型中的物理量 原型和模型各相应物理量的比例称为比尺，用原型和模型各相应物理量的比例称为比尺，用“”表示。表示。n正态模型正态模型:长、宽、高均采用同一个长度比尺长、宽、高均采用同一个长度比尺 的模型。的模型。n2、运动相似、运动相似：两流动的流速场及加速度场相似：两流动的流速场及加速度场相似。10.2P2速度比尺：第12页，此课件共19页哦n3、动力相似、动力相似 两个流动的力场几何相似。即对应点上相同性质的力方向相同，两个流动的力场几何相似。即对应点上相同性质的力方向相同，大小成一固定的比例关系。大小成一固定的比例关系。时间比尺：加速度比尺：牛顿一般相似原理牛顿一般相似原理10.2P3第13页，此课件共19页哦n二、相似准则二、相似准则 在某种流动状态中，只考虑其中起主要作用的力的流动相似条在某种流动状态中，只考虑其中起主要作用的力的流动相似条 件称为相似准则。件称为相似准则。n1、重力相似准则（弗劳德相似准则）、重力相似准则（弗劳德相似准则）：重力起主导作用：重力起主导作用 10.2P4Fr物理意义：惯性力与物理意义：惯性力与 重力之比重力之比第14页，此课件共19页哦n2、粘滞力相似准则（雷诺相似准则）：粘滞力起主导作用、粘滞力相似准则（雷诺相似准则）：粘滞力起主导作用n三、模型试验三、模型试验 需解决的问题：需解决的问题：1）模型设计，即长度比尺）模型设计，即长度比尺l l的确定。的确定。2）模型律的选择。）模型律的选择。10.2P5Re物理意义：惯性力与物理意义：惯性力与 粘滞力之比粘滞力之比第15页，此课件共19页哦n1、雷诺模型、雷诺模型：按粘滞力相似准则设计模型：按粘滞力相似准则设计模型n适用：粘滞力起主导作用的流动。如：有压管流。适用：粘滞力起主导作用的流动。如：有压管流。若原型和模型采用同种温度的相同液体，即若原型和模型采用同种温度的相同液体，即 则：则：10.2P6即：即：第16页，此课件共19页哦n特别要注意的问题：特别要注意的问题：对有压管流，在紊流的阻力平方区，对有压管流，在紊流的阻力平方区，说明：在紊流的阻力平方区，相对粗糙高度是引起损失的主要因说明：在紊流的阻力平方区，相对粗糙高度是引起损失的主要因素，而粘滞力则次之。素，而粘滞力则次之。因次，两流动只要满足因次，两流动只要满足即可自动满足流动相似。自动模型区，简称即可自动满足流动相似。自动模型区，简称“自模区自模区”。n【例【例5】有一直径】有一直径dp=20的的 输油管，油的输油管，油的v40106/s，其，其流量流量Q0.01m3/s。若模型试验采用。若模型试验采用dm=5的的 圆管，试求：用圆管，试求：用20的水（的水（v1.003106/s）作实验时的流量。）作实验时的流量。【解】油的流速【解】油的流速10.2P7第17页，此课件共19页哦 选用雷诺模型选用雷诺模型 10.2P8层流层流第18页，此课件共19页哦n2、弗劳德、弗劳德 模型：按重力相似准则设计模型模型：按重力相似准则设计模型n适用：重力起主导作用的流动。如：明渠流、堰流。适用：重力起主导作用的流动。如：明渠流、堰流。n【例【例6】某水库以】某水库以l l=100=100做底孔放空模型试验，在模型上测得放空做底孔放空模型试验，在模型上测得放空时间时间t tm m=12h=12h，试求原型上的放空水库所需时间。，试求原型上的放空水库所需时间。【解解】10.2P9第19页，此课件共19页哦