离散数学群环域格.ppt
1第十章第十章 群与环群与环主要内容主要内容l群的定义与性质群的定义与性质l子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解l循环群与置换群循环群与置换群l环与域环与域l格格2半群、独异点与群的定义半群、独异点与群的定义定义定义10.1(1)设设V=是代数系统，是代数系统，为二元运算，如果为二元运算，如果 运算是可运算是可结合的，则称结合的，则称V为为半群半群.(2)设设V=是半群，若是半群，若eS是关于是关于 运算的单位元，则称运算的单位元，则称V 是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做独异点独异点.有时也将独异点有时也将独异点V 记作记作V=.(3)设设V=是独异点，是独异点，e S关于关于 运算的单位元，若运算的单位元，若 a S，a 1 S，则称，则称V是是群群.通常将群记作通常将群记作G.3实例实例例例1(1),都是半群，都是半群，+是普通加是普通加法法.这些半群中除这些半群中除外都是独异点外都是独异点(2)设设n是大于是大于1的正整数，的正整数，和和都是半都是半群，也都是独异点，其中群，也都是独异点，其中+和和分别表示矩阵加法和矩阵分别表示矩阵加法和矩阵乘法乘法(3)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中 为集合对称差运算为集合对称差运算(4)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中Zn=0,1,n 1，为模为模n加法加法(5)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中为函数的复合运算为函数的复合运算(6)为半群，其中为半群，其中R*为非零实数集合，为非零实数集合，运算定义如运算定义如下：下：x,y R*,xy=y4例例2设设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为上的运算由下表给出，称为Klein四元群四元群 e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e 实例实例特征：特征：1.满足交换律满足交换律2.每个元素都是自己的逆元每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素果都等于剩下的第三个元素5有关群的术语有关群的术语定义定义10.2(1)若群若群G是有穷集，则称是有穷集，则称G是是有限群有限群，否则称为无，否则称为无限群限群.群群G 的基数称为群的基数称为群G 的的阶阶，有限群，有限群G的阶记作的阶记作|G|.(2)只含单位元的群称为只含单位元的群称为平凡群平凡群.(3)若群若群G中的二元运算是可交换的，则称中的二元运算是可交换的，则称G为为交换群交换群或或阿贝阿贝尔尔(Abel)群群.实例：实例：和和是无限群，是无限群，是有限群，也是是有限群，也是n 阶群阶群.Klein四元群是四元群是4阶群阶群.是平凡群是平凡群.上述群都是交换群，上述群都是交换群，n阶阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群构成的群是非交换群.610.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解定义定义10.5设设G是群，是群，H是是G的非空子集，的非空子集，(1)如果如果H关于关于G中的运算构成群，则称中的运算构成群，则称H是是G的的子群子群,记作记作HG.(2)若若H是是G的子群，且的子群，且H G，则称，则称H是是G的的真子群真子群，记作，记作HG.例如例如nZ(n是自然数是自然数)是整数加群是整数加群的子群的子群.当当n1时时,nZ是是Z的真子群的真子群.对任何群对任何群G都存在子群都存在子群.G和和e都是都是G的子群，称为的子群，称为G的的平凡平凡子群子群.710.4环与域环与域 定义定义10.12设设是代数系统，是代数系统，+和和是二元运算是二元运算.如果满足如果满足以下条件以下条件:(1)构成交换群构成交换群(2)构成半群构成半群(3)运算关于运算关于+运算适合分配律运算适合分配律则称则称是一个是一个环环.通常称通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法，运算为环中的运算为环中的乘法乘法.环中加法单位元记作环中加法单位元记作0，乘法单位元（如果存在）记作，乘法单位元（如果存在）记作1.对任何元素对任何元素x，称，称x 的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作，记作 x.若若x 存在乘法逆元的话，则称之为存在乘法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1.8环的实例环的实例例例15(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为乘法构成环，分别称为整数环整数环Z，有理数环有理数环Q，实数环实数环R 和和复数环复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构关于矩阵的加法和乘法构成环，称为成环，称为n 阶实矩阵环阶实矩阵环.(3)集合的幂集集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设设Zn0,1,.,n1，和和 分别表示模分别表示模n的加法和乘的加法和乘法，则法，则构成环，称为构成环，称为模模n的整数环的整数环.9特殊的环特殊的环定义定义10.13设设是环是环(1)若环中乘法若环中乘法适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环(2)若环中乘法若环中乘法存在单位元，则称存在单位元，则称R是是含幺环含幺环(3)若若 a,bR，ab=0a=0b=0，则称，则称R是是无零因子环无零因子环(4)若若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是是整环整环(5)设设R是整环，且是整环，且R中至少含有两个元素中至少含有两个元素.若若 aR*，其中，其中R*=R 0，都有，都有a1R，则称，则称R是是域域.10例例17(1)整数环整数环Z、有理数环、有理数环Q、实数环、实数环R、复数环、复数环C都是交换都是交换环环,含幺环含幺环,无零因子环和整环无零因子环和整环.除了整数环以外都是域除了整数环以外都是域.(2)令令2Z=2z|zZ，则，则构成交换环和无零因子环构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环但不是含幺环和整环.(3)设设n Z,n 2,则则n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和关于矩阵加法和乘乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环也不是整环.(4)构成环，它是交换环构成环，它是交换环,含幺环含幺环,但不是无零因子但不是无零因子环和整环环和整环.2 3=3 2=0，2和和3是零因子是零因子.l注意：对于一般的注意：对于一般的n,Zn是整环当且仅当是整环当且仅当n是素数是素数.实例实例1111.1 格的定义与性质格的定义与性质 定义定义11.1设设是偏序集，如果是偏序集，如果 x,y S，x,y都有最小上都有最小上界和最大下界，则称界和最大下界，则称S关于偏序关于偏序 作成一个作成一个格格.求求x,y最小上界和最大下界看成最小上界和最大下界看成x 与与y 的二元运算的二元运算和和，例例1设设n是正整数，是正整数，Sn是是n的正因子的集合的正因子的集合.D为整除关系，则为整除关系，则偏序集偏序集构成格构成格.x,ySn，xy是是lcm(x,y)，即，即x与与y的的最小公倍数最小公倍数.xy是是gcd(x,y)，即，即x与与y的最大公约数的最大公约数.12图2例例2判断下列偏序集是否构成格，并说明理由判断下列偏序集是否构成格，并说明理由.(1)，其中，其中P(B)是集合是集合B的幂集的幂集.(2)，其中，其中Z是整数集，是整数集，为小于或等于关系为小于或等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出偏序集的哈斯图分别在下图给出.实例实例(1)幂集格幂集格.x,yP(B)，xy就是就是xy，xy就是就是xy.(2)是格是格.x,yZ，xy=max(x,y)，xy=min(x,y)，(3)都不是格都不是格.可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界13格的性质：算律格的性质：算律定理定理11.1设设是格是格,则运算则运算和和适合交换律、结合律、适合交换律、结合律、幂等律和吸收律幂等律和吸收律,即即(1)a,bL有有 ab=ba,ab=ba(2)a,b,cL有有(ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc)(3)aL有有aa=a,aa=a(4)a,bL有有a(ab)=a,a(ab)=a14格作为代数系统的定义格作为代数系统的定义定理定理11.4设设是具有两个二元运算的代数系统是具有两个二元运算的代数系统,若对于若对于 和和运算适合交换律、结合律、吸收律运算适合交换律、结合律、吸收律,则可以适当定义则可以适当定义S中中的偏序的偏序,使得使得构成格构成格,且且 a,bS 有有ab=a b,ab=ab.证明省略证明省略.根据定理根据定理11.4,可以给出格的另一个等价定义可以给出格的另一个等价定义.定义定义11.3设设是代数系统是代数系统,和和是二元运算是二元运算,如果如果 和和满足交换律、结合律和吸收律满足交换律、结合律和吸收律,则则构成格构成格.15实例实例例例9设设B为任意集合为任意集合,证明证明B的幂集格的幂集格构成布尔代数构成布尔代数,称为集合代数称为集合代数.证证(1)P(B)关于关于和和构成格构成格,因为因为和和运算满足交换律运算满足交换律,结合律和吸收律结合律和吸收律.(2)由于由于和和互相可分配互相可分配,因此因此P(B)是分配格是分配格.(3)全下界是空集全下界是空集,全上界是全上界是B.(4)根据绝对补的定义根据绝对补的定义,取全集为取全集为B,xP(B),x是是x的补元的补元.从而证明从而证明P(B)是有补分配格是有补分配格,即布尔代数即布尔代数.定义定义11.10 如果一个格是有补分配格如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布则称它为布尔格或布尔代数尔代数.布尔代数标记为布尔代数标记为,为求补运算为求补运算.
