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第六章第六章 试验设计及数据试验设计及数据分析（二）分析（二）主要内容主要内容6.4 6.4 正交试验设计正交试验设计6.5 6.5 均匀设计均匀设计6.4 正交试验设计正交试验设计 最常用的多因素优选法最常用的多因素优选法6.4.1 正交试验设计的发展历史正交试验设计的发展历史1926 美国农业科研工作开始运用第 2次世界大战中,英国军火局战后,英国公布了这项技术美国戴明教授引进日本日本田口玄一在 50 年代带头研究,简化,提出国际标准型正交试验法。他认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法,只能算半个工程师”。70 年代末,日本做出明显成绩的项目150万个以上1991年,美国 J.格林姆 认为：“也是当今日本工业遥遥领先的主要原因.”6.4.1 正交试验设计的发展历史正交试验设计的发展历史在中国：在中国：v70 年代,我国对日本的方法进一步加以改进,简化，并进行了推广v实践证明,正交试验设计是最受科技人员欢迎的几种方法之一v用它安排各种科学试验,确实简便易学,效果显著v目前在中国期刊网上可以检索到使用正交试验设目前在中国期刊网上可以检索到使用正交试验设计的论文计的论文5561篇。篇。6.4.2 正交试验的特点和步骤正交试验的特点和步骤正交试验法就是利用排列整齐的正交表对试验进行整正交试验法就是利用排列整齐的正交表对试验进行整体设计、综合比较、统计分析，实现通过少数的试验体设计、综合比较、统计分析，实现通过少数的试验次数找到较好的生产条件，以达到最高生产工艺效果次数找到较好的生产条件，以达到最高生产工艺效果正交表的特点：正交表的特点：完成试验要求所需的实验次数少完成试验要求所需的实验次数少数据点的分布很均匀数据点的分布很均匀可用相应的极差分析方法、方差分析方法等对试验可用相应的极差分析方法、方差分析方法等对试验结果进行分析，引出有价值的结论结果进行分析，引出有价值的结论正交试验示例：正交试验示例：某化工厂想提高某化工产品的转化率，对生产工艺某化工厂想提高某化工产品的转化率，对生产工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验，寻求最适中三个主要因素各按三个水平进行试验，寻求最适宜的操作条件。宜的操作条件。因素水平温度压力Pa加碱量kgTPm 1 2 3T1(80)T2(100)T3(120)P1(5.0)P2(6.0)P3(7.0)m 1(2.0)m2(2.5)m3(3.0)6.4.2 正交试验的特点和步骤正交试验的特点和步骤正交试验步骤：正交试验步骤：1）明确试验目的，确定考察指标：对示例，试验目明确试验目的，确定考察指标：对示例，试验目的是搞清除三个因素对转化率有什么影响，哪些的是搞清除三个因素对转化率有什么影响，哪些是主要影响因素，哪些是次要因素，从而确定最是主要影响因素，哪些是次要因素，从而确定最佳工艺条件。考察指标即产品转化率。佳工艺条件。考察指标即产品转化率。2）确定因素与水平，制定因素水平表（即上页表）。）确定因素与水平，制定因素水平表（即上页表）。注意水平排列顺序不一定按上述从小到大的顺序，注意水平排列顺序不一定按上述从小到大的顺序，可以进行随机化处理。可以进行随机化处理。3）选择适宜的正交表，进行表头设计，确定试验方）选择适宜的正交表，进行表头设计，确定试验方案。案。6.4.2 正交试验的特点和步骤正交试验的特点和步骤正交试验步骤：正交试验步骤：4）进行试验工作，进行试验时，试验顺序采用随机）进行试验工作，进行试验时，试验顺序采用随机化原则，即不一定按照正交表中的试验顺序开展化原则，即不一定按照正交表中的试验顺序开展试验，可以随机选择。试验，可以随机选择。5）分析试验结果：直观分析（极差分析），方差分）分析试验结果：直观分析（极差分析），方差分析。析。6）验证试验。）验证试验。6.4.3 正交表正交表1.正交表的符号正交表的符号 正正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名的基础上交表是运用组合数学理论在正交拉丁名的基础上构造的一种规格化的表格。构造的一种规格化的表格。LN(qs)正交表列数：因素的个数正交表列数：因素的个数各因素的水平数（各因素相等时）各因素的水平数（各因素相等时）正交表的行数：实验的次数正交表的行数：实验的次数正交表的代号正交表的代号常见正交表常见正交表v各列水平均为2的常用正交表有：L4（23），），L8（27），），L12（211），），L16（215），），L20（219），），L32（231）v各列水平数均为3的常用正交表有：L9（34），），L27（313）v各列水平数均为4的常用正交表有：L16（45）混合水平正交表混合水平正交表v各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一个混合水平正交表名称的交表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法：写法：L 8（4124）2水平列的列数为44水平列的列数为1实验的次数正交表的代号 L 8（4124）常简写为）常简写为L 8（424）。此混合水平正交表）。此混合水平正交表含有含有1 个个4水平列，水平列，4个个2水平列，共有水平列，共有145列。列。回到示例v三因素三水平，选用正交表 L9（34）T1T2T3P1P2P3m1m1m1？用正交表安排试验v正交试验设计用正交表 L9（34）列号试验号1T2P3m4(空缺）空缺）123456789T1T1T1T2T2T2T3T3T3P1P2P3P1P2P3P1P2P3m1m2m3m2m3m1m3m1m21233122319 9组组2.正交表的特点正交表的特点1.正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀 分布的，即每个因素的各水平出现的次数相同。分布的，即每个因素的各水平出现的次数相同。【均衡分散性均衡分散性】2.正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数 对时，所有可能的数对出现的次数相同。对时，所有可能的数对出现的次数相同。表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现 的次数相等的次数相等 【整齐可比性整齐可比性】上述两点称为正交表的正交性。上述两点称为正交表的正交性。关于正交的直观印象：关于正交的直观印象：数据点分布是均匀的数据点分布是均匀的每一个面都有每一个面都有3个点个点每一条线都有每一条线都有1个点个点3.正交表初等变换下的等价性正交表初等变换下的等价性一个正交表可以进行如下三种初等变换产生不同的表一个正交表可以进行如下三种初等变换产生不同的表格：格：1）列间置换：正交表任意两列之间可以相互交换；）列间置换：正交表任意两列之间可以相互交换；2）行间置换：正交表任意两行之间可以相互交换；行间置换：正交表任意两行之间可以相互交换；3）水平置换：正交表任意一列的各水平之间可以相）水平置换：正交表任意一列的各水平之间可以相互交换。互交换。经过置换的正交表与原来的正交表是等价的，其正交经过置换的正交表与原来的正交表是等价的，其正交性不变，试验结果相同。性不变，试验结果相同。这也是水平顺序和试验顺序这也是水平顺序和试验顺序可以随机安排的原因。可以随机安排的原因。4.正交表选取的原则正交表选取的原则一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的的L表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多安排几个水表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。平，次要因素可少安排几个水平。1）先看水平数。若各因素全是）先看水平数。若各因素全是2水平，就选用水平，就选用L(2)表；若各表；若各因素全是因素全是3水平，就选水平，就选L(3)表。若各因素的水平数不相同，表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。就选择适用的混合水平表。2）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。用。为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为少留一个空白列，作为“误差误差”列，在极差分析中要作为列，在极差分析中要作为“其他因素其他因素”列处理。列处理。3）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取试验次数多的表）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取试验次数多的表 4.正交表选取的原则正交表选取的原则 4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的L表。表。（5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修改无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。原定的水平数。（6）对某因素或某交互作用的影响是否存在没有把握的情况）对某因素或某交互作用的影响是否存在没有把握的情况下，常为该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽下，常为该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可以减留到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。5.正交表表头设计正交表表头设计所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在正交表中该放在哪一列的问题。用，在正交表中该放在哪一列的问题。1）有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办）有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办事。此处不讨论，请查阅有关书籍。事。此处不讨论，请查阅有关书籍。2）若试验不考虑交互作用，则表头设计可以是任意）若试验不考虑交互作用，则表头设计可以是任意的。如在本示例中，对的。如在本示例中，对L 9（3 4）表头设计，下页）表头设计，下页表中所列的各种方案都是可用的。对试验之初不表中所列的各种方案都是可用的。对试验之初不考虑交互作用而选用较大的正交表，空列较多时，考虑交互作用而选用较大的正交表，空列较多时，最好仍与有交互作用时一样，按规定进行表头设最好仍与有交互作用时一样，按规定进行表头设计。只不过将有交互作用的列先视为空列，待试计。只不过将有交互作用的列先视为空列，待试验结束后再加以判定。验结束后再加以判定。5.正交表表头设计正交表表头设计列列 号号1234方方 案案1234T空空mPPT空空mmPT空空空空mPT6.4.4 正交试验的操作要点正交试验的操作要点1）分区组。对于一批试验，如果要使用几台不同的）分区组。对于一批试验，如果要使用几台不同的机器，或要使用几种原料来进行，为了防止机器机器，或要使用几种原料来进行，为了防止机器或原料的不同而带来误差，从而干扰试验的分析，或原料的不同而带来误差，从而干扰试验的分析，可在开始做实验之前，用可在开始做实验之前，用L表中的一个空白列来安表中的一个空白列来安排机器或原料。排机器或原料。与此类似，若试验指标的检验需要几个人（或几与此类似，若试验指标的检验需要几个人（或几台机器）来做，为了消除不同人（或仪器）检验台机器）来做，为了消除不同人（或仪器）检验的水平不同给试验分析带来干扰，也可采用在的水平不同给试验分析带来干扰，也可采用在L表表中用一空白列来安排的办法。这样一种作法叫做中用一空白列来安排的办法。这样一种作法叫做分区组法。分区组法。6.4.4 正交试验的操作要点正交试验的操作要点2）因素水平表排列顺序的随机化。如在示例中，每）因素水平表排列顺序的随机化。如在示例中，每个因素的水平序号从小到大时，因素的数值总是个因素的水平序号从小到大时，因素的数值总是按由小到大或由大到小的顺序排列。按正交表做按由小到大或由大到小的顺序排列。按正交表做试验时，所有的试验时，所有的1水平要碰在一起，而这种极端的水平要碰在一起，而这种极端的情况有时是不希望出现的，有时也没有实际意义。情况有时是不希望出现的，有时也没有实际意义。因此在排列因素水平表时，最好不要简单地按因因此在排列因素水平表时，最好不要简单地按因素数值由小到大或由大到小的顺序排列。从理论素数值由小到大或由大到小的顺序排列。从理论上讲，最好能使用随机化的方法。所谓随机化就上讲，最好能使用随机化的方法。所谓随机化就是采用抽签或查随机数值表的办法，来决定排列是采用抽签或查随机数值表的办法，来决定排列的顺序。的顺序。6.4.4 正交试验的操作要点正交试验的操作要点3）试验进行的次序没必要完全按照正交表上试验号）试验进行的次序没必要完全按照正交表上试验号码的顺序。为减少试验中由于先后实验操作熟练码的顺序。为减少试验中由于先后实验操作熟练的程度不匀带来的误差干扰，理论上推荐用抽签的程度不匀带来的误差干扰，理论上推荐用抽签的办法来决定试验的次序。的办法来决定试验的次序。4）在确定每一个实验的实验条件时，只需考虑所确）在确定每一个实验的实验条件时，只需考虑所确定的几个因素和分区组该如何取值，而不要（其定的几个因素和分区组该如何取值，而不要（其实也无法）考虑交互作用列和误差列怎么办的问实也无法）考虑交互作用列和误差列怎么办的问题。交互作用列和误差列的取值问题由实验本身题。交互作用列和误差列的取值问题由实验本身的客观规律来确定，它们对指标影响的大小在方的客观规律来确定，它们对指标影响的大小在方差分析时给出。差分析时给出。6.4.4 正交试验的操作要点正交试验的操作要点5）做实验时，要力求严格控制实验条件。这个问题做实验时，要力求严格控制实验条件。这个问题在因素各水平下的数值差别不大时尤为重要。例在因素各水平下的数值差别不大时尤为重要。例如，示例中的因素（加碱量）如，示例中的因素（加碱量）m的三个水平：的三个水平：m12.0，m2=2.5，m3=3.0，在以，在以mm2=2.5为条件为条件的某一个实验中，就必须严格认真地让的某一个实验中，就必须严格认真地让m2=2.5。若因为粗心和不负责任，造成若因为粗心和不负责任，造成m2=2.2或造成或造成m2=3.0，那就将使整个试验失去正交试验设计方，那就将使整个试验失去正交试验设计方法的特点，使极差和方差分析方法的应用丧失了法的特点，使极差和方差分析方法的应用丧失了必要的前提条件，因而得不到正确的试验和分析必要的前提条件，因而得不到正确的试验和分析结果。结果。6.4.5 正交试验的分析方法正交试验的分析方法1.直观分析（极差分析）方法直观分析（极差分析）方法以以L4（23）为例说明其计算方法。）为例说明其计算方法。列 号123试验指标yi试验号1234112212121221y1y2y3y4jjkjj/kjj/kj极差（Dj）1y1y21y3y4k121/k11/k1max-min 2y1y32y2y4k222/k22/k2max-min 3y1y43y2y3k323/k33/k3max-min 极差指的是各列中各极差指的是各列中各水平对应的试验指标水平对应的试验指标平均值的最大值与最平均值的最大值与最小值之差小值之差 1.极差分析极差分析注：注：j 第第j列列“1”水平所对应的试验指标的数值之和；水平所对应的试验指标的数值之和；j第第j列列“2”水平所对应的试验指标的数值之和；水平所对应的试验指标的数值之和；kj 第第j列同一水平出现的次数。等于试验的次数列同一水平出现的次数。等于试验的次数 （N）除以第）除以第j列的水平数。列的水平数。j/kj第第j列列“1”水平所对应的试验指标的平均值；水平所对应的试验指标的平均值；j/kj第第j列列“1”水平所对应的试验指标的平均值；水平所对应的试验指标的平均值；Dj 第第j列的极差。等于第列的极差。等于第j列各水平对应的试验指列各水平对应的试验指标平均值中的最大值减最小值，标平均值中的最大值减最小值，即即 Djmaxj/kj，j/kj，-min j/kj，j/kj，极差分析结论：极差分析结论：v极差越大，说明这个因素的水平改变对试验结果的极差越大，说明这个因素的水平改变对试验结果的影响越大，极差最大的那个因素，就是最主要的因影响越大，极差最大的那个因素，就是最主要的因素。素。v根根据据试试验验指指标标随随各各因因素素的的变变化化趋趋势势，给给出出最最佳佳方方案案。为为了了能能更更直直观观地地看看到到变变化化趋趋势势，常常将将计计算算结结果果绘绘制制成图。成图。2.方差分析方差分析方差分析法方差分析法是在是在极差分析极差分析的基础上对数据进一步分析的基础上对数据进一步分析试验指标的加和值试验指标的加和值 试验指标的平均值试验指标的平均值偏差平方和偏差平方和 f fj j 自由度。自由度。f fj j 第第j j列的水平数列的水平数1 1 V Vj j 方差。方差。V Vj j S Sj j f fj j V Ve e 误差列的方差。误差列的方差。V Ve e S Se e f fe e 。式中，式中，e e为正交表的为正交表的误差列误差列 F Fj j 方差之比方差之比 F Fj j V Vj j V Ve e查查F F分布数值表，做显著性检验分布数值表，做显著性检验方差分析结论：方差分析结论：与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列（因素）对试验指标的影响是否显著，在什么水各列（因素）对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。平上显著。如果某列对指标影响不显著，那么，讨论如果某列对指标影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的交互作用列与原来的“误差列误差列”合并起来。组成新的合并起来。组成新的“误误差列差列”，重新检验各列的显著性。，重新检验各列的显著性。一个实例一个实例v项目：研究某种钢质工件的热处理工艺项目：研究某种钢质工件的热处理工艺.v任务：提高钢材硬度任务：提高钢材硬度.水平水平因素因素淬火温度淬火温度回火温度回火温度回火时间回火时间min符号符号T1T2t123840850860410430 450406080正交表安排试验正交表安排试验试验号试验号列号列号1234硬度硬度因素因素T1T2tYj123456789840840840850850850860860860123123123410430450430450410450410430406080804060608040190200175165183212196178187正交试验结果分析正交试验结果分析v直观分析：第6组 淬火温度850，回火温度410，回火时间60min的效果最好，指标硬度最高。极差分析极差分析Ij IIj IIIjKIj/KIIj/K IIIj/K极差极差5655605613188.33186.671871.675515615743183.67187191.337.675805525543193.33184184.679.335606085183186.67202.67172.6730影响因素：回火时间影响因素：回火时间 回火温度回火温度 淬火温度淬火温度方差分析方差分析Y总和总和1686Y平均平均187.333Sj4.66788.667162.6671352fj2222Vj2.33344.33381.333676F0.052631.83415.25F0.0199999999F0.02539393939F0.0519191919F0.19999查查得得F值值方差分析结论：方差分析结论：通过查通过查F检验表，查出检验表，查出Fa的值。与计算的的值。与计算的F值相比较，值相比较，看计算值是否大于查表值。在看计算值是否大于查表值。在a取取0.1时，时，1a0.90，若此时某因素的若此时某因素的F计算值大于查表值，则有计算值大于查表值，则有90的把握的把握说这个因素是显著的。说这个因素是显著的。本例中我们有本例中我们有90的把握说回火时间这个因素是显著的把握说回火时间这个因素是显著的。的。6.5 均匀设计均匀设计6.5.1 均匀设计简介均匀设计简介当考察的因素数和水平数较多，特别是水平数较多当考察的因素数和水平数较多，特别是水平数较多时，正交试验设计法的实验次数仍然很多。例如要考察时，正交试验设计法的实验次数仍然很多。例如要考察5个因个因素，每个因素有素，每个因素有5个水平，用正交表安排实验，至少要进行个水平，用正交表安排实验，至少要进行25次实验，实验工作量仍然不少。次实验，实验工作量仍然不少。正交试验设计方法的实验次数之所以不能减至更少，是因为正交试验设计方法的实验次数之所以不能减至更少，是因为在正交试验设计方法中，为了简化数据处理，同时考虑了试在正交试验设计方法中，为了简化数据处理，同时考虑了试验的均衡分散性和整齐可比性，每一列中，同一水平至少出验的均衡分散性和整齐可比性，每一列中，同一水平至少出现现2次。如果不考虑试验数据的整齐可比性，只考虑让数据点次。如果不考虑试验数据的整齐可比性，只考虑让数据点在试验范围内均匀分散，则将实验次数减少至比正交试验设在试验范围内均匀分散，则将实验次数减少至比正交试验设计方法更少还是有可能的。计方法更少还是有可能的。6.5.1 均匀设计简介均匀设计简介均匀设计均匀设计(Uniform Design)是基于试验点在整个试验范围内是基于试验点在整个试验范围内均匀散布的从均匀性角度出发的一种试验设计方法均匀散布的从均匀性角度出发的一种试验设计方法,是数论方是数论方法中的法中的“伪蒙特卡罗方法伪蒙特卡罗方法”的一个应用的一个应用,由方开泰和王元于由方开泰和王元于1978年创立。年创立。当时我国航天三院在研讨运载火箭的数学模型时，曾试用国当时我国航天三院在研讨运载火箭的数学模型时，曾试用国外方法，长时间得不到理想结果。对于他们提出的外方法，长时间得不到理想结果。对于他们提出的5因素因素31水水平试验，而要求的试验总数限定在平试验，而要求的试验总数限定在50次以内，已有正交设计次以内，已有正交设计表无法满足要求。航天科技人员求助于中科院数学所，方开表无法满足要求。航天科技人员求助于中科院数学所，方开泰与王元商议把数论方法应用于试验设计。他们经过三个多泰与王元商议把数论方法应用于试验设计。他们经过三个多月的深入探索，共同创造出月的深入探索，共同创造出“均匀设计均匀设计”法。依此方法，法。依此方法，5因因素素31个水平的试验，仅做个水平的试验，仅做31次试验，成功地解决了难题。次试验，成功地解决了难题。6.5.1 均匀设计简介均匀设计简介均匀设计只考虑试验点在试验范围内充分均匀设计只考虑试验点在试验范围内充分“均匀散布均匀散布”而不考虑而不考虑“整齐可比整齐可比”,因此试验的结果没有正交试因此试验的结果没有正交试验验结果的整齐可比性结果的整齐可比性,其试验结果的处理要采用回归分其试验结果的处理要采用回归分析方法。析方法。因素的水平应该是等间距的，而且试验因素必须是可因素的水平应该是等间距的，而且试验因素必须是可以任意调节的，不适用于区组因素等水平难以选择的以任意调节的，不适用于区组因素等水平难以选择的因素。因素。6.5.2 均匀设计表均匀设计表均匀设计表水平数就等于试验数，均匀设计表水平数就等于试验数，nt。6.5.2 均匀设计表均匀设计表例如考察例如考察6因素因素9水平的试验，可选用水平的试验，可选用U9（96）在表的每一列中，每个水平必出现且只出现一次。在表的每一列中，每个水平必出现且只出现一次。6.5.2 均匀设计表均匀设计表每个均匀设计表都附有一个使用表每个均匀设计表都附有一个使用表,它指示如何从它指示如何从均匀设计表中选用适当的列均匀设计表中选用适当的列。它告诉试验者它告诉试验者,若有若有两个验因素两个验因素,应选用应选用、3两列来安排试两列来安排试验验;若有三个因素若有三个因素,应选用应选用1、3、5三列三列来安排试验来安排试验 均匀设计网站：均匀设计网站：http:/www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesign
