北师大九年级上1.1 你能证明它们吗(1) 课件1.ppt

北北 师师 大大 八八 年年 级级 数数 学学(上上)1、你能证明它们吗、你能证明它们吗(1)北北北北 师师师师 大大大大 九九九九 年年年年 级级级级 数数数数 学学学学(上上上上)4/22/20231本节课学些什么？本节课学些什么？重点重点:难点难点:2 2、了解作为证明基础的几条公理的内容，了解作为证明基础的几条公理的内容，了解作为证明基础的几条公理的内容，了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。掌握证明的基本步骤和书写格式。掌握证明的基本步骤和书写格式。掌握证明的基本步骤和书写格式。3 3、经历经历经历经历“探索发现猜想证明探索发现猜想证明探索发现猜想证明探索发现猜想证明”的过程。的过程。的过程。的过程。能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。能够用综合法能够用综合法能够用综合法能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。了解作为证明基础的几条公理的内容，了解作为证明基础的几条公理的内容，了解作为证明基础的几条公理的内容，了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。掌握证明的基本步骤和书写格式。掌握证明的基本步骤和书写格式。掌握证明的基本步骤和书写格式。1 1、回顾与巩固上学期证明回顾与巩固上学期证明回顾与巩固上学期证明回顾与巩固上学期证明(一一一一)的有关内容的有关内容的有关内容的有关内容;4/22/20232w w在生活实践中，人离不开交流在生活实践中，人离不开交流在生活实践中，人离不开交流在生活实践中，人离不开交流.w w交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。w w例如例如例如例如:w w“具有中华人民共和国国籍的人具有中华人民共和国国籍的人具有中华人民共和国国籍的人具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民叫做中华人民共和国公民叫做中华人民共和国公民叫做中华人民共和国公民”是是是是“中华人民共和国公民中华人民共和国公民中华人民共和国公民中华人民共和国公民”的定义的定义的定义的定义;w w为此为此为此为此,就要对名称和术语的含义加以描述就要对名称和术语的含义加以描述就要对名称和术语的含义加以描述就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定作出明确的规定作出明确的规定作出明确的规定,也就是给出它们的也就是给出它们的也就是给出它们的也就是给出它们的定义定义定义定义.w w“两点之间两点之间两点之间两点之间 线段的长度线段的长度线段的长度线段的长度,叫做这两点之间的距离叫做这两点之间的距离叫做这两点之间的距离叫做这两点之间的距离”是是是是“两点之间的距离两点之间的距离两点之间的距离两点之间的距离”的定义的定义的定义的定义;w w“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是是是是“平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形”的定义的定义的定义的定义;w你还能举出曾学过的你还能举出曾学过的“定义定义”吗吗?名词、术语名词、术语 与与 定义定义4/22/20233w w下图表示某地的一个灌溉系统下图表示某地的一个灌溉系统下图表示某地的一个灌溉系统下图表示某地的一个灌溉系统.w w上面上面上面上面“如果如果如果如果,那么那么那么那么”都是对事情进行判断的语都是对事情进行判断的语都是对事情进行判断的语都是对事情进行判断的语句句句句.判断一件事情的句子判断一件事情的句子判断一件事情的句子判断一件事情的句子,叫做叫做叫做叫做命题命题命题命题.w w如果如果如果如果B B B B处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染,那么那么那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染;w w如果如果如果如果C C C C处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染,那么那么那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染;w w如果如果如果如果D D D D处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染,那么那么那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染;w wA AB BC C E E F F H H GGD D K K J J I I I IC,E,F,GC,E,F,GE EKK做一做做一做判断判断 与与 命题命题4/22/20234下列句子都是命题吗？下列句子都是命题吗？(4)(4)无论无论无论无论n n为怎样的自然数，式子为怎样的自然数，式子为怎样的自然数，式子为怎样的自然数，式子n n2 2-n n+11+11的值都是质数；的值都是质数；的值都是质数；的值都是质数；(2)(2)(2)(2)任何一个三角形一定有直角；任何一个三角形一定有直角；任何一个三角形一定有直角；任何一个三角形一定有直角；(1)(1)(1)(1)熊猫没有翅膀；熊猫没有翅膀；熊猫没有翅膀；熊猫没有翅膀；(3)(3)(3)(3)对顶角相等；对顶角相等；对顶角相等；对顶角相等；w w反之反之反之反之,如果一个句子没有对某一伯事情作出任何判断如果一个句子没有对某一伯事情作出任何判断如果一个句子没有对某一伯事情作出任何判断如果一个句子没有对某一伯事情作出任何判断,那那那那么它就不是命题么它就不是命题么它就不是命题么它就不是命题.例如例如例如例如,下列句子都不是命题下列句子都不是命题下列句子都不是命题下列句子都不是命题:(1)(1)(1)(1)你喜欢数学吗你喜欢数学吗你喜欢数学吗你喜欢数学吗?(2)(2)作线段作线段作线段作线段AB=CD.AB=CD.(5)(5)(5)(5)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行也互相平行也互相平行也互相平行.w w命题一般都写成命题一般都写成命题一般都写成命题一般都写成“如果如果如果如果,那么那么那么那么”的形式的形式的形式的形式,你能把上面的命题都写成你能把上面的命题都写成你能把上面的命题都写成你能把上面的命题都写成“如果如果如果如果,那么那么那么那么”的形式吗的形式吗的形式吗的形式吗?做一做做一做命题命题 的的 一般形式一般形式4/22/20235命题的命题的 真真、伪、伪命命命命题题题题 的的的的 组组组组成成成成组组组组成剖析成剖析成剖析成剖析命命命命题题题题的的的的表达形式表达形式表达形式表达形式如果如果如果如果那么那么那么那么真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题题设题设题设题设结论结论结论结论已知事项已知事项已知事项已知事项由已知事项推出的事项由已知事项推出的事项由已知事项推出的事项由已知事项推出的事项如果题设成立，那么结论一定成立如果题设成立，那么结论一定成立如果题设成立，那么结论一定成立如果题设成立，那么结论一定成立题设成立时，不能保证结论还是正确的题设成立时，不能保证结论还是正确的题设成立时，不能保证结论还是正确的题设成立时，不能保证结论还是正确的 下列命题中是假命题的是（）下列命题中是假命题的是（）下列命题中是假命题的是（）下列命题中是假命题的是（）A A过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交直线；过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交直线；过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交直线；过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交直线；B B直角的补角是直角；直角的补角是直角；直角的补角是直角；直角的补角是直角；C C同旁内角互补；同旁内角互补；同旁内角互补；同旁内角互补；D D垂线段最短垂线段最短垂线段最短垂线段最短做一做做一做说明一个命题是假命题，只要举出一个虽然具备题设条件，但说明一个命题是假命题，只要举出一个虽然具备题设条件，但说明一个命题是假命题，只要举出一个虽然具备题设条件，但说明一个命题是假命题，只要举出一个虽然具备题设条件，但结论不成立的例子（反例）结论不成立的例子（反例）结论不成立的例子（反例）结论不成立的例子（反例）思路分析思路分析思路分析思路分析（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）C C 4/22/202361.1.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截,如果同位角相等如果同位角相等如果同位角相等如果同位角相等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行那么这两条直线平行那么这两条直线平行;2.2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等;3.3.两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等;4.4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;5.5.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等;6.6.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等,对应角相等对应角相等对应角相等对应角相等.公理、定理公理、定理 与与 证明证明【公理公理公理公理】【证明证明证明证明】【定理定理定理定理】公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理(axiomaxiom).).经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理(theorem).(theorem).(theorem).(theorem).除了公理外除了公理外除了公理外除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实其它真命题的正确性都通过推理的方法证实其它真命题的正确性都通过推理的方法证实其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明推理的过程称为证明推理的过程称为证明推理的过程称为证明.本套教材选用如下命题作为公理:4/22/20237几何的三种语言、平行线的判定几何的三种语言、平行线的判定abc21abc12abc12公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论(推论推论推论推论),),),),以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用.【公理公理公理公理】同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.1=1=2,2,a ab.b.【判定定理判定定理判定定理判定定理 1 1】内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.1=1=2,2,a ab.b.【判定定理判定定理判定定理判定定理 2 2】同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.1+1+2=1802=180 ,a ab.b.4/22/20238几何的三种语言、平行线的性质几何的三种语言、平行线的性质【公理公理公理公理】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等.abc21abc12abc12 a ab,b,1=1=2.2.a ab,b,1=1=2.2.【性质定理性质定理性质定理性质定理 1 1】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等.【性质定理性质定理性质定理性质定理 2 2】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补.a ab,b,1+1+2=1802=180 .公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论(推论推论推论推论),),),),以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用.4/22/20239几何的三种语言、几何的三种语言、三角形内角和定理三角形内角和定理ABCABC中中中中,A+A+B+B+C=180C=180o o.A+A+B+B+C=180C=180o o 的几种变形的几种变形的几种变形的几种变形:w w A=180A=180o o(B+B+C).C).w w B=180B=180o o(A+A+C).C).w w C=180C=180o o(A+A+B).B).w w A+A+B=180B=180o o C.C.w w B+B+C=180C=180o o A.A.w w A+A+C=180C=180o o B.B.A AB BC C【三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理】三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180o o.公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论(推论推论推论推论),),),),以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用.4/22/202310几何的三种语言、关注三角形的外角几何的三种语言、关注三角形的外角 ABCABC中中中中:1.1.1=1=2+2+3;3;2.2.112,2,113.3.A AB BC CD D1 12 23 34 4【三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论】【推论推论推论推论1 1】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余.【推论推论推论推论2 2】【推论推论推论推论3 3】公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论(推论推论推论推论),),),),以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用.4/22/202311有关三角形全等的一些结论有关三角形全等的一些结论【公理公理公理公理】三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等.(SSS)(SSS)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.全等三角形的确对应边、对应角相等全等三角形的确对应边、对应角相等全等三角形的确对应边、对应角相等全等三角形的确对应边、对应角相等.两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等.(SAS)(SAS)(ASA)(ASA)(AAS)(AAS)【公理公理公理公理】【公理公理公理公理】【推论推论推论推论】【公理公理公理公理】运用上述公理和已经证明的定理及其推论，运用上述公理和已经证明的定理及其推论，运用上述公理和已经证明的定理及其推论，运用上述公理和已经证明的定理及其推论，我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。4/22/202312驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸学好几何的标志是会学好几何的标志是会“证明证明”证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:(1)(1)(1)(1)理解题意理解题意理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件分清命题的条件分清命题的条件(已知已知已知已知),),),),结论结论结论结论(求证求证求证求证););););(2)(2)(2)(2)根据题意根据题意根据题意根据题意,画出图形画出图形画出图形画出图形;(3)(3)(3)(3)结合图形结合图形结合图形结合图形,用符号语言用符号语言用符号语言用符号语言 写出写出写出写出“已知已知已知已知”和和和和“求证求证求证求证”;”;”;”;(4)(4)(4)(4)分析题意分析题意分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路探索证明思路探索证明思路 (5)(5)(5)(5)依据思路依据思路依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言运用数学符号和数学语言运用数学符号和数学语言运用数学符号和数学语言 条理清晰地写出证明过程条理清晰地写出证明过程条理清晰地写出证明过程条理清晰地写出证明过程;(6)(6)(6)(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善完善完善.(由由由由“因因因因”导导导导“果果果果”,执执执执“果果果果”索索索索“因因因因”.);.);.);.);4/22/202313等腰三角形的性质等腰三角形的性质的的验证与与证明明议一议议一议(1)(1)你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)(2)(2)(2)你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗？ABC底边底边底边底边腰腰腰腰腰腰腰腰顶角底角底角底角底角底角底角底角底角等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等.简称简称简称简称:等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角.等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质验证方法验证方法验证方法验证方法用折纸重叠法用折纸重叠法用折纸重叠法用折纸重叠法.ABC以底边的中线为折痕以底边的中线为折痕以底边的中线为折痕以底边的中线为折痕4/22/202314“等边对等角等边对等角”由由实验到到论证议一议议一议(1)(1)你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)(2)你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗？ABC(3)(3)你能利用已有的公理和定理你能利用已有的公理和定理你能利用已有的公理和定理你能利用已有的公理和定理 来证明来证明来证明来证明“等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角”这一结论吗这一结论吗这一结论吗这一结论吗？A把折好的纸打开把折好的纸打开把折好的纸打开把折好的纸打开BC不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。由此实验得到启发由此实验得到启发由此实验得到启发由此实验得到启发折痕就是折痕就是折痕就是折痕就是我们用于证明时要我们用于证明时要我们用于证明时要我们用于证明时要添加添加添加添加的的的的辅助线辅助线辅助线辅助线。做一做做一做你现在能证明你现在能证明你现在能证明你现在能证明“等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角”这一结论吗？这一结论吗？这一结论吗？这一结论吗？注意注意注意注意千万不要忘记书写的基本格式千万不要忘记书写的基本格式千万不要忘记书写的基本格式千万不要忘记书写的基本格式写写写写“已知已知已知已知”、“求证求证求证求证”、“证明证明证明证明”。4/22/202315等腰三角形的等腰三角形的 “三线合一三线合一”ABCCBA想一想想一想想一想想一想在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕ADADD是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形ABCABC的怎样的线？的怎样的线？的怎样的线？的怎样的线？线段线段线段线段ADAD的还具有怎样的性质？的还具有怎样的性质？的还具有怎样的性质？的还具有怎样的性质？D为什么？为什么？为什么？为什么？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。的中线、底边上的高互相重合。的中线、底边上的高互相重合。的中线、底边上的高互相重合。“等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角”定理定理定理定理 的的的的推论：推论：推论：推论：线段线段线段线段ADAD是是是是BCBC边的中线、边的中线、边的中线、边的中线、BACBAC的平分线、的平分线、的平分线、的平分线、边边边边BCBC上的高。上的高。上的高。上的高。4/22/202316随堂练习随堂练习 学好数学的诀窍学好数学的诀窍1 1、证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于6060。做题做题随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习P42 2、如图，如图，如图，如图，ABDABD中，中，中，中，C C是是是是BDBD上的一点，且上的一点，且上的一点，且上的一点，且ACACBDBD。AC=BC=CDAC=BC=CD。(1)(1)求证：求证：求证：求证：ABDABD是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形;(2)(2)求求求求BADBAD的度数的度数的度数的度数.ABCD4/22/202317作业1 1、2 2。1 1 你能证明它们吗你能证明它们吗你能证明它们吗你能证明它们吗P 5习习习习 题题题题 1.1 1.14/22/202318