自由曲线与曲面.pptx
工业产品的几何形状大致可分为两类一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。第1页/共76页另一类由自由曲面组成，如汽车车身等的曲线和曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究，这些研究成果形成了计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科第2页/共76页样条曲线曲面样条曲线曲面样条曲线曲面样条曲线曲面在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交样条曲线来描述。第3页/共76页曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数方程和参数方程表示：直线的表示形式：已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：第4页/共76页直线的隐函数方程表示为：直线的参数方程表示为：第5页/共76页由于用参数方程表示的曲线曲面可以直接进行几何变换，而且易于表示成矢量和矩阵，所以在计算机图形学中一般使用参数方程来描述曲线曲面。一条三次曲线的参数方程的矢量和矩阵表示：第6页/共76页参数方程表示：，tt0,10,1；第7页/共76页矢量表示：tt0,10,1n矩阵表示：tt0,10,1第8页/共76页几何形式对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、P(1)描述。将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和P1，代入 得第9页/共76页令：可将其简化为：上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P0和P1。称为调和函数（或混合函数）第10页/共76页 第11页/共76页拟合和逼近拟合和逼近拟合和逼近拟合和逼近 曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点）来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点序列确定第12页/共76页拟合和逼近拟合和逼近拟合和逼近拟合和逼近 曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点第13页/共76页连续性条件连续性条件连续性条件连续性条件 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。第14页/共76页参数连续性 零阶参数连续性，记作C0，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。第15页/共76页一阶参数连续性，记作C1，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。第16页/共76页二阶参数连续性，记作C2，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。第17页/共76页7.4 Bezier7.4 Bezier7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线曲线曲线 法国雷诺汽车公司的工程师Bezier和法国雪铁龙汽车公司的de Casteljau分别提出了一种新的参数曲线表示方法，称为Bezier曲线。第18页/共76页7.4 Bezier7.4 Bezier7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线曲线曲线 Bezier的想法从一开始就面向几何而不是面向代数。Bezier曲线由控制多边形惟一定义，Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上第19页/共76页7.4 Bezier7.4 Bezier7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线曲线曲线 多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制Bezier曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使用起来非常方便。第20页/共76页几种典型的三次BezierBezier曲线 第21页/共76页曲线的定义曲线的定义给定n+1个控制点Pi（i0，1，2n），称为n次Bezier曲线。t0，1 nPi 是n+1个控制点，是Bernstein基函数第22页/共76页 1.1.1.1.一次一次BezierBezierBezierBezier曲线曲线 当n1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1，Bezier曲线是一次多项式。n可以看出，一次Bezier曲线是一段直线第23页/共76页2.2.2.2.二次二次BezierBezierBezierBezier曲线曲线 当n2时，Bezier曲线的控制多边形有三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线是二次多项式。n可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。第24页/共76页 3.3.3.3.三次三次BezierBezierBezierBezier曲线曲线 当n3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。n可以证明，三次Bezier曲线是自由曲线。第25页/共76页注意：对于Bezier曲线，在区间0,1范围内，每个基函数均不为零，说明不能使用控制多边形对曲线的形状进行局部调整，如果要改变某一控制点位置，整个曲线都将受到影响。第26页/共76页曲线的性质曲线的性质曲线的性质曲线的性质 1.端点性质在闭区间0，1内，将t0和 t1代入式（7-12），得到p(0)P0和p(1)Pn。说明Bezier曲线的起点和终点分别位于顶点P0和Pn上。第27页/共76页2.一阶导数 将式（7-12）求导，有n 在闭区间0，1内，将t0和t1代入上式，得到 第28页/共76页3.凸包性质由公式（7-13）可以看出，在闭区间0，1内，而且 。说明Bezier曲线位于控制多边形构成的凸包之内。第29页/共76页曲线的可分割性曲线的可分割性 Bezier曲线的可分割性可用德卡斯特里奥（De Casteliau）算法表达如下。给定空间n+1个点Pi（i=0，1，2n）及参数t，有第30页/共76页例如，当n=3时，有 三次Bezier曲线递推如下：第31页/共76页其中：规定：第32页/共76页根据该式可以绘制Bezier曲线，取t=0，t1/3，t2/3，t=1，点的运动轨迹形成Bezier曲线。图7-8绘制的是t=1/3的点。第33页/共76页图7-9绘制的是t=2/3的点。第34页/共76页曲面的定义曲面的定义 Bezier曲面是由Bezier曲线拓广而来，以两组正交的Bezier曲线控制点构造空间网格来生成曲面。mn次Bezier曲面的定义如下：（u，v）0，10，1 第35页/共76页依次用线段连接点列Pi,j（i0，1，m；j0，1，n）中相邻两点所形成的空间网格称为控制网格，当m3，n3时由4416个控制点构成控制网格，曲面称为双三次Bezier曲面第36页/共76页双三次双三次BezierBezier曲面的定义曲面的定义 双三次Bezier曲面定义如下：（u，v）0，10，1 第37页/共76页7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线 Bezier不足之处确定了控制多边形的顶点个数（n+1个），也就确定了曲线的次数（n次）控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差曲线不能局部修改，修改某一控制点将影响到整条曲线，原因是Bernstein基函数在整个开区间（0，1）内均不为零第38页/共76页7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线 Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条曲线。比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数可根据需要指定增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。第39页/共76页样条曲线的定义样条曲线的定义样条曲线的定义样条曲线的定义 B样条曲线分为均匀B样条曲线和非均匀B样条曲线，本书只讨论均匀B样条曲线。给定n+1个控制点Pi（i0，1，2，n），n次B样条曲线段的参数表达式为：第40页/共76页式中为n次B样条基函数，其形式为：第41页/共76页样条曲线的定义样条曲线的定义样条曲线的定义样条曲线的定义 依次用线段连接控制点Pi（i0，1，2，n）组成的多边形称为B样条曲线控制多边形。在工程实际中，二次B样条曲线和三次B样条曲线应用得较为广泛。第42页/共76页二次B样条曲线 1.矩阵表示第43页/共76页二次B样条曲线二次B样条曲线的分段参数表达式矩阵形式为：第44页/共76页二次B样条曲线2.几何性质一阶导数为：以t=0，1，1/2代入第45页/共76页二次B样条曲线2.几何性质第46页/共76页二次B样条曲线一般情况下：曲线不经过控制点；起点只与前两个控制点有关，终点只与后两个控制点有关第47页/共76页2.2.2.2.几何性质几何性质 二次二次B B样条曲线的起点样条曲线的起点p(0)p(0)位于位于P P0 0P P1 1边的中点处，边的中点处，且其切矢量且其切矢量P P1 1P P0 0沿沿P P0 0P P1 1边边的走向的走向终点终点p(1)p(1)位于位于P P1 1P P2 2边的中边的中点处，且其切矢量点处，且其切矢量P P2 2P P1 1沿沿P P1 1P P2 2边的走向边的走向P(1/2)P(1/2)正是正是P(0)P(0)、P1P1、P(1)P(1)这三点所构成的三角这三点所构成的三角形的中线形的中线P1PmP1Pm的中点的中点第48页/共76页2.2.2.2.几何性质几何性质 p(1/2)p(1/2)处的切线平行于两处的切线平行于两个端点的连线个端点的连线p(0)p(1)p(0)p(1)三个顶点三个顶点P P0 0P P1 1P P2 2确定一段确定一段二次二次B B样条曲线，该段曲线样条曲线，该段曲线是一段抛物线。一般情况是一段抛物线。一般情况下，下，B B样条曲线不经过控制样条曲线不经过控制点，曲线起点只与前二个点，曲线起点只与前二个控制点有关，终点只与后控制点有关，终点只与后二个控制点有关。二个控制点有关。第49页/共76页三次三次B B样条曲线样条曲线 1.矩阵表示控制多边形有四个顶点P1,P2,P3,P4第50页/共76页三次B样条曲线1.矩阵表示三次B样条曲线的分段表示为：第51页/共76页三次B样条曲线1.几何性质求一阶导数和二阶导数第52页/共76页三次B样条曲线以t=0，1代入第53页/共76页三次B样条曲线以t=0，1代入第54页/共76页 2.2.几何性质曲线的起点p(0)位于P0P1P2底边P0P2的中线上，且距P1点三分之一处。该点处的切矢量p(0)平行于P0P1P2的底边P0P2，且长度为其二分之一。该点处的二阶导数p”(0)沿着中线P1Pm方向，长度等于中线的两倍。第55页/共76页 2.2.几何性质曲线终点p(1)位于P1P2P3底边P1P3的中线上距P2点三分之一处。该点处的切矢量p(1)平行于P1P2P3的底边P1P3，且长度为其二分之一。该点处的二阶导数p”(1)沿着中线方向，长度等于中线的两倍。第56页/共76页 2.2.几何性质B样条曲线不经过控制点，曲线起点只与前三个控制点有关，终点只与后三个控制点有关。实际上，B样条曲线都具有这种控制点的邻近影响性第57页/共76页样条曲线的性质样条曲线的性质1.连续性给定m+n+1个控制点Pi（i=0,1,m+n），可定义m+1段n次的B样条曲线控制点Pi，Pi+1，Pi+2，确定的第i段曲线，C1连续第58页/共76页二次B样条曲线的连续性 第59页/共76页 三次B样条曲线的连续性 第60页/共76页样条曲线的性质样条曲线的性质例如：9个控制点由几段二次曲线构成？由几段三次曲线构成？第61页/共76页第62页/共76页第63页/共76页B样条曲线的性质1.连续性控制点PiPi+1Pi+2 Pi+3，确定的第i段三次曲线，C2连续第64页/共76页B样条曲线的性质2.局部性每段B样条曲线受n+1个控制点影响，改变一个控制点的位置，最多影响n+1个曲线段，其它部分得形状保持不变。第65页/共76页构造特殊三次B样条曲线1.两顶点重合使B样条线和控制多边形的边相切第66页/共76页构造特殊三次B样条曲线2.三顶点重合曲线上出现尖点第67页/共76页构造特殊三次B样条曲线3.三顶点共线用来处理连接两段弧第68页/共76页构造特殊三次B样条曲线4.四顶点共线可用来接入一条直线第69页/共76页样条曲面的定义样条曲面的定义样条曲面的定义样条曲面的定义 B样条曲面是B样条曲线的二维推广，给定(m1)(n+1)个控制点Pi,j(i=0,1,m；j=0,1,n)，其表达式为：第70页/共76页双三次双三次B B样条曲面的定义样条曲面的定义 双三次B样条曲面定义如下：第71页/共76页展开式有：第72页/共76页双三次B样条曲面是由三次B样条曲线交织而成。曲面生成时可以通过固定u,变化v得到一簇三次B样条曲线；固定v，变化u得到另一簇三次B样条曲线。与三次B样条曲线相似，双三次B样条曲面一般情况下不通过控制网格的任何一个顶点。第73页/共76页第74页/共76页双三次双三次B B样条曲面的连续性样条曲面的连续性 双三次B样条曲面的优点是极为自然地解决了曲面片之间地连接问题，例如，只要将控制网格沿某一个方向延伸一排，就可以决定另一个曲面片，此时曲面片理所当然地保证二者之间达到了C2连续性。第75页/共76页感谢您的观看！第76页/共76页
