用坐标法研究仿射变换.pptx

证明:设 f 是仿射点变换,I:O;e1,e2 是平面仿射坐标系,平面上任一点P 在 I 中的坐标为(x,y),P 在 f 下的像 f(P)在 I 中的坐标为(x,y).记 II:f(O);f(e1),f(e2),根据仿射变换基本定理,它是仿射坐标系,且任一点 Q 在 f 下的像f(Q)在 II 中的坐标等于 Q 在 I 中的坐标(x,y).设 f(e1),f(e2),f(O)在 I 中的坐标分别为(a11,a21),(a12,a22),(b1,b2),于是f(P)在 II 中的坐标为(x,y).3.1 仿射变换的变换公式 第1页/共54页则 I 到 II 的坐标变换公式为 从而 f(P)的I 坐标(x,y)和 II 坐标(x,y)应满足 而上式右端的(x,y)又可以理解为P 的I 坐标,故上式,即(4.3)式就是平面的一个仿射点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式,其系数矩阵A=(aij)是 I 到 II 的过渡矩阵,是可逆矩阵.3.1 仿射变换的变换公式 第2页/共54页反之,如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为(4.3),且其系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵,则 f 显然是可逆变换,其逆变换 f 1 可由下式给出此外,设三点A,B,C共线,且在 I 中的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根据P22.例1.7,则有 3.1 仿射变换的变换公式 第3页/共54页由假设,像点 f(A),f(B),f(C)在 I 中的坐标分别为(a11x1+a12y1+b1,a21x1+a22y1+b2),(a11x2+a12y2+b1,a21x2+a22y2+b2),(a11x3+a12y3+b1,a21x3+a22y3+b2),因为行列式 113.1 仿射变换的变换公式 第4页/共54页=0.根据P22.例1.7 可知,f(A),f(B),f(C)共线.综上可知,f 是仿射(点)变换.3.1 仿射变换的变换公式 第5页/共54页注:1.若平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为其中系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵,则其决定的向量变换在该仿射坐标系中的公式为A称为变换矩阵.(4.3)(4.4)3.1 仿射变换的变换公式 第6页/共54页2.仿射变换f 在仿射坐标系I中的变换矩阵就是I 到 f(I)的过渡矩阵,因此它的两个列向量分别为I的坐标向量e1,e2的像f(e1),f(e2)在I中的坐标.3.仿射变换的变换公式和坐标变换公式在形式上完全相同,但意义完全不同！仿射变换的变换公式中,(x,y),(x,y)是不同的两个点A及其像点f(A)(或不同的两个向量 u 与f(u)在同一个坐标系中的坐标;而在坐标变换公式中,(x,y),(x,y)是同一个点(或向量)在不同坐标系中的坐标.3.1 仿射变换的变换公式 第7页/共54页4.对仿射向量变换公式的理解:(1)若知道向量或它的像向量中任一个坐标,可由公式求出另一个坐标.(2)若能求出任意向量及其像向量之间的关系表达式,则其矩阵表达式中的矩阵即为f 的变换矩阵.5.给定仿射变换 f 在仿射坐标系I 中的变换公式,若已知某图形 或它的像f()的方程,可利用变换公式求出 的像f()或 的方程.3.1 仿射变换的变换公式 第8页/共54页例 1 已知在仿射坐标系 I 中,仿射变换 f 的点变 换公式为 直线 l 的方程为 3x+y 1=0,求 f(l)的方程.解:方法1.根据题设变换公式反解得 代入 l 的方程得 3(2x+3y 16)+(3x+4y 23)1=0.整理得 9x 13y+72=0.于是 f(l)的方程为 9x 13y+72=0.3.1 仿射变换的变换公式 第9页/共54页方法2.(待定系数法)设 f(l)的方程为 Ax+By+C=0,将题设变换公式代入得到 l 的方程为 A(4x 3y 5)+B(3x 2y+2)+C=0,它与 3x+y 1=0 都是 l 的方程,于是 从左式得 A:B=9:13,右式得 A:C=1:8.取 A=9,B=13,C=72,得 f(l)的方程为9x 13y+72=0.3.1 仿射变换的变换公式 第10页/共54页方法3.取 l 上一点 P1(0,1)和 l 的方向向量 u(1,3),根据题设变换公式得 f(P1)的坐标为(8,0),根据题设,向量变换公式为 得 f(u)的坐标为(13,9),于是 f(l)的方程为 即 9x 13y+72=0.3.1 仿射变换的变换公式 第11页/共54页例 2 在仿射坐标系 I 中,仿射变换 f 把直线 x+y 1=0 变为 2x+y 2=0,把直线 x+2y=0 变为x+y+z=0,把点(1,1)变为(2,3),求 f 在 I 中的变换公式.解:方法1.(待定系数法)假设所求变换公式为 因为 f 把直线 x+y 1=0 变为 2x+y 2=0,即 直线 2x+y 2=0 的原像是 x+y 1=0,从而3.1 仿射变换的变换公式 第12页/共54页2(a11x+a12y+b1)+(a21x+a22y+b2)2=0 就是直线 x+y 1=0,(2a11+a21):(2a12+a22):(2b1+b22)=1:1:(1),即 2a11+a21=2a12+a22 2a11+a21=(2b1+b2 2)类似地,由f 把直线 x+2y=0变为x+y+1=0 可得到(a11+a21):(a12+a22):(b1+b2+1)=1:2:0,即 2(a11+a21)=a12+a22 b1+b2+1=0 于是 3.1 仿射变换的变换公式 第13页/共54页再由f 把点(1,1)变为点(2,3)得到 a11+a12+b1=2 a21+a22+b2=3 从上面这6个方程解出 a11=3,a12=1,b1=2,a21=1,a22=3,b2=1,于是所求变换公式为 3.1 仿射变换的变换公式 第14页/共54页方法2.把点(x,y)经过变换得到的像点的坐标x,y 看作 x,y 的函数,用条件来决定变换公式.直线 2x+y 2=0 的原像是 x+y 1=0,从而 2x+y 2=0(其中x,y 看作 x,y 的函数)与 x+y 1=0表示同一条直线的方程,因此存在数s,使得 2x+y 2=s(x+y 1),再由f 把点(1,1)变为点(2,3),用x=1,y=1,x=2,y=3 代入,求出 s=5.3.1 仿射变换的变换公式 第15页/共54页直线 x+y+1=0 的原像是 x+2y=0,因此存在数t,使得 x+y+1=t(x+2y),再由f 把点(1,1)变为点(2,3),用x=1,y=1,x=2,y=3 代入,求出 t=2.由此解得 从而 x+y+1=0与 x+2y=0表示同一条直线,3.1 仿射变换的变换公式 第16页/共54页例3(P207.1)证明:在任何仿射坐标系中,位似 变换的变换矩阵都是数量矩阵kE,其中k 是位似系数.反之,如果一个仿射变换在某个仿射坐标系 中的变换矩阵是数量矩阵kE,其中k 1,则它一定是位似变换.证明:设 f 是位似变换,位似中心M,位似系数k.建立平面仿射坐标系I:O;e1,e2,设位似中心M在 I 中的坐标为(a,b),平面上任一点P 在 I 中的坐标为(x,y),P 在 f 下的像 f(P)在 I 中的坐标为(x,y).根据位似变换的定义,有 3.1 仿射变换的变换公式 第17页/共54页M f(P)=kMP=(ae1+be2)+(k(xa)e1+k(yb)e2)故 因此位似变换 f 在 I 中的变换矩阵为数量矩阵kE.从而 O f(P)=OM+M f(P)=(kx+(1 k)a)e1+(ky+(1 k)b)e2=OM+kMP 又 O f(P)=xe1+ye2 即 3.1 仿射变换的变换公式 第18页/共54页反之,设仿射变换 f 在某个仿射坐标系I 中的变换 矩阵是数量矩阵kE,其中k 1,设其变换公式为令M 是在 I 中坐标为(c/(1 k),d/(1 k)的点,设平面上任一点P 在 I 中的坐标为(x,y),有M f(P)=(kx+cc/(1 k)e1+(ky+db/(1 k)e2=k(xc/(1 k)e1+(y d/(1 k)e2)=kMP即 f 是以M为位似中心,位似系数为k 的位似变换.3.1 仿射变换的变换公式 第19页/共54页3.2 变换矩阵的性质 在变换公式(4.3)和(4.4)中,变换矩阵A=(aij)是关键因素.已经知道仿射变换 f 在一个仿射坐 标系I 中的变换矩阵即为I 到 f(I)的过渡矩阵,下 面给出变换矩阵的几个重要性质,主要回答以下两个问题:(1)已知两个仿射变换在一个仿射坐标系I 中的 变换矩阵,如何求它们的乘积的变换矩阵?(2)已知仿射变换 f 在一个仿射坐标系I 中的变换矩阵,如何求 f 在另一个仿射坐标系II 中的变 换矩阵?第20页/共54页引理 设I1和I2是平面上的两个仿射坐标系,它们分别被仿射变换f 变为II1和II2,则I1到I2的过渡矩阵与II1到II2的过渡矩阵相同.I1 I2 II1 II2ffAAA的列向量是I2坐标向量e1,e2的I1坐标过渡矩阵的列向量是f(I2)坐标向量f(e1),f(e2)的f(I1)坐标f(I1)=f(I2)=3.2 变换矩阵的性质 第21页/共54页性质1.若仿射变换f 把坐标系I变成II,则f 在II中的变换矩阵就是f 在I中的变换矩阵.3.2 变换矩阵的性质 I II II f(II)ffAAf(I)=f(I)第22页/共54页性质2.若仿射变换f,g在仿射坐标系I中的变换矩阵分别为A,B,则它们的乘积gf 在I中的变换矩阵为BA.I f(I)g(I)g(f(I)ABABA3.2 变换矩阵的性质 第23页/共54页性质3.若仿射变换f 在仿射坐标系I中的变换矩阵为A,则它的逆变换f 1在I中的变换矩阵为A1.性质4.设仿射变换 f 在仿射坐标系I中的变换矩阵为A,I到仿射坐标系II的过渡矩阵为H,则 f 在II中的变换矩阵为H1AH.I f(I)II f(II)AHH1AHHH13.2 变换矩阵的性质 第24页/共54页性质4表明:同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵相似,并且可用这两个坐标系间的过渡矩阵实现这个相似关系.性质5.同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵的行列式相等.命题4.8 仿射变换的变积系数等于它的变换矩阵的行列式的绝对值.仿射变换的变换矩阵的行列式有很强的几何意义:证明:设在仿射坐标系I:O;e1,e2中,仿射变换 f 的变换矩阵为 3.2 变换矩阵的性质 第25页/共54页则 f(e1)f(e2)=(a11e1+a21e2)(a12e1+a22e2)=(a11a22 a12a21)e1 e2=|A|e1 e2,所以 f 的变积系数 因|e1 e2|,|f(e1)f(e2)|分别是 I 和 f(I)的两个坐标向量所夹平行四边形 和 的面积,且显然 =f(),3.2 变换矩阵的性质 第26页/共54页定义:平面的仿射变换f,若它在仿射坐标系中的变换公式的系数矩阵A的行列式|A|0,则称f 为第一类的;若|A|0,则称 f 是第二类的.因为 f(e1)f(e2)=|A|e1 e2,所以 第一类仿射变换 仿射坐标系 I 与 f(I)的定向相同.第二类仿射变换 仿射坐标系 I 与 f(I)的定向相反.3.2 变换矩阵的性质 第27页/共54页P207.习题4.3 3,5,6,11(1,2).作 业第28页/共54页定义:如果非零向量u 与f(u)平行,则称u为f 的一个特征向量;此时有唯一实数使得 f(u)=u,称为f 的一个特征值,也称u为f 的属于特征值的特征向量.求法:设f 在仿射坐标系I中的公式为变换矩阵A3.3 仿射变换不动点特征向量 仿射变换的特征值和特征向量第29页/共54页则非零向量u(x0,y0)是 f 的属于特征值的特征向量当且仅当当且仅当下面齐次线性方程组有非零解:当且仅当行列式称为 f 的特征方程或 即(4.6)(4.7)3.3 仿射变换不动点特征向量 第30页/共54页步骤1.求特征值,即特征方程的解.步骤2.对每一特征值 ,求齐次方程组 的非零解,即为 f 的属于特征值的特征向量.或 这样求仿射变换特征向量和特征值的步骤如下:3.3 仿射变换不动点特征向量 第31页/共54页例 4 设f 是位似系数为k 的位似变换,求f 的特征 向量与特征值.解:由例3可知,位似变换在任何仿射坐标系中的变换矩阵都是数量矩阵kE,故其特征方程为22k+k2=(k)2=0,从而 f 有两个相同的特征值1=2=k.对于1=2=k,齐次方程组(4.6)中两个方程都是恒等式0=0,故任何非零向量都是 f 的特征向量.直观上,位似变换将任何非零向量映成与之平行 的向量,故任何非零向量都是f 的特征向量.3.3 仿射变换不动点特征向量 第32页/共54页求法:f 的不动点即为下面方程组的解.于是当行列式 定义 设 f:是一个仿射变换,P .如果 P 在 f 下不动,即 f(P)=P,则称 P 为 f 的一个不动点.仿射变换的不动点3.3 仿射变换不动点特征向量 第33页/共54页(1)不为零时(即1 不是 f 的特征值),f 有唯一不动点.(2)为零且方程组无解,此时f 无不动点.(3)为零且两个一次方程同解,此时f 有无穷多个不动点.若 f=id,则每一点都是不动点;否则 f 的不动点构成一条直线:(1a11)x 2a12y b1=0.3.3 仿射变换不动点特征向量 第34页/共54页例 5 已知仿射变换 f 在一个仿射坐标系中的 变换公式为(1)求f 的不动点和特征向量;(2)求f 的变积系数;(3)作仿射坐标系,使得原点是不动点,坐标轴 平行于特征向量,求f 在此坐标系中的变换公式.解:(1)解方程组 得f 的不动点为点O(1/2,2).3.3 仿射变换不动点特征向量 第35页/共54页解特征方程 2 9+18=0 得f 的特征值为 1=3,2=6.对于1=3,解齐次方程组 得 f 的属于1=3 的特征向量为 k(1,4)T(k 0).对于1=6,解齐次方程组 得 f 的属于2=6 的特征向量为 k(1,1)T(k 0).3.3 仿射变换不动点特征向量 第36页/共54页(2)f 的变积系数为(3)解法一:待定系数法,运用变换矩阵的性质4.设所求的 f 的变换公式为 因为原点是不动点,所以 由此得 d1=d2=0.3.3 仿射变换不动点特征向量 第37页/共54页设 f 在旧坐标系中的变换矩阵为A,根据性质4,f 在新坐标系中的变换矩阵B应为 又新坐标轴平行于特征向量,所以可取特征向量(1,4)T,(1,1)T 分别作为新系的坐标向量 ,从而旧坐标系到新坐标系的过渡矩阵为3.3 仿射变换不动点特征向量 第38页/共54页故 f 在新坐标系中的变换公式为 即 3.3 仿射变换不动点特征向量 第39页/共54页(3)解法二:利用特征向量的性质.由原点是不动点,所以f 在新系中的变换公式中常数项为0;又新坐标轴平行于特征向量,故坐标向量 分别平行于u=(1,4)T,v=(1,1)T,设则因此仿射变换 f 在新系中的变换矩阵为 从而 f 在新系中的变换公式为 3.3 仿射变换不动点特征向量 第40页/共54页定理 平面的保距点变换 f 在一个直角坐标系中的公式为()其中系数矩阵A=(aij)是正交矩阵.反之,如果平面的一个点变换 f 在一个直角坐标系中的公式为(),且其系数矩阵A=(aij)是正交矩阵,则 f 是保距(点)变换.3.4 保距变换的变换公式 类似于仿射变换的变换公式,有如下定理:第41页/共54页设f 是平面 上的保距变换.取 I:O;e1,e2 为右 手直角坐标系,由上面定理可知,f 在 I 中的变换矩阵为正交矩阵.情形1.若f 是第一类保距变换,则|A|=1,于是A 有如下形式:若=0,则 ,于是 f 的点变换公式为 3.4 保距变换的变换公式 第42页/共54页此时f 是一个平移,平移量为 u(b1,b2).如果0 2,则 故f 有唯一不动点M0(x0,y0).作移轴,使新原点为 M0,得新直角坐标系I:M0;e1,e2,则I 到I 的坐标变换公式为 3.4 保距变换的变换公式 第43页/共54页设 f 在 I 中的变换公式为将I 到I 的坐标变换公式代入上式可得 因为M0(x0,y0)是f 的不动点,故 3.4 保距变换的变换公式 第44页/共54页将它代到上式中可得到 f 在 I 中的变换公式为因此f 是绕M0的旋转,转角为.总结以上结果,得到 命题4.9 平面上第一类保距变换或是平移,或是旋转.3.4 保距变换的变换公式 第45页/共54页情形2.若f 是第二类保距变换,则|A|=1,此时A 有两个不相等的特征值,其乘积为1.设 是f 的特征值,e 是f 的相应的特征向量,则 f(e)=e.又f 是保距变换,e 和f(e)长度相等,于是由|f(e)|=|e|=|e|可得|=1,这样f 的特征值为1 和 1.取直角坐标系I:O;e1,e2,使e1为属于特征值 1 的 特征向量,则f(e1)在 I 中的坐标为(1,0).3.4 保距变换的变换公式 第46页/共54页于是 f 在 I 中的变换矩阵为再由 A 是正交矩阵,以及|A|=1,可得a12=0,a22=1.因此 f 在 I 中的变换公式为3.4 保距变换的变换公式 第47页/共54页 当b1=0时,f 在 I 中的变换公式为从而 f 是关于直线 的反射.当b1 0 时,f 是关于直线 的反射与平移量为b1e1 的平移的复合,b1e1 与反射轴 平行,因此 f 是滑反射.命题4.10 平面上第二类保距变换或是反射,或是滑反射.3.4 保距变换的变换公式 第48页/共54页P210.17.(3)判断在右手直角坐标系中,有下面变换公式的保距变换 f 是什么变换,并求出其特征(旋转中心,反射轴线,滑反射轴线和滑动量等):解:因为 所以f 是第二类保距变换.3.4 保距变换的变换公式 第49页/共54页它必有特征值 1 和 1,对于特征值 1,解齐次方程组(EA)X=0,得f 的属于特征值 1 的特征向量为 k(3,1)T,k 0.保持原点不变,以属于特征值 1 的特征向量为新 坐标向量e1,建立新的右手直角坐标系,则3.4 保距变换的变换公式 第50页/共54页于是旧系到新系的坐标变换公式为 由此可解出变换 f 在 新系中的变换公式为 3.4 保距变换的变换公式 第51页/共54页由于新变换公式中常数项 b1 0,故f 是滑反射.且其滑反射轴为 ,即 也即 x+3y 4=0.其滑动量为 3.4 保距变换的变换公式 第52页/共54页P207.习题4.3 12,14,17,19.作 业第53页/共54页感谢您的观看！第54页/共54页