自动控制原理根轨迹法.pptx

1第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法一一根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 二二 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则三三 广义根轨迹广义根轨迹四四 系统性能分析系统性能分析本章主要内容：本章主要内容：第1页/共103页2本章要求本章要求1 1、正确理解根轨迹的概念；、正确理解根轨迹的概念；2 2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；3 3、了解广义根轨迹；、了解广义根轨迹；4 4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势；、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势；5 5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法第2页/共103页3一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（1）本节主要内容：本节主要内容：1、根轨迹概念根轨迹概念 2、根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 3、闭环零极点与开环零极点的关系闭环零极点与开环零极点的关系 4、根轨迹方程根轨迹方程第3页/共103页44-1-1 根轨迹概念根轨迹概念1、根轨迹根轨迹一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（2）开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在穷大时，闭环系统特征方程根在 s s平面上的轨迹称平面上的轨迹称为根轨迹。为根轨迹。2、举例说明举例说明A 控制系统如图控制系统如图第4页/共103页5B 闭环传递函数闭环传递函数一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（3）其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：C 闭环特征方程闭环特征方程 特征方程式可写为特征方程式可写为 第5页/共103页6一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（4）D 特征方程的根特征方程的根特征方程式的根为特征方程式的根为E s s平面根轨迹平面根轨迹 见右图见右图第6页/共103页74-1-2 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1、稳定性稳定性当开环增益从零变到无穷时，上当开环增益从零变到无穷时，上面图中的根轨迹不会越过虚轴进面图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半入右半s s平面，因此对所有的平面，因此对所有的K K值值都是稳定的。都是稳定的。一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（5）2、稳态性能稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I I型型系统，因而根轨迹上的系统，因而根轨迹上的K K值就是静态速度误差系数。值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。确定闭环极点位置的容许范围。第7页/共103页83、动态性能动态性能当当0 0K K0.50.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；应为非周期过程；当当K K0.50.5时，闭环两个实数极点重合，时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较仍为非周期过程，但响应速度较0 0K K0.50.5情况为快；情况为快；当当K K0.50.5时，闭环极为复数极点，系统时，闭环极为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随荡过程，且超调量将随K K值的增大而加大。值的增大而加大。一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（6）第8页/共103页94-1-3闭环零极点与开环零极点的关系闭环零极点与开环零极点的关系 1、典型控制系统典型控制系统系统特征方程系统特征方程为为一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（7）第9页/共103页10 2、前向通路传递函数前向通路传递函数 在一般情况下，前向通路传递函数可表示为在一般情况下，前向通路传递函数可表示为 一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（8）：前向通路增益：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益：前向通道根轨迹增益 第10页/共103页11 3、反馈通路传递函数反馈通路传递函数 在一般情况下，反馈通路传递函数可表示为在一般情况下，反馈通路传递函数可表示为一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（9）：反馈通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益第11页/共103页12 4、开环传递函数开环传递函数 系统的开环传递函数可表示为系统的开环传递函数可表示为 一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（10）第12页/共103页135、闭环传递函数闭环传递函数将前向通路传递函数将前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数和反馈通路传递函数H(s)代入代入得得 一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（11）第13页/共103页14 6、开闭环零极点关系开闭环零极点关系（1 1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。等于开环系统根轨迹益。（2 2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环通路传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。零点就是开环零点。（3 3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关。均有关。一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（12）第14页/共103页154-1-4 根轨迹方程根轨迹方程1、系统闭环特征方程系统闭环特征方程 由闭环传函可得系统闭环特征方程为：由闭环传函可得系统闭环特征方程为：一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（13）2、根轨迹方程根轨迹方程 当系统有当系统有m m个开环零点和个开环零点和n n个开环极点时，下个开环极点时，下式称为式称为 根轨迹方程根轨迹方程第15页/共103页163、根轨迹相角条件根轨迹相角条件（充分必要条件）（充分必要条件）一、一、根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（14）4、根轨迹模值条件根轨迹模值条件 用来确定根轨迹上各点得用来确定根轨迹上各点得 值，模值条件为值，模值条件为 根据这两个条件，可以完全确定根据这两个条件，可以完全确定s s平面上的根平面上的根 轨迹和根轨迹上对应的轨迹和根轨迹上对应的 值。值。第16页/共103页17二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则本节主要内容：本节主要内容：1、绘制根轨迹的基本方法绘制根轨迹的基本方法 2、根轨迹法则应用举例根轨迹法则应用举例 3、闭环极点的确定闭环极点的确定第17页/共103页18 本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极极点的确定方法。点的确定方法。在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根根轨迹增值轨迹增值 ，当可变参数为系统的其它参数时，当可变参数为系统的其它参数时，这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循条件本法则绘出的根轨迹，其相角遵循条件 ，因此称为因此称为 根轨迹，相应的绘制法则也就可根轨迹，相应的绘制法则也就可以以叫做叫做 根轨迹的绘制法则。根轨迹的绘制法则。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（1）第18页/共103页194-2-1 根轨迹绘制基本法则根轨迹绘制基本法则 法则法则1 1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点，终止根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。于开环零点。证明：证明：设闭环系统特征方程为设闭环系统特征方程为 式中式中可以从零变到无穷。当可以从零变到无穷。当时，有时，有 说明说明 时，闭环特征方程式的根就是开环传递时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数函数 G(s)H(s)G(s)H(s)的极点，所以根轨迹必起于开环极点。的极点，所以根轨迹必起于开环极点。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2）第19页/共103页20将特征方程改写为如下形式：将特征方程改写为如下形式：当当 时，由上式可得时，由上式可得 所以根轨迹必终于开环零点。所以根轨迹必终于开环零点。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（3）第20页/共103页21法则法则2 2 根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数根轨迹的分支数与开环极点数与开环极点数n n相等（相等（nmnm），或与），或与开开 环有限零点数环有限零点数m m相等（相等（nm)nm nm 时，则有（时，则有（n-m)n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。交点来确定。与实轴夹角与实轴夹角与实轴交点与实轴交点二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（5）第22页/共103页23 法则法则4 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。这个结论可以用相角条件证明。任一点位于根轨迹上的充要条件，是相角条件成立。任一点位于根轨迹上的充要条件，是相角条件成立。考虑到这些相角中的每一个相角都等于考虑到这些相角中的每一个相角都等于 ，减去，减去 就相当就相当于于 加上加上 角。于是，点位于根轨迹上的等效条件是：角。于是，点位于根轨迹上的等效条件是：二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（6）第23页/共103页24 法则法则5 根轨迹分离点根轨迹分离点 两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在 s s 平面上相遇又立平面上相遇又立即即分开的点称为分离点（会合点）。分开的点称为分离点（会合点）。分离点分离点的坐标的坐标 d d 由下列方程所决定：由下列方程所决定：二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（7）第24页/共103页25或或注：注：（1 1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。根。（2 2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括（包括 无限零点）或开环极点（包括无限极点），则无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此在此 段根轨迹上必有分离点。段根轨迹上必有分离点。（3 3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（8）第25页/共103页26例例 绘制图示系统大致的根轨迹绘制图示系统大致的根轨迹解：解：（1 1）开环零点）开环零点 开环极点开环极点 根轨迹分支数为根轨迹分支数为3 3条，有两个无穷远的零点。条，有两个无穷远的零点。（2 2）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（9）第26页/共103页27（3 3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4 4）分离点（用试探法求解）分离点（用试探法求解）二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（10）第27页/共103页28法则法则6根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴轴 的夹角的夹角 。终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴轴 的夹角的夹角 。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（11）第28页/共103页29 法则法则7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 交点对应的根轨迹增益交点对应的根轨迹增益 和角频率和角频率 可以用劳斯可以用劳斯判判据或令闭环特征方程中的据或令闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部，然后分别令其实部和虚和虚部为零来确定。部为零来确定。实际上若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存实际上若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯在纯虚根，这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。虚根，这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（12）第29页/共103页30 法则法则8 根之和。根之和。系统的闭环特征方程在系统的闭环特征方程在nmnm的一般情况下，可以有的一般情况下，可以有不同不同形式的表示形式的表示式中，式中，为闭环特征根。为闭环特征根。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（13）第30页/共103页31当当时时，特特征征方方程程第第二二项项系系数与数与无关，无无关，无论论取取何何值值，开开环环n个个极极点点之之和和总总是是等等于于闭闭环环特特征征方程方程n个个根之和根之和在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当当开开环环增增益益 增增大大时时，若若闭闭环环某某些些根根在在 平平面面上上向向左左移移动，则另一部分根必向右移动。动，则另一部分根必向右移动。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（14）第31页/共103页32例例 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为试绘制闭环系统根轨迹。试绘制闭环系统根轨迹。解：解：首先将首先将 写成零、极点标准形式写成零、极点标准形式 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（19）第32页/共103页33由法则由法则1 15 5可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别起起于开环复数极点于开环复数极点 ，终于有限零点和无限零点。，终于有限零点和无限零点。因此，在因此，在 上，必存在一个分离点上，必存在一个分离点，其方，其方程程为为 经整理经整理，可以可以求得求得和和 ，显然应取，显然应取 ，根轨迹图见，根轨迹图见下下张片子。张片子。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（20）第33页/共103页34二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（21）第34页/共103页35例例 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制该系统概略根轨迹。试绘制该系统概略根轨迹。解：解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤 1 1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域 和和 为轨迹。为轨迹。2 2）确定根轨迹的渐近线。本例）确定根轨迹的渐近线。本例n n4 4，m m3 3，故只，故只有有 一条一条 的渐近线。的渐近线。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（22）第35页/共103页363）确定分离点。本例无分离点。）确定分离点。本例无分离点。4）确定起始角与终止角。根轨迹在极点）确定起始角与终止角。根轨迹在极点处的处的起始角为起始角为类似方法可算出根轨迹在复数零点类似方法可算出根轨迹在复数零点处的终止角处的终止角为为根轨迹图见下一张。根轨迹图见下一张。各开环零、极点到各开环零、极点到 的向的向量相角也在下面图中显示。量相角也在下面图中显示。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（23）第36页/共103页37二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（24）第37页/共103页38二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（25）第38页/共103页39例例 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。解解:按下述步骤绘制概略根轨迹：按下述步骤绘制概略根轨迹：1 1）确定实轴上的根轨迹。实轴上）确定实轴上的根轨迹。实轴上 区域必为根轨区域必为根轨迹。迹。2 2）确定根轨迹的渐近线。由于）确定根轨迹的渐近线。由于 ，故有四条根轨，故有四条根轨迹迹 渐近线，其渐近线，其二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（26）第39页/共103页403 3）确定分离点。本例没有有限零点，故）确定分离点。本例没有有限零点，故于是分离点方程为于是分离点方程为 用试探法算出用试探法算出4 4）起始角。量测各向量相角，算得起始角。量测各向量相角，算得5 5）确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为）确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（27）第40页/共103页41应用劳思判据，有应用劳思判据，有令劳思表中令劳思表中行的首项为零，得行的首项为零，得。根据。根据 行的行的系数，得如下辅助方程系数，得如下辅助方程代入代入 并令并令 ，解出交点坐，解出交点坐标标。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（28）第41页/共103页42根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。将将 代入特征方程，可得实部方程为代入特征方程，可得实部方程为 虚部方程为虚部方程为因此根轨迹与虚轴交点坐标应为因此根轨迹与虚轴交点坐标应为 。将所得。将所得 值代值代入入实部方程，立即解出实部方程，立即解出 。所得结果与劳思表法完全。所得结果与劳思表法完全一一样。整个系统概略根轨迹如下一张图所示。样。整个系统概略根轨迹如下一张图所示。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（29）第42页/共103页43二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（30）第43页/共103页44 本节主要内容：本节主要内容：1、参数根轨迹参数根轨迹 2、附加开环零点的作用附加开环零点的作用 3、零度根轨迹零度根轨迹三、广义根轨迹三、广义根轨迹第44页/共103页45三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1）广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的外的所有根轨迹。所有根轨迹。通常，将负反馈系统中通常，将负反馈系统中 变化时的根变化时的根轨轨迹叫做常规根轨迹。迹叫做常规根轨迹。第45页/共103页464-3-1 参数根轨迹参数根轨迹参数根轨迹：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根数根轨迹的绘制。轨迹的绘制。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2）第46页/共103页47对闭环特征方程对闭环特征方程进行等效变换，将其写为如下形式：进行等效变换，将其写为如下形式：其中，其中，为除为除 外，系统任意的变化参数，而外，系统任意的变化参数，而 和和为两个与为两个与 无关的首一多项式。无关的首一多项式。可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为 画出的根轨迹，就是参数画出的根轨迹，就是参数 变化时的参数根轨迹。变化时的参数根轨迹。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（3）第47页/共103页48例例 设位置随动系统如图所示。图中，系统设位置随动系统如图所示。图中，系统为比例控制为比例控制系系统，系统统，系统为比例微分控制系统，系统为比例微分控制系统，系统为测速反馈控为测速反馈控制制系统，系统，表示微分器时间常数或测速反馈系数。试分析表示微分器时间常数或测速反馈系数。试分析 对系统性对系统性能的影能的影 响，并比响，并比较系统较系统 和和在在具有相具有相 同阻尼比同阻尼比 时的有关时的有关特点。特点。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（4）第48页/共103页49解：解：显然，系统显然，系统和和具有相同的开环传递函数，即具有相同的开环传递函数，即但它们的闭环传递函数是不相同的，即但它们的闭环传递函数是不相同的，即可以看出，两者具有相同的闭环极点可以看出，两者具有相同的闭环极点，但是系统但是系统具具有有闭环零点闭环零点 。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（5）第49页/共103页50现在将系统现在将系统或或的闭环特征方程式写成的闭环特征方程式写成如果令如果令则上式代表一个根轨迹方程，其根轨迹如下张图所示。图则上式代表一个根轨迹方程，其根轨迹如下张图所示。图中，中，当当 时，闭环极点位置为时，闭环极点位置为 ，它即是系，它即是系统统的闭环极点。的闭环极点。为了确定系统为了确定系统和和在在 时的闭环传递函数，在图中作时的闭环传递函数，在图中作 线，可得闭环极点为线，可得闭环极点为 ，相应的，相应的 值值由由模值条件算出为模值条件算出为0.8。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（6）第50页/共103页51系统系统与与的根轨迹图如下的根轨迹图如下三、广义根轨迹三、广义根轨迹（7）第51页/共103页52于是于是和和而系统而系统的闭环传递函数与的闭环传递函数与 值无关，应是值无关，应是各系统的单位阶跃响应，可以由拉氏反变换法确定。对应各系统的单位阶跃响应，可以由拉氏反变换法确定。对应的的阶跃响应曲线见下一张图。对于系统阶跃响应曲线见下一张图。对于系统，由于微分控制反，由于微分控制反映映了误差信号的变化率，能在误差信号增大之前，提前产生了误差信号的变化率，能在误差信号增大之前，提前产生控控制作用，因此具有良好的时间响应特性，呈现最短的上升制作用，因此具有良好的时间响应特性，呈现最短的上升时时间，快速性较好；对于系统间，快速性较好；对于系统，由于速度反馈加强了反馈，由于速度反馈加强了反馈作作用，具有最小的超调量。用，具有最小的超调量。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（8）第52页/共103页53单位阶跃响应图单位阶跃响应图三、广义根轨迹三、广义根轨迹（9）第53页/共103页544 3 2 附加开环零点的作用附加开环零点的作用 在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的方的方法来改善系统性能。因此，研究开环零点变化时的根轨迹法来改善系统性能。因此，研究开环零点变化时的根轨迹变变化，有很大的实际意义。化，有很大的实际意义。1 1、对系统稳定性的改善、对系统稳定性的改善 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为:式中式中 为附加的开环实数零点。为附加的开环实数零点。取取 为不同值时，根轨迹如下：为不同值时，根轨迹如下：三、广义根轨迹三、广义根轨迹（10）第54页/共103页55当当时时三、广义根轨迹三、广义根轨迹（11）第55页/共103页56当当时时三、广义根轨迹三、广义根轨迹（12）第56页/共103页57当当时时三、广义根轨迹三、广义根轨迹（13）第57页/共103页58当当时时三、广义根轨迹三、广义根轨迹（14）第58页/共103页59 分析：分析：由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加加 开环负实数零点时，将使系统的根轨迹图发生趋向附加开环负实数零点时，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零零 点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点点 的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，而而 是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点点 的作用完全相同。的作用完全相同。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（15）第59页/共103页602、对系统动态性能的改善、对系统动态性能的改善A、分析当分析当 即即 当根轨迹增益为当根轨迹增益为 时，时，复数极点复数极点 和和 为闭为闭 环主导极点，实数环主导极点，实数极点极点 距虚轴较远，为距虚轴较远，为非主非主 导极点。在这种情导极点。在这种情下，下，闭环系统近似为一闭环系统近似为一个二个二 阶系统，具有良好阶系统，具有良好的动的动 态性能。态性能。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（16）第60页/共103页61 B、当当 时，即时，即 在图中，实数极在图中，实数极点点 为闭环主导极点，此为闭环主导极点，此时系时系 统等价于一阶系统，统等价于一阶系统，其动其动 态过程虽然可能是单态过程虽然可能是单的，的，但却具有较慢的响应但却具有较慢的响应速度速度 和较长的调节时间。和较长的调节时间。也就也就 是说，此时稳态性能是说，此时稳态性能优于优于 时，但动态时，但动态性能性能 却变差了。却变差了。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（17）第61页/共103页62结论：结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同同时得到明显的改善。时得到明显的改善。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（18）第62页/共103页63 4-3-3 零度根轨迹零度根轨迹 在非最小相位系统，此时相角条件为在非最小相位系统，此时相角条件为 在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为条件为 具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹三、广义根轨迹三、广义根轨迹（19）第63页/共103页64零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，通常首先要确定内回路的零、极点，路系统如图所示，通常首先要确定内回路的零、极点，这就这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（20）第64页/共103页65正反馈的闭环传函与开环传函分别为：正反馈的闭环传函与开环传函分别为：等效为相角方程（等效为相角方程（幅角条件幅角条件）：）：三、广义根轨迹三、广义根轨迹（21）第65页/共103页66等效模方程（等效模方程（模值条件模值条件）：）：与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没件没有变化。有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起引起的某些规则的修改。的某些规则的修改。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（22）第66页/共103页67应调整的法则有：应调整的法则有：规则规则3 渐近线的夹角渐近线的夹角与实轴夹角与实轴夹角与实轴交点与实轴交点 规则规则4 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。这个结论可以用相角条件证明。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（23）第67页/共103页68规则规则6 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 起始角（出射角）：起始角（出射角）：终止角（入射角）：终止角（入射角）：三、广义根轨迹三、广义根轨迹（24）第68页/共103页69例例 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。试绘制该回路的根轨迹图。解：解：（1 1）系统的开环零极点分布为）系统的开环零极点分布为 有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-33，-2-2，）。）。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（25）第69页/共103页70（2 2）根轨迹的渐近线（）根轨迹的渐近线（n-m)=2n-m)=2条，渐近线夹角条，渐近线夹角（3 3）确定出射角）确定出射角三、广义根轨迹三、广义根轨迹（26）第70页/共103页71（4 4）确定分离点）确定分离点（5 5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标标 原点对应的开环增益为原点对应的开环增益为三、广义根轨迹三、广义根轨迹（27）第71页/共103页72 整个系统概略零度根轨迹如下图所示。整个系统概略零度根轨迹如下图所示。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（28）第72页/共103页73四、四、系统性能的分析系统性能的分析（1）闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响，闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响，可总结如下：可总结如下：1、稳定性稳定性。如果闭环极点全部位于如果闭环极点全部位于s s左半平面，则系统一定左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。环零点位置无关。2、运动形式运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极 点，则时间响应一定是单调的；点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。振荡的。第73页/共103页74 3、超调量。超调量。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率率，并与，并与其它闭环零、极点接其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。近坐标原点的程度有关。四、四、系统性能的分析系统性能的分析（2）4、调节时间。调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数 极点的实数绝对值极点的实数绝对值 ，如果实数，如果实数极点距虚极点距虚 轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间 主要取决于该实数极点的模值。主要取决于该实数极点的模值。第74页/共103页755、实数零、极点影响。实数零、极点影响。零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的的程度而加强。程度而加强。四、四、系统性能的分析系统性能的分析（3）6、偶极子及其处理。偶极子及其处理。如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。响必须考虑。第75页/共103页767、主导极点主导极点。在在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主主导极点，凡比主导极点的实部大导极点，凡比主导极点的实部大6倍以上的其他倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略。闭环零、极点，其影响均可忽略。四、四、系统性能的分析系统性能的分析（4）第76页/共103页77例题例题（1）例例1某单位反馈系统的开环传递函数为：某单位反馈系统的开环传递函数为：要求：要求：（1）绘制系统的根轨迹草图；）绘制系统的根轨迹草图；（2）用根轨迹法确定使系统稳定的）用根轨迹法确定使系统稳定的值范值范围；围；（3）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的超调的最大取值。最大取值。解解：（1）闭环系统特征方程为）闭环系统特征方程为第77页/共103页78分离点分离点整理得整理得解出解出与虚轴交点与虚轴交点令令解出解出例题例题（1）第78页/共103页79系统根轨迹如下图系统根轨迹如下图例题例题（1）第79页/共103页80（2）由（）由（1）中的计算结果可知，）中的计算结果可知，稳定范稳定范围为围为（3）依题意，也就是要求分离点）依题意，也就是要求分离点处处的的值：值：用模值条件解得用模值条件解得例题例题（1）第80页/共103页81例例2：单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为画出画出从从变化时闭环系统的根轨迹，变化时闭环系统的根轨迹，并确定闭环系统并确定闭环系统稳定时的稳定时的值取值范围。值取值范围。解：解：开环传函变为如下形式开环传函变为如下形式例题例题（2）第81页/共103页82渐进线渐进线与虚轴交点与虚轴交点令令解出解出由根轨迹及计算结果可以确定由根轨迹及计算结果可以确定的稳定范围是的稳定范围是例题例题（2）第82页/共103页83系统根轨迹如下系统根轨迹如下图图例题例题（2）第83页/共103页84例例3：已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为要求要求：（：（1）当）当从从时，概略绘制系统时，概略绘制系统的闭环根轨迹；的闭环根轨迹；（2）确定保证系统稳定的）确定保证系统稳定的值范围；值范围；（3）求出系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可）求出系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达能达到的最小绝对值到的最小绝对值。解：解：开环传函变为开环传函变为例题例题（3）第84页/共103页85分离点分离点整理并解出整理并解出与虚轴交点与虚轴交点令令联立求解得联立求解得例题例题（3）第85页/共103页86画出的根轨迹如下图画出的根轨迹如下图例题例题（3）第86页/共103页87（2）由根轨迹图可以看出，）由根轨迹图可以看出，值稳定范围对应于根轨值稳定范围对应于根轨迹与虚迹与虚轴的两个交点，所以有轴的两个交点，所以有（3）系统的静态位置误差系数为）系统的静态位置误差系数为由静态误差系数法，可求得系统在稳定范围内有由静态误差系数法，可求得系统在稳定范围内有例题例题（3）第87页/共103页88例例4已知单位反馈系统的开环传函为已知单位反馈系统的开环传函为该系统在该系统在取任何正值时均不稳定，利用根轨迹图，取任何正值时均不稳定，利用根轨迹图，说明在说明在负实轴加一合适的开环零点负实轴加一合适的开环零点可使系统稳定。可使系统稳定。解：原系统的根轨迹如图（解：原系统的根轨迹如图（a）所示，系统不稳定。）所示，系统不稳定。若增加开环零点若增加开环零点，系统开环传函变为，系统开环传函变为则渐进线与实轴的夹角则渐进线与实轴的夹角渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点例题例题（4）第88页/共103页89根根轨轨迹迹图图例题例题（4）第89页/共103页90由渐进线与实轴的交点可知，当由渐进线与实轴的交点可知，当时，时，交点在交点在右半右半平面，系统仍不稳定。平面，系统仍不稳定。当当时，交点在时，交点在左半平面，可使左半平面，可使原系统稳定，相原系统稳定，相应的根轨迹图见上一张图（应的根轨迹图见上一张图（b）、（）、（c）所示。）所示。该例说明，适当增加开环零点，可改善系统的稳定该例说明，适当增加开环零点，可改善系统的稳定性。性。例题例题（4）第90页/共103页91例例5设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出）画出变化时闭环系统的根轨迹；变化时闭环系统的根轨迹；（2）求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的）求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的值；值；（3）求出当）求出当时，闭环系统的单位阶跃时，闭环系统的单位阶跃响应。响应。解解：（1）系统的特征方程为）系统的特征方程为得得例题例题（5）第91页/共103页92进