电通量高斯定理环路定理电势能.pptx
大学物理 第三次修订本第10章 静电场描述电场的两种方法：电场线和电通量 电场中电场中假想的假想的曲线曲线，描述，描述电场及其强度电场及其强度电场线电场线:电场电场的图示的图示法法 1)1)切线切线方向方向为该点电场为该点电场方向方向；2)2)疏密疏密表征场强的表征场强的大小大小(通过垂直通过垂直于电场方向单位面积电场线数于电场方向单位面积电场线数).).10-3 10-3 电通量电通量电通量电通量 高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理大学物理 第三次修订本第10章 静电场起于正电荷（或者来自于无穷远），止于负电荷起于正电荷（或者来自于无穷远），止于负电荷（或者去向无穷（或者去向无穷远）远）不会不会在没有电荷的在没有电荷的地方中断或相交地方中断或相交静电场静电场中的电场线不会形成闭合中的电场线不会形成闭合曲线曲线1、性质：、性质：2、说明：、说明：电场线电场线是是人为人为画出的，在实际电场中画出的，在实际电场中并不存在并不存在；电场线可以形象地、直观地表现电场的总体电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况。情况。场强大的地方，电场线密；场强小的地方电场线疏场强大的地方，电场线密；场强小的地方电场线疏大学物理 第三次修订本第10章 静电场3、几种典型的电场线分布：、几种典型的电场线分布：点电荷的电场线正正 点点 电电 荷荷+负负 点点 电电 荷荷大学物理 第三次修订本第10章 静电场一对等量异号点电荷的电场线+大学物理 第三次修订本第10章 静电场一对等量正点电荷的电场线+大学物理 第三次修订本第10章 静电场带电平行板电容器的电场线+大学物理 第三次修订本第10章 静电场1.定义：定义：通过电场中某一个通过电场中某一个面面的的电场线总数电场线总数叫做通过叫做通过这个面的这个面的电场强度通量电场强度通量，用，用 e表示。表示。2.计算：计算：电通量电通量 (electric flux)均匀电场均匀电场，垂直平面垂直平面电场线数电场线数场强大小场强大小E面面面积面积S大学物理 第三次修订本第10章 静电场 均匀电场均匀电场，与平面夹角与平面夹角电通量电通量为为标量标量，可正可负，可正可负1.矢量点乘，得到标量矢量点乘，得到标量2.定义：定义：通过电场中某一个面的电场线总通过电场中某一个面的电场线总数数叫做通叫做通过这个面的电场强度通量过这个面的电场强度通量大学物理 第三次修订本第10章 静电场 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 大学物理 第三次修订本第10章 静电场非闭合曲面元电通量的非闭合曲面元电通量的正负正负取决于取决于E与与n正向夹角正向夹角的余弦值。的余弦值。大学物理 第三次修订本第10章 静电场 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量规定：由规定：由内向外的方向为内向外的方向为各面积元法线各面积元法线 的正方的正方向向当电场线穿出时，当电场线穿出时，当电场线穿入时当电场线穿入时穿过整个闭合曲面的电通量为各穿过整个闭合曲面的电通量为各面积元上电通量的代数和，即面积元上电通量的代数和，即大学物理 第三次修订本第10章 静电场 例例1.如图所示如图所示，有一，有一个三棱柱体放置在电场强度个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电的匀强电场中场中.求通过此三棱柱体的求通过此三棱柱体的电场强度通量电场强度通量.大学物理 第三次修订本第10章 静电场解解:大学物理 第三次修订本第10章 静电场高斯（Carl Friedrich Gauss 17771855）德国数学家、天德国数学家、天文学家和物理学文学家和物理学家。高斯在数学家。高斯在数学上的建树颇丰，上的建树颇丰，有有“数学王子数学王子”美称。美称。高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：地测量学等领域的研究，主要成就：(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。及地磁分布的理论研究。(2)光学光学：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。像，建立高斯光学。(3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。小和形状的理论研究等。(4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。(5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。高斯还创立了电磁量的绝对单位制。高斯定理高斯定理大学物理 第三次修订本第10章 静电场1、高斯定理的内容、高斯定理的内容真空中的任何静电场中，真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的通过任一闭合曲面的电通量电通量，在，在数值上数值上等于该曲面内所包围的电量的代数和除以等于该曲面内所包围的电量的代数和除以0，与封闭，与封闭曲面外的电荷无关曲面外的电荷无关，该闭合，该闭合曲面也称为曲面也称为高斯面。高斯面。分立分立的源电荷：的源电荷：连续连续分布的源分布的源电荷：电荷：为连续分布源电荷的电荷体密度，为连续分布源电荷的电荷体密度，V为包围在闭合曲面内的为包围在闭合曲面内的源电荷分布的体积。源电荷分布的体积。大学物理 第三次修订本第10章 静电场 点电荷位于点电荷位于球形高斯面的圆心处球形高斯面的圆心处+球面上各点的场强球面上各点的场强方向方向与其径向相同。与其径向相同。球面上各点的场强球面上各点的场强大小大小由库仑定律给出。由库仑定律给出。通过通过 的电通量为的电通量为下面从特殊到一般，分步来证明：下面从特殊到一般，分步来证明：大学物理 第三次修订本第10章 静电场+此结果此结果与球面的半径无关与球面的半径无关，即，即通过任何半径球面的电通过任何半径球面的电力线总条力线总条数数不变不变通过通过球面球面的电通量为的电通量为大学物理 第三次修订本第10章 静电场 点电荷在任意形状的高斯面内点电荷在任意形状的高斯面内对于任意一个闭合曲面对于任意一个闭合曲面S，只要电荷被包围在，只要电荷被包围在S面内面内，由于电场线是连续的，由于电场线是连续的，在没有电荷的地方不中断，在没有电荷的地方不中断，因而通过球面因而通过球面S的电场线也的电场线也必通过任意曲面必通过任意曲面S,穿过闭穿过闭合曲面合曲面S与与S的电场线数目的电场线数目是一样的是一样的+S大学物理 第三次修订本第10章 静电场 点电荷在高斯曲面之外点电荷在高斯曲面之外点电荷在封闭曲面点电荷在封闭曲面之外之外，穿入与穿出任一闭合曲穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。面的电通量应该相等。所以所以当闭合曲面无电荷当闭合曲面无电荷时，电通量为零时，电通量为零。大学物理 第三次修订本第10章 静电场 点电荷点电荷系在系在高斯面内或高斯面内或外的情况外的情况由由n个点电荷组成，其中个点电荷组成，其中在闭合面外。在闭合面外。在闭合面内，在闭合面内，按场强叠加原理按场强叠加原理大学物理 第三次修订本第10章 静电场由电通量的定义，由电通量的定义，通过闭合面的电通通过闭合面的电通量量可以表示为可以表示为（先求和再积分（先求和再积分先积分在求和）先积分在求和）大学物理 第三次修订本第10章 静电场闭合闭合曲面曲面S 的电通量，等于各个点电荷对曲面的电通量，等于各个点电荷对曲面S 的电通量的代的电通量的代数和。可见数和。可见电通量也满足叠加原理电通量也满足叠加原理电荷连续分布的带电体，情况同上，电荷连续分布的带电体，情况同上，通过以上特例的讨论，可以看出高斯定理所给出的结论是完全通过以上特例的讨论，可以看出高斯定理所给出的结论是完全正确正确的的大学物理 第三次修订本第10章 静电场高斯定理高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为库仑定律更为广泛，不仅适用于静电场，还适用于非静电场广泛，不仅适用于静电场，还适用于非静电场表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,所以所以正电正电荷是静电场的源头荷是静电场的源头表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的负电荷是静电场的尾尾当当当当静电场是有源场静电场是有源场大学物理 第三次修订本第10章 静电场解题步骤：解题步骤：1.进行对称性分析进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等性有球对称性、轴对称性、面对称性等）目的：以便取具有相等电场强度的高斯面，求积分时才可以将目的：以便取具有相等电场强度的高斯面，求积分时才可以将E以标量形式提取出来以标量形式提取出来2.根据场强分布的特点，作根据场强分布的特点，作适当的高斯面适当的高斯面，要求：，要求：待求场强的场点应在此高斯面上，待求场强的场点应在此高斯面上，穿过该高斯面的电通量容易计算。穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量一般地，高斯面各面元的法线矢量n与与E平行或垂直，平行或垂直，n与与E平行平行时，时，E的大小要求处处相等，使得的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面；能提到积分号外面；3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯最后由高斯定理求出场强。定理求出场强。高斯定理的应用：求解电场强度高斯定理的应用：求解电场强度大学物理 第三次修订本第10章 静电场例例1 均匀带电球面的电场强度均匀带电球面的电场强度+一半径一半径为为R,均匀带均匀带正电正电Q的的球面球面.求球面求球面内外任意点的电场强内外任意点的电场强 度度.解：因为电荷分布具有解：因为电荷分布具有球对称性球对称性。故选取故选取同心的同心的球面为高斯面球面为高斯面。如图，以。如图，以O为球心，为球心，r为半径作球面为半径作球面S为高斯面。为高斯面。由电荷分布的对称性知，高斯面上各点由电荷分布的对称性知，高斯面上各点的电场强度的大小都相同，并且方向都的电场强度的大小都相同，并且方向都沿沿径向径向，与高斯面垂直与高斯面垂直（1）由于高斯面由于高斯面S1内部没有包围电荷，通过高斯面内部没有包围电荷，通过高斯面S1的电通量为的电通量为大学物理 第三次修订本第10章 静电场（2）+通过高斯面通过高斯面S2的电通量为的电通量为高斯面高斯面S2内包围的电量内包围的电量带入带入高斯定理得高斯定理得大学物理 第三次修订本第10章 静电场+结果表明：结果表明：均匀带电球壳外的电场均匀带电球壳外的电场强度分布象球面上的电荷都集中在强度分布象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的电球心时所形成的点电荷在该区的电场强度分布一样，场强度分布一样，在球面内的场强在球面内的场强均为零均为零。大学物理 第三次修订本第10章 静电场例例2、均匀带电球体的场强。、均匀带电球体的场强。设有一半径为设有一半径为R、均匀带正电为、均匀带正电为Q的球体。求球体的球体。求球体内部和外部任意点的电场强度内部和外部任意点的电场强度+R+解：以解：以球心到场点的距离为半径作球心到场点的距离为半径作一球面一球面，由电荷分布的对称性知，由电荷分布的对称性知，高斯面上各点的电场强度的大小都高斯面上各点的电场强度的大小都相同，并且方向都沿径向与高斯面相同，并且方向都沿径向与高斯面正交。正交。则通过此高斯面的电通量为则通过此高斯面的电通量为大学物理 第三次修订本第10章 静电场ORE2）高斯面高斯面S内包围的电量内包围的电量由高斯定理由高斯定理1）解解高斯面高斯面S内包围的电量内包围的电量由高斯定理由高斯定理+R+大学物理 第三次修订本第10章 静电场例例3 无限长均匀带电直线的电场强度无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线，电荷，电荷线密度线密度为为 ，求求距直距直线为线为 处的电场强度处的电场强度.根据电荷分布的特点，无根据电荷分布的特点，无限长均匀带电直线的电场限长均匀带电直线的电场强度具有强度具有轴对称性轴对称性解：解：以带电直导线为轴，作一个通以带电直导线为轴，作一个通过过P点，高为点，高为h的的圆筒形封闭面圆筒形封闭面为高斯面为高斯面S，通过，通过S面的电通面的电通量为圆柱侧面和上、下底面三量为圆柱侧面和上、下底面三部分的通量。部分的通量。+P大学物理 第三次修订本第10章 静电场由电场的对称性，高斯面侧面由电场的对称性，高斯面侧面上各点电场强度的大小都相同上各点电场强度的大小都相同且方向都沿径向与高斯面正交，且方向都沿径向与高斯面正交，通过高斯面通过高斯面S的电通量为的电通量为 其中上、下底面的电场强度方向与面平行，电通量为其中上、下底面的电场强度方向与面平行，电通量为零。所以式中后两项为零。零。所以式中后两项为零。+P大学物理 第三次修订本第10章 静电场其方向沿所求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷其方向沿所求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。可以看出的符号决定。可以看出电场强度的分布随电场强度的分布随r的一次方的一次方成反比地成反比地减小减小高斯面高斯面S内包围的电量内包围的电量+P由高斯定理由高斯定理大学物理 第三次修订本第10章 静电场无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面，电荷，电荷面密度为面密度为 ，求距平面为求距平面为 处的电场强度处的电场强度.例例4 无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面的电场强度解解:因电荷均匀分布在因电荷均匀分布在无无限大的限大的平面上，所以电平面上，所以电场分布场分布对该对该平面对称平面对称。即离平面等即离平面等远处远处的场强的场强大小都相等、大小都相等、方向都方向都垂垂直于直于平面。平面。选一其轴垂直于带电平面的选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面圆筒式封闭面作为高斯面S，带电平面平分此圆筒，带电平面平分此圆筒，场点场点P位于位于它的一个底面上。它的一个底面上。+P大学物理 第三次修订本第10章 静电场令令端面的面积为端面的面积为S,其上的电其上的电场强度为场强度为E,由于圆筒侧面上由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面各点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为的法线方向，所以电通量为零；又两个端面上场强相等、零；又两个端面上场强相等、电通量相等，均为穿出。于电通量相等，均为穿出。于是穿过整个高斯面的电通量是穿过整个高斯面的电通量就等于穿过两个端面上的电就等于穿过两个端面上的电通量为：通量为：+P大学物理 第三次修订本第10章 静电场高斯面高斯面S内包围的电量内包围的电量+P由高斯定理由高斯定理由此可知，电场强度为由此可知，电场强度为无限大均匀带电平无限大均匀带电平面两侧的电场是匀面两侧的电场是匀强电场强电场大学物理 第三次修订本第10章 静电场解题步骤：解题步骤：1.分析对称性分析对称性（为找（为找具有相等具有相等E的面的面）3.求出求出 或者或者2.作高斯面作高斯面与面垂直（与面的法线方向与面垂直（与面的法线方向 平行）平行）或者或者与面平行（与面的法线方向与面平行（与面的法线方向 垂直）垂直）上式需要面上的上式需要面上的E相等，相等，才能提到积分号外才能提到积分号外大学物理 第三次修订本第10章 静电场小结小结电场线及其性质（与电场强度大小和方向上的对应）电场线及其性质（与电场强度大小和方向上的对应）电通量的概念以及算法电通量的概念以及算法高斯定律及其应用高斯定律及其应用大学物理 第三次修订本第10章 静电场作业：作业：10、12、14、20、22大学物理 第三次修订本第10章 静电场一、静电场力所作的功一、静电场力所作的功1、点电荷、点电荷电场电场点电荷点电荷q固定于原点固定于原点O，试验电荷，试验电荷q0在在q的电场中由的电场中由A点沿任意路径点沿任意路径ACB到达到达B点，取微元点，取微元dl，电场力对，电场力对q0的的元功为元功为C10-4 10-4 静电场的环路定理静电场的环路定理静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能电势能电势能大学物理 第三次修订本第10章 静电场在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与其所经历功与其移动时起始位置与终了位置有关，与其所经历的路径无关的路径无关保守力保守力（重力、万有引力、弹性力（重力、万有引力、弹性力）C大学物理 第三次修订本第10章 静电场2、任意带电体电场、任意带电体电场任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加荷场强的叠加任意点电荷系的电场力所作的功为任意点电荷系的电场力所作的功为每一项均与路径无关，故每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与它们的代数和也必然与路径无关路径无关。大学物理 第三次修订本第10章 静电场3、结论、结论一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的功，仅与试验电荷的电量电量、始末位置始末位置有关有关，而与试验，而与试验电荷所经过的路径无关电荷所经过的路径无关。静电场力也是保守力，静电场是保守静电场力也是保守力，静电场是保守场场大学物理 第三次修订本第10章 静电场二二 静电场的环路定理静电场的环路定理在静电场中，将试验电荷沿闭在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所合路径移到一周时，电场力所作的功为作的功为ABCD电场力作功电场力作功与路径无关与路径无关大学物理 第三次修订本第10章 静电场定义定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的强度的环流环流静电场环路定理：在静电场中，静电场环路定理：在静电场中，电场强度沿任一闭电场强度沿任一闭合路径的积分（环流）为合路径的积分（环流）为零。零。则可得到则可得到大学物理 第三次修订本第10章 静电场1.静电场的环路定理静电场的环路定理表明，静电场的电场线不表明，静电场的电场线不可能是闭合的，静电场是可能是闭合的，静电场是保守场保守场，或者说静电，或者说静电场是场是无旋场无旋场2.运动运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分将在磁场部分讨论讨论大学物理 第三次修订本第10章 静电场AB静电力将静电力将q0从从A点推到点推到B点，设点，设q0在在A点的电势能为点的电势能为WA，在，在B点点的电势能为的电势能为WB，其中静电力作，其中静电力作功为功为AAB保守场保守场重力场，反应能量的物理量为势能重力场，反应能量的物理量为势能静电场，反应静电场，反应能量能量的物理量称为的物理量称为电势能电势能W大学物理 第三次修订本第10章 静电场保守力在某一过程作的功等于该过程的始、末两个保守力在某一过程作的功等于该过程的始、末两个状态势能增量的状态势能增量的负值负值换句话说，也就是能量守恒换句话说，也就是能量守恒同其它保守场相同，若要确定电荷在某点电势能的值，同其它保守场相同，若要确定电荷在某点电势能的值，必须选定一个电势能为必须选定一个电势能为零零的的参考点参考点。大学物理 第三次修订本第10章 静电场试验试验电荷电荷 在在电场中某点的电势能，在数值上就等电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.电势能的参考点选择也是电势能的参考点选择也是任意的任意的，若选定电荷在，若选定电荷在B点点的电势能为零，即规定的电势能为零，即规定WB=0，则电场中，则电场中A点的电势点的电势能为：能为：在理论研究时，常取无穷远处为电势能的零参考点在理论研究时，常取无穷远处为电势能的零参考点注意：注意：场内一点的电势能是与场内一点的电势能是与q0（放进电场的电荷带电（放进电场的电荷带电量）有关的量）有关的大学物理 第三次修订本第10章 静电场在理论研究中，常取无穷远处为电势能的零参在理论研究中，常取无穷远处为电势能的零参考点；在实际应用中，常取地球为电势能零参考点；在实际应用中，常取地球为电势能零参考点。考点。选取电势能的零参考点不同，某一电荷在确定选取电势能的零参考点不同，某一电荷在确定点具有的电势能也不同。但是，由于静电力是点具有的电势能也不同。但是，由于静电力是保守力，电荷在两确定点具有的电势能之差是保守力，电荷在两确定点具有的电势能之差是相同的，即相同的，即电势能差与电势能零参考点的选取电势能差与电势能零参考点的选取是无关的是无关的。说明：说明：
