知识块立体几何初步.ppt

第第7 7课时空间向量的应用课时空间向量的应用 理理解解直直线线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量/能能用用向向量量语语言言表表述述直直线线与与直直线线、直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面的的垂垂直直、平平行行关关系系/能能用用向向量量方方法法证证明明有有关关直直线线和和平平面面位位置置关关系系的的一一些些定定理理(包包括括三三垂垂线线定定理理)/能能用用向向量量方方法法解解决决直直线线与与直直线线、直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面夹夹角角的的计计算算问问题题/了了解解向向量量方方法法在在研究几何问题中的作用研究几何问题中的作用【命题预测】【命题预测】1空空间间向向量量的的共共线线定定理理常常常常用用来来证证明明线线线线平平行行，在在高高考考中中使使用用向向量量法法证证明明线线线线平行是近几年的热点平行是近几年的热点2空空间间向向量量的的共共面面定定理理常常常常用用来来证证明明点点共共面面，在在高高考考中中使使用用向向量量法法证证明明点点共共面面也是近几年的热点解法也是近几年的热点解法3建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，写写出出点点的的坐坐标标，求求出出题题中中要要求求的的向向量量，来来证证明明线线线线的的平平行行、线线线线的的垂垂直直、线线面面的的平平行行、线线面面的的垂垂直直，是是近近几几年年高高考考题题中中考考生生最最为为关注的解题思想关注的解题思想4直直线线的的方方向向向向量量、平平面面的的法法向向量量是是利利用用向向量量法法解解题题的的中中间间环环节节，因因此此对对其其求求解问题的方法和技巧一定要掌握解问题的方法和技巧一定要掌握【应试对策】【应试对策】1对对异异面面直直线线所所成成的的角角，要要注注意意：深深刻刻理理解解异异面面直直线线所所成成的的角角的的概概念念，领领悟悟其其所所渗渗透透的的“空空间间向向平平面面转转化化”的的思思想想；异异面面直直线线所所成成角角的的范范围围为为090；解解题题时时，应应首首先先考考虑虑两两条条异异面面直直线线是是否否互互相相垂垂直直，可可由由三三垂垂线线定定理理及及其其逆逆定定理理或或线线面面垂垂直直来来完完成成；应应熟熟练练掌掌握握“平平移移”这这个个解解法法，平平移移的的途途径径有有取取中中点点、作作平平行行线线、补补体体(形形)等等；理理科科学学生生应应会会用用反反三三角角函函数数表表示异面直线所成的角示异面直线所成的角2对对于于直直线线和和平平面面所所成成的的角角，应应分分线线在在面面内内或或线线与与面面平平行行、线线与与面面垂垂直直、线线与与面斜交这三种情况，同时要注意线面角的范围是面斜交这三种情况，同时要注意线面角的范围是 .3向向量量法法通通过过空空间间坐坐标标系系把把空空间间图图形形的的性性质质代代数数化化，避避免免了了寻寻找找平平面面角角和和垂垂线线段段等等诸诸多多麻麻烦烦，使使空空间间点点线线面面的的位位置置关关系系的的判判定定和和计计算算程程序序化化、简简单单化化其其步骤主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算步骤主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算4计计算算空空间间距距离离时时要要熟熟练练进进行行各各距距离离间间的的相相互互转转化化，以以点点线线距距离离、点点面面距距离离为为主，在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形，再应用解三角形知识主，在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形，再应用解三角形知识【知识拓展】【知识拓展】立体几何综合问题的向量法处理立体几何综合问题的向量法处理(1)常用方法和规律常用方法和规律利利用用向向量量坐坐标标解解决决立立体体几几何何中中的的平平行行、垂垂直直、求求角角、求求距距离离等等问问题题，关关键键是是建建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标立正确的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标在在计计算算和和证证明明立立体体几几何何问问题题时时，若若能能在在原原图图中中建建立立适适当当的的空空间间直直角角坐坐标标系系，把把图图形形中中的的点点的的坐坐标标求求出出来来，那那么么图图形形中中的的有有关关问问题题可可用用向向量量表表示示，利利用用空空间间内内向向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象对对空空间间任任意意一一点点A求求其其坐坐标标的的一一般般方方法法，过过点点A作作z轴轴的的平平行行线线交交平平面面xOy于于点点B，过点，过点B分别作分别作x、y轴的平行线，分别交轴的平行线，分别交y、x轴于轴于C、D，则由，则由 的长度和方向便可求得点的长度和方向便可求得点A的坐标的坐标用用空空间间向量解决立体几何向量解决立体几何问题问题一般可按以下一般可按以下过过程程进进行思考：行思考：a要解决的要解决的问题问题可用什么向量知可用什么向量知识识来解决？需要用到哪些向量？来解决？需要用到哪些向量？b所所需需要要的的向向量量是是否否已已知知？若若未未知知，是是否否可可用用已已知知条条件件转转化化成成的的向向量量直直接接表表示示？c所所需需要要的的向向量量若若不不能能直直接接用用已已知知条条件件转转化化成成的的向向量量表表示示，则则它它们们分分别别最最易易用用哪个未知向量表示？哪个未知向量表示？这这些未知向量与由已知条件些未知向量与由已知条件转转化的向量有何关系？化的向量有何关系？d怎怎样对样对已已经经表示出来的所需向量表示出来的所需向量进进行运算，才能得到需要的行运算，才能得到需要的结论结论？(2)常用工具常用工具如如图图1，若平面，若平面的法向量的法向量为为n，则则直直线线AB与与所成角的大小所成角的大小为为：如如图图2，点点A到到平平面面的的距距离离等等于于的的斜斜线线段段AB在在的的法法向向量量n上上的的正正射射影影长长，即即d|A1B1|a、b为为异异面面直直线线，如如图图3，若若b，a，n为为的的法法向向量量，A1、B1分分别别为为a、b上两点在上两点在n上的正射影，上的正射影，则则a、b的距离的距离d|A1B1|如如图图4，设设二二面面角角l的的两两个个半半平平面面和和的的法法向向量量分分别别为为m、n，设设二二面面角角l的的大大小小为为，则则二二面面角角的的平平面面角角与与两两法法向向量量所所成成的的角角相相等等或或互互补补当当二二面面角角为锐为锐角角时时，arccos 当二面角当二面角为钝为钝角角时时，arccos 1直线的方向向量直线的方向向量直直线线l上的向量上的向量e(e0)以及与以及与e共共线线的非零向量叫做直的非零向量叫做直线线l的的 向量向量2平面的法向量平面的法向量如果如果表示非零向量表示非零向量n的有向的有向线线段所在直段所在直线线垂直于平面垂直于平面，那么称向量，那么称向量 n 平面平面，记记作作n，此，此时时，我，我们们把向量把向量n叫做平面叫做平面的的 3三垂线定理三垂线定理在在平面内的一条直平面内的一条直线线，如果它和，如果它和这这个平面的一条斜个平面的一条斜线线在在这这个平面内的射影个平面内的射影垂直，那么它也和垂直，那么它也和这这条斜条斜线线垂直垂直方向方向垂直于垂直于法向量法向量1正正方体方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱长为长为a，点，点M分分 的比的比为为 ，N为为BB1的中点，的中点，则则|MN|为为_解解析析：以以D为为原原点点，所所在在直直线线分分别别为为x轴轴，y轴轴，z轴轴建建立立空空间间直直角角坐坐标系，则标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，.又又M分分 的比为的比为 ，答案：答案：2已已知知直直线线l1的的方方向向向向量量a(2,4，x)，直直线线l2的的方方向向向向量量b(2，y,2)，若若|a|6，且且ab，则则xy的的值值是是_解析：解析：依题意，得依题意，得 解得解得 xy1或或3.答案：答案：1或或33若若直直线线l的的方方向向向向量量为为a(1,0,2)，平平面面的的法法向向量量为为u(2,0，4)，则则l与与的位置关系是的位置关系是_解析：解析：u2a，则直线，则直线l与平面与平面的法向量平行，故的法向量平行，故l.答案：答案：l4若若直直线线l的一个方向向量的一个方向向量a(1,0,2)，平面，平面的一个法向量的一个法向量为为n(3,0,4)，则则l与与所成角的正弦所成角的正弦值为值为_解析：解析：所求角的正弦值为所求角的正弦值为 答案答案：5已知已知二面角二面角l中，其平面角中，其平面角为锐为锐角，面角，面的一个法向量的一个法向量为为(2，2,1)，面，面的一个法向量的一个法向量为为(1,1,1)，则则二面角的平面角的余弦二面角的平面角的余弦值值为为_解析：解析：所求余弦值为所求余弦值为 答案答案：利利用用直直线线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量，可可以以判判定定直直线线与与直直线线，直直线线与与平平面面，平平面面与平面的平行和垂直与平面的平行和垂直(1)设直线设直线l1的方向向量为的方向向量为u1(a1，b1，c1)，直线，直线l2的方向向量为的方向向量为u2(a2，b2，c2)，则，则l1l2u1u2(a1，b1，c1)k k(a2，b2，c2)(k kR)；l1l2u1u2a1a2b1b2c1c20.(2)设设直直线线l的方向向量的方向向量为为u(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量的法向量为为n(a2，b2，c2)，则则luna1a2b1b2c1c20；lun(a1，b1，c1)k k(a2，b2，c2)(k kR)(3)设设平平面面的的法法向向量量为为n1(a1，b1，c1)，平平面面的的法法向向量量为为n2(a2，b2，c2)，则则n1n2(a1，b1，c1)k k(a2，b2，c2)(kR)；n1n2a1a2b1b2c1c20.【例例1】(江江苏苏启启东东中中学学高高三三质质量量检检测测)如如图图所所示示，在在四四棱棱锥锥PABCD中中，底底面面ABCD为为正方形，正方形，PD平面平面ABCD，且，且PDABa，E是是PB的中点的中点(1)在平面在平面PAD内求一点内求一点F，使得，使得EF平面平面PBC；(2)求二面角求二面角FPCE的余弦的余弦值值大小大小思路点拨：思路点拨：建立适当的空间直角坐标系，利用向量求解建立适当的空间直角坐标系，利用向量求解解解：由由题题意意可可知知直直线线PD、DC、DA两两两两垂垂直直，故故建建立立如如图图所所示示的的空空间间直直角角坐坐标标系系则则B(a，a,0)，C(0，a,0)，P(0,0，a)，(1)设设平面平面PAD内一点内一点F的坐的坐标为标为(x,0，z)，则则 ，又又 (a,0,0)，(a，a，a)，要使，要使EF平面平面PBC，需，需 即即 解之得解之得 ，F为为AD的中点的中点(2)由由(1)可知：可知：为为平面平面PCE的一个法向量，的一个法向量，设设平面平面FPC的法向量的法向量为为n(p，q，r)，则则 取取ra，得，得qa，p2a，即，即n(2a，a，a)则则 变变式式1：(南南京京市市高高三三期期末末调调研研)如如图图所所示示，PD垂垂直直于于正正方方形形ABCD所所在在的的平平面面，AB2，PDm，记记二面角二面角DPBC的大小的大小为为.若若60，求，求m的取的取值值范范围围解解：因因为为PD平平面面ABCD，DADC，所所以以分分别别以以DA，DC，DP所所在在直直线线为为x轴轴，y轴轴，z轴轴建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，连连接接AC，因因为为ABCD是是边边长长为为2的的正正方方形形，因因为为PDm，所以，所以A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，m)，因因为为PDAC，BDAC，所以，所以AC平面平面PBD.所以所以 (2,2,0)为为平面平面PBD的一个法向量的一个法向量 (2,0,0)，(0,2，m)，设平面设平面PBC的法向量为的法向量为n(a，b，c)，则由则由 得，得，所以所以即即 不妨取不妨取c2，则，则bm，向量，向量n(0，m,2)是平面是平面PBC的一个法向量的一个法向量因为二面角因为二面角DPBC的大小为的大小为，所以所以|cos|因为因为 .所以所以，所以，所以m2，即即m的取值范围是的取值范围是(2，)(1)求求两条异面直两条异面直线线所成的角所成的角设设a，b分分别别是两异面直是两异面直线线l1，l2的方向向量，的方向向量，则则l1与与l2的的夹夹角角满满足足cos (2)求直求直线线与平面所成的角与平面所成的角设设直直线线l的方向向量的方向向量为为a，平面，平面的法向量的法向量为为n，直，直线线l与平面与平面所成的角所成的角为为，则则sin (3)求求二面角的大小二面角的大小若若 分分别别是二面角是二面角l的两个面内与棱的两个面内与棱l垂直的异面直垂直的异面直线线，则则二面角的大小就是向量二面角的大小就是向量AB与与CD的的夹夹角角(如如图图)设设n1，n2分分别别是二面角是二面角l的两个面的两个面，的法向量，的法向量，则则向量向量n1与与n2的的夹夹角角(或其或其补补角角)的大小就是二面角的平面角的大小的大小就是二面角的平面角的大小(如如图图)【例【例2】(盐城市高三调研盐城市高三调研)如如图图所示，在三棱所示，在三棱锥锥PABC中，中，PA平面平面ABC，PA1，ABAC，AB2，AC2，E为为AC中点中点(1)求异面直求异面直线线BE与与PC所成角的余弦所成角的余弦值值；(2)求二面角求二面角PBEC的平面角的余弦的平面角的余弦值值思路点拨：思路点拨：建立适当的空间直角坐标系，把求余弦值转化成向量坐标的运算建立适当的空间直角坐标系，把求余弦值转化成向量坐标的运算解解：(1)以以A为为原原点点，AB、AC、AP所所在在直直线线分分别别为为x轴轴、y轴轴、z轴轴建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系Axyz，则则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0)，P(0,0,1)，所以所以 (2,1,0)，(0,2，1)，故异面直故异面直线线BE与与PC所成角的余弦所成角的余弦值为值为(2)作作PMBE交交BE(或或 延延 长线长线)于于M，作，作CNBE交交BE(或或 延延 长线长线)于于N，则则存在存在实实数数m、n，使得，使得 即即 (2m,1m，1)，(2n，n1,0)因因为为 所以所以 15m0，5n10，解得，解得 所以所以 所以所以即即为为所求二面角的平面角的余弦所求二面角的平面角的余弦值值变式变式2：(苏锡常镇四市高三教学情况调查苏锡常镇四市高三教学情况调查)如如图图所示，建立空所示，建立空间间直角坐直角坐标标系系Oxyz，BC2，点，点O是是BC的中点，点的中点，点A的坐的坐标为标为 ，点，点D在平面在平面yOz上，且上，且BDC90，DCB30.(1)求向量求向量 的坐的坐标标；(2)若若P为线为线段段CD上的一点，且上的一点，且PC2DP，求二面角，求二面角DABP的余弦的余弦值值解：解：(1)BDC90，BC2，DCB30，BD1，OC1，BCD的的边边BC上的高上的高为为 D点的坐点的坐标为标为 ，C(0,1,0)，(2)B(0，1,0)，设设平面平面ABD的法向量的法向量为为n(x，y，z)，则则 令令x3，则则 PC2DP，设设平面平面ABP的法向量的法向量为为m(x，y，z)，则则 令令x ，则则y1，z ，m(，1，)，设设二面角二面角DABP的平面角大小的平面角大小为为，cos 由由题题意知，意知，为锐为锐角，角，二面角二面角DABP的余弦的余弦值为值为 1用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建建立立空空间间图图形形与与空空间间向向量量的的关关系系(可可以以建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，也也可可以以不不建建系系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题根据运算结果解释相关问题2求求异异面面直直线线所所成成的的角角，用用向向量量法法比比较较简简单单，若若用用基基向向量量法法求求解解，则则必必须须选选好好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确3找找直直线线和和平平面面所所成成的的角角常常用用方方法法是是过过线线上上一一点点作作面面的的垂垂线线或或找找线线上上一一点点到到面面的垂线，或求出法向量利用已知公式求出的垂线，或求出法向量利用已知公式求出4求二面角的法向量法；利用两个平面法向量夹角去求二面角大小，要注意区求二面角的法向量法；利用两个平面法向量夹角去求二面角大小，要注意区别与联系别与联系.【规律方法总结】【规律方法总结】【例例3】(2009宁宁夏夏、海海南南卷卷)如如图图所所示示，四四棱棱锥锥SABCD的的底底面面是是正正方方形形，每每条条侧侧棱的棱的长长都是底面都是底面边长边长的倍，的倍，P为侧为侧棱棱SD上的点上的点(1)求求证证：ACSD；(2)若若SD平面平面PAC，求二面角，求二面角PACD的大小；的大小；(3)在在(2)的条件下，的条件下，侧侧棱棱SC上是否存在一点上是否存在一点E，使得使得BE平面平面PAC.若存在，求若存在，求SE EC的的值值；若不存在，；若不存在，试说试说明理由明理由【高考真题高考真题】分析：分析：对于第对于第(1)问，根据这个四棱锥的特点只要连接底面对角线问，根据这个四棱锥的特点只要连接底面对角线BD，交，交AC于于点点O，再连接，再连接SO，就出现了一系列的垂线，证明，就出现了一系列的垂线，证明AC，SD中的一条直线垂直于另中的一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可；对于第一条直线所在的平面即可；对于第(2)题，很显然，题，很显然，PAC，DAC都是以都是以AC为为底边的等腰三角形，连接底边的等腰三角形，连接PO，DO就得到了所求二面角的平面角，在就得到了所求二面角的平面角，在RtPOD中中求解求解POD即可；对于第即可；对于第(3)问，根据第问，根据第(2)问找到点问找到点E的位置，通过寻找平行线的位置，通过寻找平行线解决本题也可以在建立空间直角坐标系后，通过向量的方法解决解决本题也可以在建立空间直角坐标系后，通过向量的方法解决规范解答：解法一：规范解答：解法一：(1)如如图图所示，所示，连连接接BD，设设AC交交BD于于O，由，由题题意知意知SOAC.在正方形在正方形ABCD中，中，ACBD，所以，所以AC平面平面SBD，又，又SD平面平面SBD，所以，所以ACSD.(2)设设正方形的正方形的边长为边长为a，则则SD 又又OD ，所以，所以SDO60.连连接接OP，由由(1)知知AC平面平面SBD，所以，所以ACOP，且，且ACOD，所以所以POD是二面角是二面角PACD的平面角的平面角由由SD平面平面PAC，知，知SDOP，所以，所以POD30.即二面角即二面角PACD的大小的大小为为30.(3)在在棱棱SC上存在一点上存在一点E，使，使BE平面平面PAC.由由(2)可得可得PD ，故可在，故可在SP上取一点上取一点N，使，使PNPD.过过N作作PC的平行的平行线线与与SC的交点即的交点即为为E.连连接接BN.在在BDN中，由分析可知中，由分析可知BNPO.又由于又由于NEPC，故平，故平面面BEN平面平面PAC，得，得BE平面平面PAC.由于由于SN NP2 1，故，故SE EC2 1.解法二：解法二：(1)连连接接BD，设设AC交交BD于于O，由，由题题意知意知SO平面平面ABCD.以以O为为坐坐标标原点，原点，分分别为别为x轴轴、y轴轴、z轴轴的正方向，的正方向，建立空建立空间间直角坐直角坐标标系系Oxyz，如，如图图所示所示设设底面底面边长为边长为a，则则高高SO 于是于是 因因为为 故故OCSD.从而从而ACSD.(2)由由题设题设知，平面知，平面PAC的一个法向量的一个法向量 ，平面，平面DAC的一个的一个法向量法向量 .设设所求二面角所求二面角为为，则则 故所求二面角的大小故所求二面角的大小为为30.(3)在在棱棱SC上存在一点上存在一点E使使BE平面平面PAC.由由(2)知知 是平面是平面PAC的一个法向量，的一个法向量，且且 设设 则则 而而 即当即当SE EC2 1时时，而而BE不在平面不在平面PAC内，故内，故BE平面平面PAC.,【命命题题探探究究】本本题题是是以以正正四四棱棱锥锥为为载载体体，考考查查线线线线垂垂直直的的证证明明、二二面面角角的的求求解解及及线线面面平平行行的的一一个个探探索索性性问问题题，试试题题的的前前两两问问属属于于立立体体几几何何最最基基本本的的证证明明与与计计算算，试试题题的的核核心心部部分分是是第第(3)问问，探探索索性性问问题题本本身身就就是是一一个个考考生生不不容容易易解解决决的的问问题题，本本题题又又是是在在需需要要较较高高的的空空间间想想象象能能力力和和逻逻辑辑推推理理能能力力的的立立体体几几何何中中，难难度度是是比比较较大大的的，但但解解答答问问题题的的基基本本思思路路是是明明确确的的，一一个个思思路路就就是是通通过过两两个个平平面面的的平平行行解解决决线线面面平平行行，一一个个是是通通过过向向量量的的方方法法解解决决本本题题入入手手容容易易，但但最最后后完完整整解解答答就就需需要要考生具有一定的分析问题、解决问题的能力，是一道具有较好区分度的试题考生具有一定的分析问题、解决问题的能力，是一道具有较好区分度的试题【全解密全解密】【方法探究】【方法探究】解决探索性问题的基本思路解决探索性问题的基本思路解解决决存存在在与与否否类类的的探探索索性性问问题题一一般般有有两两个个思思路路：一一是是直直接接去去找找存存在在的的点点、线线、面面或或是是一一些些其其他他的的量量；二二是是首首先先假假设设其其存存在在，然然后后通通过过推推理理论论证证或或是是计计算算，如如果果得得出出了了一一个个合合理理的的结结果果，就就说说明明其其存存在在；如如果果得得出出了了一一个个矛矛盾盾的的结结果果，就就说说明明其其不不存存在在如如本本题题解解法法一一就就是是直直接接寻寻找找满满足足要要求求的的点点E，解解法法二二实实际际上上就就是是先先假假设设了了其其存存在在，通通过过计计算算得得到到了了一一个个合合理理的的结结果果，就就说说明明了了点点E的的存存在在性性以以及及点点E的的确确切位置切位置【技巧点拨】【技巧点拨】利用向量的线性运算证明立体几何的相关问题利用向量的线性运算证明立体几何的相关问题(1)要要用用向向量量表表示示相相关关的的量量；(2)根根据据证证明明的的需需要要对对向向量量进进行行运运算算，运运算算可可以以结结合合实实际际图图形形，以以图图形形为为指指导导是是解解题题的的关关键键；(3)要要注注意意利利用用空空间间向向量量解解决决立立体体几几何何中中各各种种问问题题的的方方法法，如如证证明明线线线线垂垂直直，可可以以证证其其向向量量的的数数量量积积为为零零；如如证证明明四四点点共共面面，可可以以证证从从同同一一点点出出发发的的三三个个向向量量共共面面；如如求求线线线线夹夹角角，可可以以利利用用其其向向量量的的数量积数量积(向量夹角公式向量夹角公式)；如求两点间的距离，可以求两点向量的模等；如求两点间的距离，可以求两点向量的模等【发发散散思思维维】本本题题第第(1)问问可可以以在在不不建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系的的情情况况下下用用基基向向量量的的方方法法证证明明：设设四四棱棱锥锥的的底底面面边边长长为为a，则则侧侧棱棱长长为为 cosSDAcosSDC ，设设DCa，则则 ab，故，故 (ab)cacbc0，故故ACSD.本本题题第第(3)问问的的规规范范解解析析中中是是用用直直线线BE与与平平面面PAC的的法法向向量量互互相相垂垂直直解解答答的的，还还可可以以根根据据空空间间向向量量有有关关定定理理解解答答，基基本本思思路路是是：如如果果在在侧侧棱棱SC上上存存在在点点E使使BE平面平面PAC，根据共面向量定理，一定存在一组有序实数，根据共面向量定理，一定存在一组有序实数，使得，使得 由于点由于点E在棱在棱SC上，根据共面向量定理有上，根据共面向量定理有(0t1)，即，即 ，只要把各个向量的坐标代入，根据空间，只要把各个向量的坐标代入，根据空间向向量量基基本本定定理理中中有有序序实实数数组组的的唯唯一一性性，就就得得到到了了一一个个含含有有三三个个未未知知数数的的方方程程组组，如如果果这这个个方方程程组组有有解解，就就说说明明存存在在点点E，根根据据求求出出的的t值值也也知知道道了了点点E的的位位置置，如如果果方方程组无解或是解不合理程组无解或是解不合理(如解得如解得t2)，就说明点，就说明点E不存在不存在.1如如图图，在在长长方方体体ABCDA1B1C1D1中中，已已知知AB4，AD3，AA12.E，F分分别别是是线线段段AB，BC上的点，且上的点，且EBBF1.求直求直线线 所成的角的余弦所成的角的余弦值值分分析析：本本题题宜宜建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，把把EC1与与FD1所所成成角角看看做做向向量量EC与与FD1的的夹角或其补角，用向量法来求解夹角或其补角，用向量法来求解解：解：以以A为为原点，原点，分分别为别为x轴轴、y轴轴、z轴轴的正向建立空的正向建立空间间直角直角坐坐标标系，系，则则有有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是，于是 (1,3,2)，(4,2,2)设设EC1与与FD1所成的角所成的角为为，则则 直直线线EC1与与FD1所成的角的余弦所成的角的余弦值为值为 2.如如图图，在在棱棱长长为为1的的正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，P是是侧侧棱棱CC1上上的的一一点点，CPm.试试确定确定m，使得直，使得直线线AP与平面与平面BDD1B1所成角的正切所成角的正切值为值为 分分析析：先先根根据据题题意意建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，求求出出平平面面BB1D1D的的一一个个法法向向量，再利用公式即可求出其解量，再利用公式即可求出其解解：解：建建立如立如图图所示的空所示的空间间直角坐直角坐标标系，系，则则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)所以所以 (1，1,0)，(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)又由又由 0，0知知 为为平面平面BB1D1D的一个法向量的一个法向量设设AP与平面与平面BB1D1D所成的角所成的角为为，则则 依依题题意有意有 解得解得m .故当故当m 时时，直，直线线AP与平面与平面BB1D1D所成的角的正切所成的角的正切值为值为 点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册