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振振 动动习习 题题 课课像枫叶，在严霜中那么火红像枫叶，在严霜中那么火红像松柏，在朔风中那么苍翠像松柏，在朔风中那么苍翠像腊梅，在冰雪中那么傲然像腊梅，在冰雪中那么傲然 那才是生活的强者那才是生活的强者（1）运动方程运动方程（定义（定义1）：）：一、简谐振动的特征一、简谐振动的特征（2）动力学特征动力学特征（定义（定义2）：）：（3）动力学方程动力学方程（定义（定义3）：）：（4）能量方程能量方程（定义（定义4）：）：二、简谐振动的特征物理量二、简谐振动的特征物理量 反映质点离开原点（平衡位置）反映质点离开原点（平衡位置）的最大距离。的最大距离。（1）振幅振幅A：反映谐振动系统的能量。反映谐振动系统的能量。（2）周期周期 T、频率、频率、圆频率（角频率）、圆频率（角频率）（3）相位（相位（）：）：初相位初相位 ：三、简谐振动的位移、速度、加速度三、简谐振动的位移、速度、加速度1.位移位移2.速度速度3.加速度加速度x、a 周期均为周期均为T比比 x 超前超前/2a与与 x 反相反相四、四、简谐振动的矢量图表示法简谐振动的矢量图表示法o ox M(t=0)=0)x0 0 xM(t)t 矢量矢量逆时针逆时针匀角速度旋转过程中，其端点匀角速度旋转过程中，其端点M在在x 轴上的投影点坐标为：轴上的投影点坐标为：x =Acos(t+)恰为恰为x 轴上简谐振动。轴上简谐振动。五、简谐振动的能量五、简谐振动的能量1.动能：动能：2.势能势能（取（取平衡位置平衡位置 x=0 处势能为零）处势能为零）3.总能量总能量：xoA-ATttT/2EkEPEx六、同方向、同频率的简谐振动的合成六、同方向、同频率的简谐振动的合成合振动合振动七、振动系统的七、振动系统的固有周期固有周期和和固有频率固有频率（1）弹簧振子弹簧振子：（2）复摆复摆（3）单摆单摆1.5 一水平弹簧振子，振幅为一水平弹簧振子，振幅为A=2.0 10-2m，周期周期 T=0.50 s，当当 t=0 时，时，（1）物体过）物体过 x=1.010-2m 处，向负方向运动；处，向负方向运动；（2）物体过）物体过 x=-1.010-2m 处，向正方向运动。处，向正方向运动。分别写出以上两种情况下的振动表达式。分别写出以上两种情况下的振动表达式。解解:（1）O OxA/2 =/3/3或由初始条件，求得或由初始条件，求得 =/3（2）O Ox-A/2 =4/3/3 =-2/3/31.6 一质量为一质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为的物体作简谐振动，其振幅为 24cm，周期为周期为4s，当当t=0 时，位移为时，位移为+24cm，求：求：（1）当当 t=0.5s 时，物体所在位置和物体所受的力；时，物体所在位置和物体所受的力；（2）由起始位置运动到由起始位置运动到 x=12cm 处所需最少时间。处所需最少时间。解解：由已知可得：由已知可得 =0=0，于是有于是有（1）t=5s 时，时，（2）x=0.12m时，位相时，位相最小最小为为/3。由由 可得，可得，O Oxt=0AA/2 1.7 两个谐振子作同频率、同振幅的简谐运动。第一个两个谐振子作同频率、同振幅的简谐运动。第一个振子的振动表达式为振子的振动表达式为 x1=A cos(t+)，当第一个振子当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。向位移的端点。（1）求第二个振子的）求第二个振子的振动表达式振动表达式和二者的和二者的相差相差。（2）若）若t=0时，时，x1=-A/2，并向，并向x轴负方向运动，画出二轴负方向运动，画出二者的者的 x-t 曲线曲线及及相量图相量图。解解:（1）由已知由已知第二谐振子的振动表达式为第二谐振子的振动表达式为（2）由）由t=0时，时，即即由此得由此得两谐振子的两谐振子的 x-t 曲线曲线 和相量图：和相量图：xoxoA-Atx2x1 1.8 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐运动。在振动过程中，每当它们经过振幅的简谐运动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相差，并作相量图表示之。们的相差，并作相量图表示之。解解：如图所示，：如图所示，O Ox 1.9 一弹簧振子，弹簧劲度系数为一弹簧振子，弹簧劲度系数为k=25 N/m，当物体当物体以初动能以初动能 0.2J 和初势能和初势能 0.6J 振动时，试回答：振动时，试回答：（1）振幅是多大？）振幅是多大？（2）位移是多大时，势能和动能相等？）位移是多大时，势能和动能相等？（3）位移是振幅的一半时，势能多大？）位移是振幅的一半时，势能多大？解解:（1）（2）Ek=EP 时，时，（3）1.10 将一劲度系数为将一劲度系数为 k 的轻质弹簧上端固定悬挂起来，的轻质弹簧上端固定悬挂起来，下端挂一质量为下端挂一质量为 m 的小球，平衡时弹簧伸长为的小球，平衡时弹簧伸长为 b。试写试写出出以此平衡位置为原点的小球的动力学方程以此平衡位置为原点的小球的动力学方程，从而，从而 证明证明小球将作简谐运动并求出其振动周期。若它的振幅为小球将作简谐运动并求出其振动周期。若它的振幅为A，它的总能量是否还是它的总能量是否还是kA2/2。mk解解：以平衡位置为原点，竖直向下为以平衡位置为原点，竖直向下为 x 轴正向轴正向oxx列出小球的动力学方程为列出小球的动力学方程为知小球以所选原点为中心做简谐运动，周期为知小球以所选原点为中心做简谐运动，周期为:，与水平弹簧振子周期相同。，与水平弹簧振子周期相同。以原点以原点o 为弹性势能零点，则为弹性势能零点，则小球重力势能：小球重力势能：总能量：总能量：则有则有即具有和水平弹簧振子相同的能量形式。即具有和水平弹簧振子相同的能量形式。mkoxx 习题集（振动和波）习题集（振动和波）一、选择一、选择1.(P50)一轻弹簧上端固定，下端挂有重物一轻弹簧上端固定，下端挂有重物m，其自由振，其自由振动的周期为动的周期为T，今已知振子离开平衡位置为今已知振子离开平衡位置为x时，其振动时，其振动速度为速度为，加速度为加速度为 a，试判下列计算该振子倔强系数的试判下列计算该振子倔强系数的公式中，哪个是错误的：公式中，哪个是错误的：（B）（C）（D）（A）分析分析：A对对如图，如图，mkoxx以平衡位置为原点，竖直向下为以平衡位置为原点，竖直向下为 x 轴正向，轴正向，小球受力：小球受力：D对对可知小球以原点可知小球以原点O为中心做简谐运动，周期为为中心做简谐运动，周期为C 对对 B 7(P51)一弹簧振子，当把水平放置时，它可以作简谐振一弹簧振子，当把水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的：下面哪种情况是正确的：（A）竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动。简谐振动。（B）竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动。简谐振动。（C）两种情况都可作简谐振动。两种情况都可作简谐振动。（D）两种情况都不能作简谐振动。两种情况都不能作简谐振动。分析分析：以平衡位置为原点，平行斜面向下为以平衡位置为原点，平行斜面向下为 x 轴正向，轴正向，小球受力：小球受力：小球以原点小球以原点o 为中心沿斜面做简谐运动，周期为为中心沿斜面做简谐运动，周期为 C mkoxx 2.(P50)如图，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为如图，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物的物体，再用此弹簧改系一质量为体，再用此弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m 的物体，则的物体，则这三个系统的周期值之比为：这三个系统的周期值之比为：（B）（C）（D）（A）分析分析：弹簧振子：弹簧振子如图，如图，mk将弹簧等长截断将弹簧等长截断，劲度系数，劲度系数均为均为2k，二者二者并联并联的的劲度系数为劲度系数为 4k，则：则：B 4mk2k m 3.(P50)(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统，组成为三个不同的简谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所示。各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所示。(a)、(b)、(c)三个振动系统的三个振动系统的 2(为固有圆频率为固有圆频率)值之比为值之比为（B）（C）（D）（A）分析分析：弹簧振子：弹簧振子如图，如图，B mkkmkkmk(a)(b)(c)4.(P51)图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x，速度速度，和加速度和加速度a。下列说法中哪一个是正确的？下列说法中哪一个是正确的？（A）曲线曲线3，1，2分别表示分别表示x，a曲线；曲线；（B）曲线曲线2，1，3分别表示分别表示x，a曲线；曲线；（C）曲线曲线1，3，2分别表示分别表示x，a曲线；曲线；（D）曲线曲线2，3，1分别表示分别表示x，a曲线；曲线；（E）曲线曲线1，2，3分别表示分别表示x，a曲线；曲线；分析分析：E a xtx,a 1 32 5.(P51)某简谐振动的振动曲线如图，位移单位为某简谐振动的振动曲线如图，位移单位为cm，时间单位为时间单位为s，则此简谐振动的振动方程为：则此简谐振动的振动方程为：(A)x=2cos(2t/3+2/3)cm;(B)x=2cos(2t/3-/3)cm;(C)x=2cos(4t/3+2/3)cm;(D)x=2cos(4t/3-2/3)cm;(E)x=2cos(4t/3-/4)cm.x(cm)o-2t(s)-11分析分析：振动方程为余弦形式：振动方程为余弦形式 如图，如图，xo =2/3由由t=1s，即即 C 6.(P51)一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量增为原来的四倍，则它的总能量E1变为：变为：（A）E1/4；（；（B）E1/2；（；（C）2 E1；（；（D）4 E1。分析分析：弹簧振子系统的能量：弹簧振子系统的能量 D 8.(P52)一质点作简谐振动，已知振动频率为一质点作简谐振动，已知振动频率为f，则振动动能的变化频率是则振动动能的变化频率是（A）4f；（；（B）2f；（；（C）f；（D）f/2 。分析分析：谐振能量谐振能量 B xoA-ATttT/2EkEPE 9.(P52)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为力在半个周期内所作的功为（A）kA2；（；（B）kA2/2；（；（C）kA2/4；（；（D）0。分析分析：弹性力作的功：弹性力作的功 D 或或由功的定义计算由功的定义计算10.(P52)一长度为一长度为l、倔强系数为倔强系数为 k 的均匀轻弹簧分割成的均匀轻弹簧分割成长度分别为长度分别为 l1 和和 l2 的两部分，且的两部分，且l1=n l2，n为整数，则相为整数，则相应的倔强系数为应的倔强系数为 k1 和和k2为为（B）（C）（D）（A）分析分析：C mklmk1 l1mk2l2 l1、l2两根弹簧串联两根弹簧串联mk2l2k1l1二、填空二、填空 1.(P55)有相同的弹簧，其倔强系数均为有相同的弹簧，其倔强系数均为k。（1）把把它它们们串串联联起起来来，下下面面挂挂一一个个质质量量为为m 的的重重物物，此此系统作简谐振动的周期为系统作简谐振动的周期为 。（2）把它们并联起来，下面挂一个质量为）把它们并联起来，下面挂一个质量为m 的重物，的重物，此系统作简谐振动的周期为此系统作简谐振动的周期为。kmkkkm分析分析：2.一简谐振动曲线如图，试由图确定在一简谐振动曲线如图，试由图确定在t=2秒时秒时刻质点的位移为刻质点的位移为 ，速度为，速度为 。xo6-6t-2431分析分析：t=2s 时，质点位时，质点位于平衡位置处，于平衡位置处，x=0;速度为速度为最大值最大值：3.(P56)已知两个简谐振动曲线如图所示，已知两个简谐振动曲线如图所示，x1 的的位相比位相比 x2 的位相超前的位相超前 。xot-x1x2分析分析：位相：位相 超前超前2，便超前一个周期的时便超前一个周期的时间，于是间，于是xo-2-4.(P55)一质点作简谐振动，其振动曲线如图所一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示，根据此图，它的周期示，根据此图，它的周期 T=，用余弦函用余弦函数描述时初位相数描述时初位相 =。xo4-2t-2分析分析：同：同P51选择选择5由由 t=2s 时，时，即即有有 5.(P56)试在下图中画出谐振子的动能，振动势能和机试在下图中画出谐振子的动能，振动势能和机械能随时间械能随时间 t 而变的三条曲线（设而变的三条曲线（设t=0时物体经过平衡时物体经过平衡位置）位置）。xoA-ATttT/2EkEPE 7.(P57)质点同时参与了三个简质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为谐振动，它们的振动方程分别为 x1=A cos(t+/3)x2=A cos(t+5/3)x3=A cos(t+)其合成运动的运动方程为其合成运动的运动方程为 x=。6.(P57)如图所示的是两个简谐振动的振动曲线，它们如图所示的是两个简谐振动的振动曲线，它们合成合成的余弦振动的初相为的余弦振动的初相为。xoA-A/22t4分析分析：合振动合振动的的 x-t 曲线如图，曲线如图，则：则：=-/2 或或3/2-/2或或3/2O Ox/35/30 8.(P57)两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为幅为20cm，与第一个简谐振动的位相差为与第一个简谐振动的位相差为-1/6。若第一个简谐振动的振幅为若第一个简谐振动的振幅为10 cm17.3cm，则第二则第二个简谐振动的振幅为个简谐振动的振幅为 cm，第一、二两个简谐振动第一、二两个简谐振动的位相差（的位相差（1 2）为为。分析分析：矢量图，：矢量图，xo20cm300600A2=A/2=10cm1-2=-/2的规律振动。的规律振动。（1）求）求、T、A、初相、最大速度及最大加速度；、初相、最大速度及最大加速度；（2）求）求t=1s，2s，10s 等时刻的相；等时刻的相；（3）分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。）分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。1.1 一个小球和轻弹簧组成的系统一个小球和轻弹簧组成的系统，按，按解解：（1）与简谐运动的标准表示式）与简谐运动的标准表示式 x=Acos(t+)比较即可得比较即可得 （2）（3）x，a 和和 t 的关系如图的关系如图1.1 所示。所示。ta x 1.2 有一小球和轻弹簧相连，沿有一小球和轻弹簧相连，沿x 轴作振幅为轴作振幅为A的简谐的简谐运动。该振动的表达式用余弦函数表示。若运动。该振动的表达式用余弦函数表示。若 t=0 时，时，球的运动状态分别为球的运动状态分别为 （1）x 0=-A;（2）过平衡位置向过平衡位置向x正方向运动；正方向运动；（3）过）过x=A/2处，且向处，且向x 轴负方向运动。轴负方向运动。试用相量图法分别确定相应的初相。试用相量图法分别确定相应的初相。解解：O Ox-A =-（1）相量图如右相量图如右（2）O Ox =3/2（3）O OxA/2 =/3/31.4 作简谐运动的小球，速度最大值为作简谐运动的小球，速度最大值为m=3cm/s，振幅振幅A=2cm，若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间。若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间。（1）求振动的周期；求振动的周期；（2）求加速度的最大值；求加速度的最大值；（3）写出振动表达式。写出振动表达式。解解:（1）由由（2）（3）由于由于 t=0 时，时，=m，可知，可知 1.33 一质点同时参与两个同一直线上的简谐振一质点同时参与两个同一直线上的简谐振动，其表达式为动，其表达式为 x1 =0.04 cos(2t+/6)x2=0.03 cos(2t-/6)写出其振动的表达式。写出其振动的表达式。解解:O Ox/6-/6单摆和复摆单摆和复摆1.概念：概念：单摆单摆一无伸缩的轻质细绳，上端一无伸缩的轻质细绳，上端固定，下端系一可视作质点的小物体，在固定，下端系一可视作质点的小物体，在竖直平面内的摆动系统。竖直平面内的摆动系统。lmmgo 复摆复摆（物理摆）（物理摆）一个可绕定轴摆一个可绕定轴摆动的物体（视为刚体），在竖直平面内摆动的物体（视为刚体），在竖直平面内摆动，就构成动，就构成复摆复摆。hmg2.运动规律（方程）运动规律（方程）所受所受重力矩重力矩 M=-mghsin 由转动定律由转动定律M=J得：得：m 对轴对轴 o 的角加速度的角加速度当当角很小时，角很小时，令令其解：其解：所以，当摆角所以，当摆角很小时，单摆和复摆的运动是角谐振动。很小时，单摆和复摆的运动是角谐振动。固有周期固有周期和和固有频率固有频率 振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。txoA1-A1A2-A2x1x2T同相同相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相反相xyoxo oxmxf fkmk