齐次线性方程组解的判定线性组合与线性相关.pptx
齐次线性方程组解的判定线性组合与线性齐次线性方程组解的判定线性组合与线性相关相关2 向量与向量组的线性组合一、向量及其线性运算1.定义：n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。如：行向量（行矩阵）列向量（列矩阵）第1页/共18页2.一些特殊向量：（1）零向量：所有分量都为零的向量；（2）单位向量组：（3）的每一列都是m维列向量；而其每一行都是n维行向量。1n2第2页/共18页（3）故A可记为：3.向量的线性运算：向量的加法和数乘运算。矩阵的加法和数乘运算。第3页/共18页 线性方程组4.线性方程组的向量表示：可表示为1n2第4页/共18页二、向量的线性组合1.定义：给定向量组：1,2,s和向量，如果存在一组数k1,k2,ks,使得：=k11+k22+kss则称可由向量组1,2,s 线性表示(线性表出)；又称是向量组1,2,s 的线性组合。例：若任一n维向量：则可由向量组1,2,3线性表示为：=2123第5页/共18页例 零向量可由任一向量组线性表示：例 向量组1,2,s中的任一向量j都可由该向量组线性表示：例 判断向量 能否表示为向量组：的线性组合，若可以，写出表示式。解：设，即：第6页/共18页所以x1=2,x2=1，即：=21+2.第7页/共18页判断向量能否用向量组1,2,s线性表示，等同于判断x11+x22+xss=是否有解。线性方程组2.定理：向量能用向量组1,2,s线性表示的充要条件是：注：(1)r(1,2,s)=r(1,2,s,)=s时，表示式唯一；(2)r(1,2,s)=r(1,2,s,)s时，表示式不唯一。r(1,2,s)=r(1,2,s,)第8页/共18页2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示。三、向量组间的线性表示1.定义：设有两向量组 A:1,2,s；B:1,2,t若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。(传递性）第9页/共18页3 向量组的线性相关性一、线性相关性的概念引例 齐次线性方程组Ax=O的向量形式为显然，其必有零解。(零向量可由任一向量组线性表示)其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数 k1,k2,kn,使得：我们关心其是否有非零解？第10页/共18页1.定义：对于向量组:1,2,s，如果存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得：k11+k22+kss=O则称向量组1,2,s 线性相关；如果当且仅当k1=k2=ks=0时上式才成立，则称向量组1,2,s 线性无关。例 1=(1,1)T,2=(2,2)T线性相关。212=O例 n维单位向量组线性无关。若则：第11页/共18页例 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关；例 证明：若1,2线性无关，则1+2,12也线性无关。n维向量组:1,2,s线性相关等同于齐次线性方程组二、向量组线性相关性的一些判定定理x11+x22+xss=O1.定理1：n维向量组:1,2,s线性相关r(1,2,s)s注：向量组:1,2,s线性无关r(1,2,s)=s有非零解。第12页/共18页推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数个数，则它必有非零解。2.推论1：向量个数大于维向量维数时，向量组线性相关。推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是|A|0.对齐次线性方程组，我们有以下结论：所以对向量，我们相应有：3.推论2：n个n维向量组:1,2,n线性相关|1,2,n|=0,线性无关|1,2,n|0.向量维数向量个数第13页/共18页例 讨论 的线性相关性。解：所以r(1,2,3)=2 3，从而1,2,3线性相关。注：也可通过计算 得出结论。第14页/共18页4.定理2：如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。分析：k11+k22+krr=O若存在一组不全为零的数k1,k2,kr，使得：rs则：k11+k22+krr+0r+1+0s=O 5.推论3：线性无关向量组中任何一部分组皆线性无关。（部分相关，则整体相关）（整体无关，则部分无关）例 含有零向量的向量组线性相关。或：零向量线性相关01+02+0s+1O=O（部分相关，则整体相关）第15页/共18页练习：判断以下向量组是否线性相关。1.1=(1,2,3)T,2=(0,4,5)T,3=(0,0,6)T 2.1=(1,1,1)T,2=(3,2,3)T,3=(4,3,4)T 3.1=(1,2,3)T,2=(2,3,4)T,3=(3,4,5)T,3=(4,5,6)T 4.1=(1,0,0,2,5)T,2=(0,1,1,3,4)T,3=(0,0,0,0,0)T第16页/共18页练习：1.=(1,1,1)T,=(1,3,0)T,=(2,4,1)T,试将表示为,的线性组合。=2.讨论1=(1,2,1)T,2=(4,1,5)T,3=(2,1,1)T 的线性相关性。线性相关3.若1,2,3线性无关，讨论12,23,31的线性相关性。线性相关4.课本96页第7题。第17页/共18页感谢您的观看！感谢您的观看！第18页/共18页
