高等数学中的MATLAB命令.ppt

MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 第第 3 章章 高等数学中的高等数学中的MATLAB命令命令 4/22/20231第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 内容提要内容提要l 函数、极限、级数的符号运算函数、极限、级数的符号运算函数、极限、级数的符号运算函数、极限、级数的符号运算l 符号微积分符号微积分符号微积分符号微积分l 数值微积分数值微积分数值微积分数值微积分l 常微分方程的符号解法常微分方程的符号解法常微分方程的符号解法常微分方程的符号解法l 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法l 补充：补充：补充：补充：求解代数方程和超越方程求解代数方程和超越方程求解代数方程和超越方程求解代数方程和超越方程求函数的极值求函数的极值求函数的极值求函数的极值4/22/20232第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算函数、极限与级数的符号运算u符号替换符号替换符号替换符号替换l l f=subs f=subs(符号表达式符号表达式符号表达式符号表达式,符号对象符号对象符号对象符号对象1 1,符号对象符号对象符号对象符号对象2)2)将符号表达式中的符号对象将符号表达式中的符号对象将符号表达式中的符号对象将符号表达式中的符号对象1 1 用符号对象用符号对象用符号对象用符号对象2 2代替代替代替代替 注：符号对象注：符号对象注：符号对象注：符号对象1 1 和和和和 符号对象符号对象符号对象符号对象2 2 也可以是符号表达式也可以是符号表达式也可以是符号表达式也可以是符号表达式l l例如：例如：例如：例如：syms x y a b t syms x y a b t f=x2+x*y f=x2+x*y f=subs(f,x,t)f=subs(f,x,t)f=subs(f,t,a+b)f=subs(f,t,a+b)f=subs(f,a+b,x)f=subs(f,a+b,x)subs是是substitution(替换替换)的缩写的缩写4/22/20233第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算函数、极限与级数的符号运算u符号替换符号替换符号替换符号替换l l f=subs f=subs(符号表达式符号表达式符号表达式符号表达式,符号对象符号对象符号对象符号对象1111,符号对象符号对象符号对象符号对象12,12,符号对象符号对象符号对象符号对象21,21,符号对象符号对象符号对象符号对象22,)22,)将将将将符符符符号号号号表表表表达达达达式式式式中中中中的的的的符符符符号号号号对对对对象象象象1111、符符符符号号号号对对对对象象象象1212、分分分分别别别别用用用用符号对象符号对象符号对象符号对象2121、符号对象、符号对象、符号对象、符号对象2222、代替代替代替代替 。l l例如：例如：例如：例如：syms x y a b syms x y a b f=x2+x*y f=x2+x*y g=subs(f,x,y,a,b)g=subs(f,x,y,a,b)h1=subs(f,x,y,sym(pi),sym(3)h1=subs(f,x,y,sym(pi),sym(3)%求函数值（符号计算）求函数值（符号计算）求函数值（符号计算）求函数值（符号计算）h2=subs(f,x,y,pi,3)h2=subs(f,x,y,pi,3)%求函数值（数值计算）求函数值（数值计算）求函数值（数值计算）求函数值（数值计算）4/22/20234第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算函数、极限与级数的符号运算u符号函数及其运算符号函数及其运算符号函数及其运算符号函数及其运算l l大大大大部部部部分分分分MATLABMATLAB数数数数学学学学函函函函数数数数和和和和逻逻逻逻辑辑辑辑关关关关系系系系运运运运算算算算也也也也可可可可以以以以用用用用于符号对象于符号对象于符号对象于符号对象l l其他一些符号运算命令选讲：其他一些符号运算命令选讲：其他一些符号运算命令选讲：其他一些符号运算命令选讲：factor(factor(符号表达式符号表达式符号表达式符号表达式)对表达式作因式分解对表达式作因式分解对表达式作因式分解对表达式作因式分解expand(expand(符号表达式符号表达式符号表达式符号表达式)将表达式展开将表达式展开将表达式展开将表达式展开collect(collect(符号表达式符号表达式符号表达式符号表达式,符号符号符号符号)将表达式按符号合并同类项将表达式按符号合并同类项将表达式按符号合并同类项将表达式按符号合并同类项simplify(simplify(符号表达式符号表达式符号表达式符号表达式)将表达式化简将表达式化简将表达式化简将表达式化简simpesimpe(符号表达式符号表达式符号表达式符号表达式)将表达式化简到所含字符最少将表达式化简到所含字符最少将表达式化简到所含字符最少将表达式化简到所含字符最少4/22/20235第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算函数、极限与级数的符号运算u符号函数及其运算符号函数及其运算符号函数及其运算符号函数及其运算g=g=finverse(ffinverse(f,x x)求求求求符号函数符号函数符号函数符号函数f(f(f(f(x x x x)的反函数的反函数的反函数的反函数g(g(g(g(x x x x)fgfg=compose(fcompose(f,g),g)求求求求符号函数符号函数符号函数符号函数f f f f和和和和g g g g的复合函数的复合函数的复合函数的复合函数f(gf(gf(gf(g)l l举例举例举例举例4/22/20236第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算函数、极限与级数的符号运算u极限与级数极限与级数极限与级数极限与级数vv在在在在MATLABMATLAB中，极限与级数运算归属于符号运算中，极限与级数运算归属于符号运算中，极限与级数运算归属于符号运算中，极限与级数运算归属于符号运算l llimit(limit(f f,x,x,a)a)求符号函数求符号函数求符号函数求符号函数f f f f的的的的极限极限极限极限 l llimit(limit(f f,x,x,a,a,right)right)求符号函数求符号函数求符号函数求符号函数f f f f的的的的右极限右极限右极限右极限l llimit(flimit(f,x,a,left),x,a,left)求符号函数求符号函数求符号函数求符号函数f f f f的左极限的左极限的左极限的左极限说明：上述命令中的说明：上述命令中的说明：上述命令中的说明：上述命令中的a a可以是无穷大可以是无穷大可以是无穷大可以是无穷大 infinf 或或或或 -infinfpp说明：多元函数的极限需要使用说明：多元函数的极限需要使用说明：多元函数的极限需要使用说明：多元函数的极限需要使用累次极限累次极限累次极限累次极限来计算来计算来计算来计算举例举例举例举例4/22/20237第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算函数、极限与级数的符号运算u极限与级数极限与级数极限与级数极限与级数l lsymsum(s,n,a,b)symsum(s,n,a,b)求符号通项求符号通项求符号通项求符号通项s s s s的和的和的和的和 其中，其中，其中，其中，b b b b可以是无穷大可以是无穷大可以是无穷大可以是无穷大infinfinfinf举例举例举例举例sym是是symbol(符号符号)的缩写的缩写4/22/20238第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算函数、极限与级数的符号运算u极限与级数极限与级数极限与级数极限与级数l ltaylor(ftaylor(f,n,a,x),n,a,x)求符号函数求符号函数求符号函数求符号函数f f f f在点在点在点在点a a a a关于自变量关于自变量关于自变量关于自变量x x x x的的的的n-1n-1n-1n-1阶泰勒多项式阶泰勒多项式阶泰勒多项式阶泰勒多项式举例举例举例举例l ltaylortool taylortool 泰勒工具泰勒工具泰勒工具泰勒工具举例举例举例举例4/22/20239第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 符号微积分符号微积分u导数与偏导数导数与偏导数导数与偏导数导数与偏导数l ldiff(fdiff(f,x),x)求符号函数求符号函数求符号函数求符号函数f f f f对对对对x x x x的导函数或偏导数的导函数或偏导数的导函数或偏导数的导函数或偏导数l ldiff(f,x,n)diff(f,x,n)求符号函数求符号函数求符号函数求符号函数f f f f对对对对x x x x的的的的n n n n阶导函数或偏导数阶导函数或偏导数阶导函数或偏导数阶导函数或偏导数l l注：注：注：注：diffdiffdiffdiff是是是是d d d differential(ifferential(ifferential(ifferential(微分微分微分微分)的缩写的缩写的缩写的缩写举例举例举例举例n n问问问问:如何求函数在给定点的导数值如何求函数在给定点的导数值如何求函数在给定点的导数值如何求函数在给定点的导数值(或偏导数值或偏导数值或偏导数值或偏导数值)？pp说说说说明明明明：参参参参数数数数方方方方程程程程求求求求导导导导和和和和隐隐隐隐函函函函数数数数求求求求导导导导需需需需要要要要使使使使用用用用相相相相关关关关数数数数学公式（见教材学公式（见教材学公式（见教材学公式（见教材66-6766-67页）页）页）页）4/22/202310第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 符号微积分符号微积分u不定积分与定积分不定积分与定积分不定积分与定积分不定积分与定积分l lint(s,x)int(s,x)求求求求符号函数符号函数符号函数符号函数f f f f关于变量关于变量关于变量关于变量x x x x的的的的不定积分不定积分不定积分不定积分l l注：注：注：注：intintintint是是是是integration(integration(integration(integration(积分积分积分积分)的缩写的缩写的缩写的缩写l lint(s,x,a,b)int(s,x,a,b)求求求求符符符符号号号号函函函函数数数数f f f f关关关关于于于于变变变变量量量量x x x x的的的的定定定定积积积积分分分分，a a a a、b b b b分分分分别别别别是是是是积积积积分分分分下下下下限限限限和和和和上上上上限限限限，a a a a、b b b b可可可可以以以以是是是是函函函函数数数数表表表表达达达达式式式式，也也也也可可可可以以以以是是是是无无无无穷大穷大穷大穷大infinfinfinf或或或或-inf-inf-inf-inf举例举例举例举例4/22/202311第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 符号微积分符号微积分u不定积分与定积分不定积分与定积分不定积分与定积分不定积分与定积分l l对对对对于于于于定定定定积积积积分分分分，当当当当系系系系统统统统求求求求不不不不出出出出精精精精确确确确解解解解时时时时，如如如如果果果果被被被被积积积积函函函函数中不含待定符号，可以使用数中不含待定符号，可以使用数中不含待定符号，可以使用数中不含待定符号，可以使用vpavpa命令给出近似解命令给出近似解命令给出近似解命令给出近似解例如：例如：例如：例如：syms xsyms xa=int(sin(sin(x),1,2)a=int(sin(sin(x),1,2)vpa(a)vpa(a)pp说说说说明明明明：重重重重积积积积分分分分、曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分需需需需要要要要使使使使用用用用数数数数学学学学方法转化为方法转化为方法转化为方法转化为累次积分累次积分累次积分累次积分来计算来计算来计算来计算4/22/202312第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值微积分的特点数值微积分的特点数值微积分的特点数值微积分的特点采采采采用用用用数数数数值值值值算算算算法法法法，主主主主要要要要用用用用于于于于解解解解决决决决导导导导数数数数和和和和定定定定积积积积分分分分的的的的近近近近似似似似计算问题计算问题计算问题计算问题可以解决离散数据的相关计算问题可以解决离散数据的相关计算问题可以解决离散数据的相关计算问题可以解决离散数据的相关计算问题l l实实实实例例例例：某某某某河河河河床床床床的的的的横横横横断断断断面面面面如如如如图图图图所所所所示示示示，试试试试根根根根据据据据图图图图示示示示的的的的测测测测量量量量数数数数据据据据(单单单单位位位位:m)m)，计计计计算算算算各各各各测测测测量量量量点点点点的的的的坡坡坡坡度度度度和和和和横横横横断断断断面面面面的面积。的面积。的面积。的面积。数值微积分数值微积分041012 152228344013689534/22/202313第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值导数数值导数数值导数数值导数l lFx=gradient(F,x)Fx=gradient(F,x)该命令求一元函数该命令求一元函数该命令求一元函数该命令求一元函数F F的的的的数值导数数值导数数值导数数值导数F F (x)(x)其其其其中中中中，x x是是是是自自自自变变变变量量量量的的的的一一一一组组组组取取取取值值值值(离离离离散散散散数数数数据据据据)，F F是是是是因因因因变变变变量量量量的的的的对对对对应应应应取取取取值值值值(离离离离散散散散数数数数据据据据)，FxFx得得得得到到到到的的的的是是是是各各各各离离离离散散散散数数数数据据据据点的导数值点的导数值点的导数值点的导数值(近似解近似解近似解近似解)。pp说明：说明：说明：说明：x x的取值越密集，得到的导数值就越精确。的取值越密集，得到的导数值就越精确。的取值越密集，得到的导数值就越精确。的取值越密集，得到的导数值就越精确。该命令常用于求解离散型数据的变化率。该命令常用于求解离散型数据的变化率。该命令常用于求解离散型数据的变化率。该命令常用于求解离散型数据的变化率。l l例：计算上例中的坡度例：计算上例中的坡度例：计算上例中的坡度例：计算上例中的坡度数值微积分数值微积分gradient ：梯度、变化率：梯度、变化率4/22/202314第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值导数数值导数数值导数数值导数l lFx=gradient(F,x)Fx=gradient(F,x)l l例例例例题题题题：求求求求函函函函数数数数y=xy=x2 2sinxsinx在在在在区区区区间间间间-3,3-3,3的的的的数数数数值值值值导导导导数数数数，并并并并作作作作出原函数与导函数的图形。出原函数与导函数的图形。出原函数与导函数的图形。出原函数与导函数的图形。问问问问：该该该该函函函函数数数数在在在在x=1.5x=1.5的的的的数数数数值值值值导导导导数数数数是是是是多多多多少少少少？试试试试讨讨讨讨论论论论它它它它与与与与“精确导数值精确导数值精确导数值精确导数值”的误差。的误差。的误差。的误差。（演示）（演示）（演示）（演示）数值微积分数值微积分4/22/202315第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值偏导数数值偏导数数值偏导数数值偏导数l lFx,Fy=gradient(F,x,y)Fx,Fy=gradient(F,x,y)该命令求该命令求该命令求该命令求二元函数二元函数二元函数二元函数F F的的的的数值偏导数数值偏导数数值偏导数数值偏导数F F x x和和和和F F y y其其其其中中中中，x,x,y y分分分分别别别别是是是是自自自自变变变变量量量量x x和和和和y y的的的的一一一一组组组组取取取取值值值值；F F是是是是定定定定义义义义在在在在x-yx-y平平平平面面面面点点点点集集集集区区区区域域域域上上上上的的的的函函函函数数数数值值值值(矩矩矩矩阵阵阵阵表表表表示示示示)，平平平平面面面面点点点点集集集集区区区区域域域域可可可可以以以以使使使使用用用用meshgridmeshgrid命命命命令令令令生生生生成成成成；FxFx和和和和FyFy分分分分别别别别得得得得到到到到的的的的是每个点上关于是每个点上关于是每个点上关于是每个点上关于x x和和和和y y的偏导数值的偏导数值的偏导数值的偏导数值(矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示)。pp说说说说明明明明：x x和和和和y y的的的的取取取取值值值值越越越越密密密密集集集集，得得得得到到到到的的的的偏偏偏偏导导导导数数数数值值值值就就就就越越越越精精精精确确确确；该该该该命命命命令令令令常常常常用用用用于于于于求求求求解解解解离离离离散散散散型型型型数数数数据据据据的的的的方方方方向向向向导导导导数数数数、梯梯梯梯度度度度、散散散散度度度度、旋度等。旋度等。旋度等。旋度等。数值微积分数值微积分4/22/202316第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值偏导数数值偏导数数值偏导数数值偏导数l lFx,Fy=gradient(F,x,y)Fx,Fy=gradient(F,x,y)l l举例举例举例举例数值微积分数值微积分4/22/202317第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值定积分数值定积分数值定积分数值定积分l l梯形法数值积分：梯形法数值积分：梯形法数值积分：梯形法数值积分：trapz(x,y)trapz(x,y)其其其其中中中中x x表表表表示示示示自自自自变变变变量量量量在在在在积积积积分分分分区区区区间间间间的的的的一一一一组组组组取取取取值值值值，y y表表表表示示示示被被被被积函数对应于积函数对应于积函数对应于积函数对应于x x的一组函数值。的一组函数值。的一组函数值。的一组函数值。l l例：计算前例中的横断面积例：计算前例中的横断面积例：计算前例中的横断面积例：计算前例中的横断面积l l例题例题例题例题 求积分求积分求积分求积分解：解：解：解：x=-1:0.1:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y)x=-1:0.1:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y)数值微积分数值微积分trapz是是trapezoid(梯形梯形)的缩写的缩写4/22/202318第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值定积分数值定积分数值定积分数值定积分l l高精度数值积分：高精度数值积分：高精度数值积分：高精度数值积分：quad(f,a,b)quad(f,a,b)或或或或quadl(f,a,b)quadl(f,a,b)求求求求函函函函数数数数f f在在在在区区区区间间间间a,a,bb上上上上的的的的定定定定积积积积分分分分，其其其其中中中中f f 可可可可以以以以使使使使用用用用字字字字符符符符串串串串函函函函数数数数表表表表达达达达式式式式或或或或内内内内联联联联函函函函数数数数，定定定定义义义义函函函函数数数数的的的的乘乘乘乘、除除除除、乘乘乘乘方时要使用方时要使用方时要使用方时要使用点运算点运算点运算点运算。积分限。积分限。积分限。积分限 a a、b b 必须是必须是必须是必须是常量常量常量常量。quadquad采用自适应步长采用自适应步长采用自适应步长采用自适应步长SimpsonSimpson积分法积分法积分法积分法quadlquadl采用高精度采用高精度采用高精度采用高精度LobattoLobatto积分法积分法积分法积分法l l例例例例 求积分求积分求积分求积分解：解：解：解：z=quadl(z=quadl(exp(-x.2)exp(-x.2),-1,1),-1,1)数值微积分数值微积分quad是是quadrature(求积分求积分)的缩写的缩写4/22/202319第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值定积分数值定积分数值定积分数值定积分l l注意：注意：注意：注意：trapz,quad,quadltrapz,quad,quadl都不能用于求反常积分。都不能用于求反常积分。都不能用于求反常积分。都不能用于求反常积分。数值微积分数值微积分4/22/202320第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值重积分数值重积分数值重积分数值重积分l l矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分：矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分：矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分：矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分：二重积分命令二重积分命令二重积分命令二重积分命令 dblquad(f,a1,a2,b1,b2)dblquad(f,a1,a2,b1,b2)f f 为被积函数为被积函数为被积函数为被积函数,积分区域为矩形积分区域为矩形积分区域为矩形积分区域为矩形a1,a2;b1,b2a1,a2;b1,b2三重积分命令三重积分命令三重积分命令三重积分命令 triplequad(ftriplequad(f,a1,a2,b1,b2,c1,c2),a1,a2,b1,b2,c1,c2)f f 为为为为被被被被积积积积函函函函数数数数,积积积积分分分分区区区区域域域域为为为为立立立立方方方方体体体体a1,a1,a2;a2;b1,b1,b2;b2;c1,c1,c2c2说说说说明明明明：被被被被积积积积函函函函数数数数可可可可以以以以使使使使用用用用字字字字符符符符串串串串函函函函数数数数表表表表达达达达式式式式或或或或内内内内联联联联函函函函数数数数；乘乘乘乘、除除除除、乘乘乘乘方方方方要要要要用用用用点点点点运运运运算算算算；积积积积分分分分限限限限必必必必须须须须是是是是常常常常量量量量；f f f f是是是是字字字字符符符符串串串串函函函函数数数数表表表表达达达达式式式式时时时时，积积积积分分分分的的的的顺顺顺顺序序序序按按按按照照照照自自自自变变变变量量量量的的的的字字字字典典典典顺顺顺顺序序序序进进进进行行行行，f f f f是是是是内内内内联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。数值微积分数值微积分4/22/202321第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值重积分数值重积分数值重积分数值重积分l l积分顺序举例积分顺序举例积分顺序举例积分顺序举例 dblquad(sin(t./r.2),1,2,6,9)dblquad(sin(t./r.2),1,2,6,9)dblquad(sin(t./r.2),1,2,6,9)dblquad(sin(t./r.2),1,2,6,9)即即即即 二重积分二重积分二重积分二重积分 f=inline(sin(t./r.2),t,r)f=inline(sin(t./r.2),t,r)f=inline(sin(t./r.2),t,r)f=inline(sin(t./r.2),t,r)dblquad(f,1,2,6,9)dblquad(f,1,2,6,9)dblquad(f,1,2,6,9)dblquad(f,1,2,6,9)即即即即 二重积分二重积分二重积分二重积分数值微积分数值微积分4/22/202322第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值重积分数值重积分数值重积分数值重积分l l例例例例 计算重积分计算重积分计算重积分计算重积分 和和和和演示演示演示演示数值微积分数值微积分4/22/202323第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的符号解法常微分方程的符号解法l ly1,y2,=dsolvey1,y2,=dsolve(方程方程方程方程1,1,方程方程方程方程2,2,初始条件初始条件初始条件初始条件1,1,初始条件初始条件初始条件初始条件2,.,2,.,自变量自变量自变量自变量)使使使使用用用用字字字字符符符符串串串串表表表表示示示示方方方方程程程程、初初初初始始始始条条条条件件件件和和和和自自自自变变变变量量量量，不不不不必必必必定定定定义符号对象；缺省自变量默认为义符号对象；缺省自变量默认为义符号对象；缺省自变量默认为义符号对象；缺省自变量默认为t t方程中的等号使用单等号，不能使用双等号方程中的等号使用单等号，不能使用双等号方程中的等号使用单等号，不能使用双等号方程中的等号使用单等号，不能使用双等号在在在在方方方方程程程程中中中中，用用用用DyDy表表表表示示示示y y，D2yD2y表表表表示示示示yy，(不不不不需需需需降降降降阶阶阶阶)该命令可以不含初始条件，用于求通解该命令可以不含初始条件，用于求通解该命令可以不含初始条件，用于求通解该命令可以不含初始条件，用于求通解对对对对于于于于方方方方程程程程组组组组，解解解解的的的的输输输输出出出出顺顺顺顺序序序序是是是是按按按按照照照照未未未未知知知知量量量量的的的的字字字字典典典典顺顺顺顺序序序序输出的！输出的！输出的！输出的！4/22/202324第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的符号解法常微分方程的符号解法l ly1,y2,=dsolvey1,y2,=dsolve(方程方程方程方程1,1,方程方程方程方程2,2,初始条件初始条件初始条件初始条件1,1,初始条件初始条件初始条件初始条件2,.,2,.,自变量自变量自变量自变量)l l例例例例 求解下列常微分方程或方程组求解下列常微分方程或方程组求解下列常微分方程或方程组求解下列常微分方程或方程组（1 1）y=dsolve(y=dsolve(D2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0,xD2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0,x)（2 2）初始条件初始条件初始条件初始条件f,g=dsolve(f,g=dsolve(Df=f+gDf=f+g ,Dg=-f+gDg=-f+g ,f(0)=1f(0)=1 ,g(0)=2g(0)=2)4/22/202325第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的符号解法常微分方程的符号解法l ly1,y2,=dsolvey1,y2,=dsolve(方程方程方程方程1,1,方程方程方程方程2,2,初始条件初始条件初始条件初始条件1,1,初始条件初始条件初始条件初始条件2,.,2,.,自变量自变量自变量自变量)l l例例例例 求解下列常微分方程或方程组求解下列常微分方程或方程组求解下列常微分方程或方程组求解下列常微分方程或方程组（3 3）y=dsolve(y=dsolve(Dy=x+y2,y(0)=0,xDy=x+y2,y(0)=0,x)此微分方程无解析解！此微分方程无解析解！此微分方程无解析解！此微分方程无解析解！pp特别说明：在理论上，除了常系数线性微分方程可特别说明：在理论上，除了常系数线性微分方程可特别说明：在理论上，除了常系数线性微分方程可特别说明：在理论上，除了常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，绝大部分微分方程无解析解或不能求得解析解外，绝大部分微分方程无解析解或不能求得解析解外，绝大部分微分方程无解析解或不能求得解析解外，绝大部分微分方程无解析解或不能求得解析解，在实际应用中主要依靠数值解法。解，在实际应用中主要依靠数值解法。解，在实际应用中主要依靠数值解法。解，在实际应用中主要依靠数值解法。4/22/202326第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法u预备知识预备知识预备知识预备知识l一阶常微分方程一阶常微分方程一阶常微分方程一阶常微分方程(组组组组)初值问题的数值解初值问题的数值解初值问题的数值解初值问题的数值解 其中其中其中其中l l数值解法：数值解法：数值解法：数值解法：寻寻寻寻求求求求y(ty(t)在在在在一一一一系系系系列列列列离离离离散散散散节节节节点点点点 t t0 0 t t1 1 t tn n 的的的的近近近近似似似似值值值值y yk k(k=0,1,n)(k=0,1,n)。4/22/202327第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法u预备知识预备知识预备知识预备知识l高阶常微分方程高阶常微分方程高阶常微分方程高阶常微分方程(组组组组)初值问题的数值解初值问题的数值解初值问题的数值解初值问题的数值解l l已给一个已给一个已给一个已给一个n n阶微分方程阶微分方程阶微分方程阶微分方程(组组组组)y y(n(n)=f(t,y,y,y=f(t,y,y,y(n-1)(n-1)设设设设y y1 1 =y,y,y y2 2 =y,y,y yn n=y y(n-1)(n-1),上上上上式式式式可可可可以以以以化化化化为为为为一一一一阶阶阶阶微分方程组微分方程组微分方程组微分方程组4/22/202328第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法u一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解l l初值问题：初值问题：初值问题：初值问题：l l常用求解格式：常用求解格式：常用求解格式：常用求解格式：t,y=ode45(f,t0,.,y0)t,y=ode45(f,t0,.,y0)f f：表表表表示示示示f(t,f(t,y)y)，可可可可以以以以使使使使用用用用MM函函函函数数数数或或或或内内内内联联联联函函函函数数数数来来来来定定定定义义义义，t t是是是是自自自自变变变变量量量量名名名名，y y是是是是因因因因变变变变量量量量名名名名；求求求求解解解解微微微微分分分分方方方方程程程程组组组组时时时时，f f必必必必须须须须定定定定义义义义为为为为列列列列向向向向量量量量，并并并并且且且且因因因因变变变变量量量量名名名名必必必必须须须须使使使使用用用用同同同同名名名名下下下下标标标标变变变变量量量量，如如如如：x(1),x(1),x(2),x(2),.等等。等等。等等。等等。t0,t0,.：可可可可以以以以使使使使用用用用t t0 0,t tn n,这这这这时时时时软软软软件件件件自自自自动动动动在在在在初初初初值值值值t t0 0和和和和终终终终值值值值t tn n之之之之间间间间选选选选取取取取一一一一组组组组自自自自变变变变量量量量节节节节点点点点 ；也也也也可可可可以以以以使使使使用用用用t t0 0,t t1 1,.,t tn n,由由由由用用用用户户户户指指指指定定定定自变量的取值节点。自变量的取值节点。自变量的取值节点。自变量的取值节点。y0y0：表表表表示示示示初初初初值值值值t t0 0所所所所对对对对应应应应的的的的因因因因变变变变量量量量值值值值y y0 0，求求求求解解解解微微微微分分分分方方方方程程程程组组组组时时时时，y0y0必须定义成为向量（行向量和列向量均可）。必须定义成为向量（行向量和列向量均可）。必须定义成为向量（行向量和列向量均可）。必须定义成为向量（行向量和列向量均可）。求求解解结结果果中中，t是是自自变变量量的的取取值值节节点点列列向向量量，y是是函函数数的的数数值值解解列列向向量量（对对于于微微分分方方程程组组，数数值值解解用用矩矩阵阵表表示示，每每一一列列对对应应一一个个函函数数的的解解）。若若无无输输出出变变量量，则则作作出出解解函函数数的的图形。图形。ode是是ordinary differential equation(常微分方程常微分方程)的缩写的缩写45是求解方案的编号是求解方案的编号4/22/202329第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法u一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解l l例例例例 解微分方程解微分方程解微分方程解微分方程f=inline(y-2*t/y,t,y)f=inline(y-2*t/y,t,y)t,y=ode45(f,0,t,y=ode45(f,0,8 8,1),1)%求解求解求解求解ode45(f,0,ode45(f,0,8 8,1),1)%画解函数的图形画解函数的图形画解函数的图形画解函数的图形t,y=ode45(f,0:1:8,1)t,y=ode45(f,0:1:8,1)%按照指定的自变量取值节点求解按照指定的自变量取值节点求解按照指定的自变量取值节点求解按照指定的自变量取值节点求解4/22/202330第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法u一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解l l例例例例 解微分方程解微分方程解微分方程解微分方程f=inline(f=inline(x+y2x+y2,x x,y),y)x x,y=ode45(f,0,y=ode45(f,0,1 1,0 0)%求解求解求解求解ode45(f,0,ode45(f,0,1 1,0 0)%画解函数的图形画解函数的图形画解函数的图形画解函数的图形l l问：当问：当问：当问：当x=0.5x=0.5以及以及以及以及x=0.52x=0.52时，时，时，时，y=y=？4/22/202331第一章第一章 Matlab入门入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法u一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解一阶初值问题的数值解l l例例例例 解微分方