新课标全国卷2理科数学试题分类汇编-解析几何.doc

2012年2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编11解析几何一、选择题（2017·9）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A2 B C D（2016·4）圆的圆心到直线的距离为1，则a =（ ）ABCD2（2016·11）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与x轴垂直，则E的离心率为（ ）ABCD2（2015·7）过三点A(1, 3)，B(4, 2)，C(1, -7)的圆交于y轴于M、N两点，则=（ ）AB8CD10（2015·11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）AB2CD（2014·10）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30º的直线交C于A, B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）ABCD（2013·11）设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的园过点，则的方程为（ ）A.或B.或 C.或 D.或（2013·12）已知点，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ）A.B. C. D.（2012·4）设F1，F2是椭圆E: 的左右焦点，P为直线上的一点，是底角为30º的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A.B.C.D.（2012·8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=，则C的实轴长为（ ）A.B. C. 4D. 8（2011·7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A, B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）ABC2D3二、填空题（2017·16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为 的中点，则 （2014·6）设点M(,1)，若在圆O:上存在点N，使得OMN=45º，则的取值范围是_.（2011·14）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为 .三、解答题（2017·20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. （2016·20）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.（）当t=4，|AM|=|AN|时，求AMN的面积；（）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.（2015·20）已知椭圆C：(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由（2014·20）设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a, b.（2013·20）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.（）求的方程；（）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.（2012·20）设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.（）若BFD=90º，ABD面积为，求p的值及圆F的方程；（）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.（2011·20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, -1)，B点在直线y =-3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C .（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值 .2012年2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编11解析几何（逐题解析版）一、选择题（2017·9）A【解析】解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为， 圆心到渐近线的距离为，即，解得.解法二：设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为， 圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得.（2016·4）A解析：圆化为标准方程为：，故圆心为，解得，故选A（2015·7）C解析：由已知得，所以kABkCB=-1，所以ABCB，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1, -2)，半径为5，所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25，令x=0，得，所以，故选C.（2016·11）A解析：离心率，由正弦定理得故选A（2015·11）D解析：设双曲线方程为，如图所示，|AB|=|BM|，ABM=120º，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，|BN|=a，故点M的坐标为，代入双曲线方程得a2 = b2 = c2 -a2，即c2 = 2a2，所以，故选D.（2014·10）D解析：，设直线的方程为，代入抛物线方程得：，设、，由弦长公式得，由点到直线的距离公式得：到直线的距离，.【另解】直线AB的方程代入抛物线方程得：，.（2013·11）C解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则x05.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为.将x0，y2代入得，所以y04.由2px0，得，解之得p2，或p8.所以C的方程为y24x或y216x. 故选C.（2013·12）B解析：由题意知b(0, 1)，当直线过点(-1, 0)时，要将ABC分割为面积相等的两部分，直线必须过点，此时有-a+b=0且，解得；当a=1时，直线y=ax+b平行于直线AC，要将ABC分割为面积相等的两部分，可求此时的.（2012·4）C解析：由题意可得，是底角为30º的等腰三角形可得，即， 所以.（2012·8）C解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A在上，将点A代入得，所以实轴长为.（2011·7）B解析：通径|AB|=得，故选B.二、填空题（2017·16）【解析】 点为线段的中点， ， ， （2014·6）解析：由图可知点M所在直线与圆相切，又，由正弦定理得，即，即，解得：.【另解】过OAMN，垂足为A，因为在RtOMA中，|OA|1，OMN=45º，所以=，解得，因为点M (x0, 1)，所以，解得，故的取值范围是.（2011·14） 解析：由得a=4，c=，从而b=8，.三、解答题（2017·20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 解析：（1）解法一：相关点法求轨迹：设，,，则：,.又,所以：，则：.又在椭圆C上，所以：，所以：.解法二： 椭圆C的参数方程为：（为参数）.设，,，则：,.又,所以：，则：.则：.（）解法一：设，,则，,，.又,所以：即：.那么：.所以：. 即过垂直于的直线过椭圆C的左焦点。解法二：设，,则，,，.又,所以：.又在上，所以：.又.所以：，即过垂直于的直线过椭圆C的左焦点。（2016·20）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.（）当t=4，|AM|=|AN|时，求AMN的面积；（）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.解析：当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，则直线AM的方程为联立并整理得，解得或，则，因为，所以，因为，所以，整理得，无实根，所以所以的面积为 直线AM的方程为，联立并整理得，解得或，所以，所以，因为，所以，整理得因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得，解得（2015·20）已知椭圆C：(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解析：（）设直线,将代入得，故，. 于是直线的斜率，即，所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.（）四边形能为平行四边形，因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，由（）得的方程为.设点的横坐标为，由，得，即，将点的坐标代入的方程得，因此. 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，于是，解得，因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形.（2014·20）设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a, b.解析：（）由题意得：，的斜率为，又，解得或（舍），故直线MN的斜率为时，C的离心率为.（）由题意知，点M在第一象限，直线MN的斜率为：，则MN：；在直线MN上，得，且，又在椭圆上，联立、解得：，.（2013·20）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.（）求的方程；（）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.解析：（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，由此可得.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2. 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23. 因此a26，b23. 所以M的方程为.（）由解析得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|.由已知，四边形ACBD的面积.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.（2012·20）设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.（）若BFD=90º，ABD面积为，求p的值及圆F的方程；（）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.解析：（） 由对称性可知，为等腰直角三角形，斜边上的高为，斜边长. 点到准线的距离. 由得， ， . 圆的方程为.（） 由对称性，不妨设点在第一象限，由已知得线段是圆的在直径，代入抛物线得.直线的斜率为.直线的方程为. 由 得,. 由得, .故直线与抛物线的切点坐标为，直线的方程为. 所以坐标原点到，的距离的比值为.15（2011·20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, -1)，B点在直线y =-3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C .（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值 .解析：（）设M(x, y)，由已知得B(x, -3)，A(0, -1). 所以， ，. 再由题意可知，即. 所以曲线C的方程式为.（）设P(x0, y0)为曲线C：上一点，因为，所以l的斜率为，因此直线l的方程为，即. 则O点到l的距离. 又，所以，当=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.