运动定律和力学中守恒律.pptx

12211牛顿运动定律牛顿运动定律一、惯性定律 惯性参照系实验表明，动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性参考系的问题。1、惯性定律“孤立质点”的模型：不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。例如，太空中一远离所有星体的飞船。牛顿第一定律（惯性定律）：一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。第1页/共123页2BA静止时AB惯性和惯性运动惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有的属性。惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。、惯性系和非惯性系左图中，地面观察者和车中观察者对于惯性定律的运用认知相同吗？第2页/共123页3什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速直线运动时，该参照系为惯性系。如何确定惯性系只有通过力学实验*1地球是一个近似程度很好的惯性系但相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。*2太阳是一个精度很高的惯性系太阳对银河系中心的加速度为马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。第3页/共123页4牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比。与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力F的方向相同。比例系数k与单位制有关。在国际单位制（SI制）中k=1。二、牛顿第二定律惯性质量引力质量其数学形式为0物体之间的四种基本相互作用；1、关于力的概念0力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，可使物体获得加速度。力的概念只是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。第4页/共123页530力的叠加原理若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。2、关于质量的概念3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定量关系0质量是物体惯性大小的量度；0引力质量与惯性质量的问题；调节引力常数，使m引，m惯的比值为一惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。第5页/共123页6三、牛顿第三定律 1作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的力，不是一对平衡力。2作用力与反作用力是同一性质的力。3若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。*牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时才成立。牛顿第三定律：当物理A以力作用在物体B上时，物理B也必定同时以力F2作用在物体A上，和大小相等，方向相反，且力的作用线在同一直线上，即第6页/共123页7四、牛顿定律的应用1、牛顿定律只适用于惯性系在直角坐标系在自然坐标系2、牛顿定律只适用于质点模型3、具体应用时，要写成坐标分量式第7页/共123页8若F=常量，则若F=F(v)，则 若F=F(r)，则、要根据力函数的形式选用不同的方程形式运用举例：第8页/共123页9MM MM1)物体M对地的加速度2)物体m对M的加速度3)物体m与M间的弹力N4)尖劈与桌面间的弹力R 解：分别以m,为对象，选地为参考系a/是m对M的加速度，aM是M对地的加速度所以m对地的加速度为例2-1质量为M的光滑尖劈，倾角为，置于光滑的水平桌面上，质量为m的物体放在尖劈的斜面上，求：牛顿定律只适用于惯性系建立如图坐标，则am在X、Y轴上的分量分别为第9页/共123页10由牛顿定律的坐标分量式方程可得对于m有对于有m,的受力图如下所示第10页/共123页11联立得第11页/共123页12例图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1m2m3(m1m2+m3)绳轻且不可伸长，滑轮质量不计，求每个物体对地加速度及绳中张力。解：设m2,m3对滑轮的相对加速度为a/，向下为轴正方向,a1为m1对地加速度，则可得对m1对m3对m2AB对动滑轮为什么 T2T2/第12页/共123页13第13页/共123页14例23一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量为mM/2，若人相对于绳以加速度a0向上爬，则人相对于地面的加速度是多少？解：分别以人、物为对象，受力图如下。mgTa0MgTaa则人对地的加速度为设物体向下的加速度为a由牛顿第二定律，有联立，得于是人对地的加速度为第14页/共123页15已知运动情况求力例24 长 l 的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m 的小球。使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度v0开始运动。用牛顿定律求小球沿逆 时针方向转过角时的角速度和绳中的张力 解：取小球为研究对象；小球受重力mg，及绳子的张力T 取自然坐标系，将重力mg、张力T 沿、n方向分解.列方程第15页/共123页16将式两边同乘d，并约去等式两边m可得对上式两边求积分有解得将v=l代入式第16页/共123页17解：设向下为轴正向，且由牛顿第二定律得例2-5在地球表面附近自由下落的物体，所受空气阻力与速率平方成正比，求其速度表示式已知力求运动若令则有第17页/共123页18故即讨论：第18页/共123页191、单位制：基本量、导出量单位制的任务是：规定那些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。七个基本量为长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度2、SI制中三个基本量的操作型定义长度时间1秒=原子基态的两个超精细能级之间跃迁时对应辐射的9192631770个周期。从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。五、国际单位制和量纲（自学提纲）第19页/共123页203、量纲：因为导出量是基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式，例如：在SI制中通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位制中基本物理量的方次。质量千克质量第20页/共123页21力的瞬时效应加速度：牛顿定律力的积累效应一、质点的动量定理、动量的引入在牛顿力学中，物质的质量可视为常数故即2-32-3冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理第21页/共123页22）式中 叫做动量，是物体运动量的量度。）动量 是矢量，方向与同动量是相对量，与参照系的选择有关、冲量的概念）恒力的冲量）变力的冲量此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量力在某一段时间间隔内的冲量 冲量的方向与力的方向相同作用力F恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，第22页/共123页23即其表示：物体所受外力的冲量等于物体的动量的增量3、质点的动量定理在直角坐标系中的分量式第23页/共123页24平均冲力概念）峰值冲力的估算ff0tt+tt）当相互作用时间极短时，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。、动量定理的应用）当动量的变化是常量时，有第24页/共123页25例7作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3,如果物体在这一力的作用下，沿直线运动，则在02.0s时间内，这个力作用在物体上的冲量I=2秒末物体的速度v=_第25页/共123页26XYOBA例28质量为m的小球在向心力作用下，在水平面内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，如图所示。小球自A点逆时针运动到B点的半圆内，动量的增量应为：（A）（B）（C）（D）答（B）动量的增量为第26页/共123页27例2-9一火箭在均匀引力场中，以恒定速率u喷射气体，由静止上升。假定排出气体质量的增率为dm/dt=m,其中m是火箭的瞬时质量，是常数，再假定使火箭减速的空气阻力是bv（b为常数），求火箭的终极速度。解：以t时刻火箭内的质量m和即将喷出的质量dm为一系统，以竖直向上为正方向，则t时刻（t+dt）时刻运用动量定理在整理中略去高阶无穷小量dmdv得第27页/共123页28将 代入 ，并整理，得显然，当 时有终极速度，即第28页/共123页29二、质点系的动量定理1、内力与外力i质点所受的内力i质点所受合力 2、i质点动量定理第29页/共123页303、质点系的动量定理（对i求和）因为内力成对出现这说明内力对系统的总动量无贡献，但对每个质点动量的增减是有影响的。第30页/共123页31质点系合外力的冲量=质点系动量的增量。于是有或第31页/共123页32三、动量守恒定律 若系统所受的合外力系统总动量守恒一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。注意：动量守恒式是矢量式(1)守恒条件是而不是第32页/共123页33 若 ，但若某一方向的合外力零，则该方向上动量守恒；(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，而运用动量守恒。(2)若表示系统与外界无动量交换，表示系统与外界的动量交换为零。则系统无论沿那个方向的动量都守恒；第33页/共123页34MMLM例10质量为的木块在光滑的固定斜面上，由点从静止开始下滑，当经过路程运动到点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，立即陷入木块内，设子弹的质量为m，速度为v，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度解：木块由至过程，木块、地球系统机械能守恒，木块在B点的末速度以子弹，木块为一系统，沿斜面方向为轴，则该方向上动量守恒（图中f，f/为内力，支持力在方向中没有分力，重力在方向中的分力可略去）第34页/共123页35为什么在水平方向动量不恒？因为此时约束反力在水平方向的分力不为零子弹击中瞬间，方向有第35页/共123页36uuMMMABC例11三只小船的质量（包托载重）均为M，以相同速率v0在一条直线上航行。如中船的人以水平相对速率u将质量为m的两个小包分别投向前后两只船，不计水对船的阻力，求投后各船的速率解：解此题的关键是将质点系内各量统一到同一惯性系中。以小船前进方向为正方向，设B船投出小包时的速度为v2,则分别投向A、C两船的小包的对地速度为第36页/共123页37分别以A、C、B船及小包为对象，由水平方向动量守恒，可得解得 第37页/共123页38解：设人对船的速度为v1,船对静止水的速度为v2。0m1(v1+v2)+m2v2负号表示船移动的方向与人前进的方向相反。例212一质量m1=50kg的人，站在质量m=200kg长为L4m的船的船头上，开始时船静止。试求当人走到船尾时，船移动的距离。水的阻力不计。水平方向动量守恒第38页/共123页39一、功的概念 功率 1、恒力的功 即某力的功等于力与质点在该力作用下的位移的标积(中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘 积 由矢量标积定义式，有2-2-功功 动能动能 势能势能 第39页/共123页40功值的图示法2、变力的功）元功XYZObaL设质点沿X轴运动，则力在区间x1,x2内做的功，即为图中有阴影部分的面积物体在变力的作用下从a运动到bb第40页/共123页412)dA在F-S图上的几何意义0absF(s)dA3）变力在一段位移上的功功的直角坐标系表示式因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。dA=F（s）ds，其在Fs图上即为有阴影的小方块的面积第41页/共123页42一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关0所以一般情况下式中drij为相对位移第42页/共123页43、功率单位时间内所作的功称为功率功率的单位：在SI制中为瓦特（w）第43页/共123页44 重力的功 力函数 元位移 4、保守力12y2y1第44页/共123页45弹簧弹性力的功力函数 元位移 oXo第45页/共123页46万有引力的功元位移 力函数 Mm第46页/共123页471)、保守力如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力，即保守力沿任一闭合路径的功为零。abcc/如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。第47页/共123页48LmS+保守力的共同特征：a、力函数或为常数，或者仅为位置的函数；b、保守力的功总是“原函数”增量的负值。2)、非保守力若力的功值与具体路径有关,则为非保守力.如摩擦力、爆炸力等。第48页/共123页49例214一物体按x=ct3规律在媒质中作直线运动，式中c为常量，t为时间，设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k，试求物体由x=0运动到x=l时，阻力所作的功。解：速度 阻力为阻力对物体所作的功为：第49页/共123页50例215在一块木板上钉钉子，钉子在木板中所受阻力跟深度成正比,即f=ky。第一锤钉子进入木板1cm，求第二锤钉子能进入木板多深的地方？(每一锤外力所作的功相同)解：第一锤外力作功A1，并设外力为f/，则第50页/共123页51所以第二锤外力作功A2第51页/共123页52二、动能定理1、动能是一个独立的物理量，与力在空间上的积累效应对应。这说明又，m为常数第52页/共123页53是质点作机械运动时所具有的运动量的量度，称之为动能是状态量，相对量，与参照系的选择有关2、动能定理或即，合外力的功等于物体动能的增量合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动能的有限变化。第53页/共123页54动能与动量的区别引入两种度量作用第54页/共123页55例6 一质量为m的质点，在力 的作用下，由静止开始沿一轨迹方程为 x29y 的曲线从原点（，）运动到（，）点。试求质点运动到点时的速度。解：根据功的定义将x29y代入上式得根据动能定理：第55页/共123页56例2-17 一个质量15g的子弹，以200米/秒的速度射入一固定的木板内，如阻力与射入木板的深度成正比，即 且 求子弹射入木板的深度。解：以m为研究对象，建立坐标系ox，设射入深度为OXm在射入深度为x时，由动能定理：第56页/共123页57三、势能描述机械运动的状态参量是 对应于：弹簧弹性力的功 万有引力的功 重力的功 1、势函数为此我们回顾一下保守力的功第57页/共123页58由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数由定积分转换成不定积分，则是式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用表示。则有：第58页/共123页592、已知保守力求势能函数弹性势能：保守力的力函数 若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点，则c=0于是重力势能保守力的力函数 若取坐标原点为势能零点，则c=0第59页/共123页60引力势能保守力的力函数若取无穷远处为引力势能零点，则 势能函数的一般特点rij1)对应于每一种保守力就可引进一种相关的势能2)势能大小是相对量与所选取的势能零点有关3)一对保守力的功等于相关势能增量的负值4)势能是彼此以保守力作用的系统所共有第60页/共123页61、已知势能函数求保守力分布若保持y，z不变，则dydz0同理则第61页/共123页62例：求保守力函数第62页/共123页63四、功能原理1、质点系的动能定理质点系的内力和外力 对于单个质点 第63页/共123页64对i求和质点系的动能定理质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功、内部非保守力的功三者之和。第64页/共123页65若引入 (机械能）则可得 系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。2、功能原理由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力均有第65页/共123页66）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出）3)具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点注意的问题：）功能原理是属于质点系的规律（因涉及P），与质点系的动能定理不同质点系动能定理质点功能原理4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中第66页/共123页67五、机械能守恒律 由功能原理式可知机械能守恒的条件：系统与外界无机械能的交换系统内部无机械能与其他能量形式的转换 当系统机械能守恒时，应有即系统内，动能的增量势能增量的负值若 和 ,则系统的机械能保持不变。第67页/共123页68六、能量转换与守恒在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。第68页/共123页69例2-18如图所示质量为M的物块A在离平板h的高度处自由下落，落在质量也是M的平板B上。已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。解：从物块A自由下落到弹簧压缩到最大限度可分为三个物理过程：第69页/共123页70第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。取弹簧处于自然状态时，其上端点位置为坐标原点。取x2位置为重力势能零点，则第三个过程方程为(1)物块A作自由落体运动，到B时速度为v1;(2)物块A和平板B作完全非弹性碰撞，碰后速度为v2;(3)碰撞后弹簧继续被压缩到最大压缩量x2；对每个物理过程列出方程在A、B未碰撞前，B的重力跟所受弹力平衡，因此有 kx1=mg(4)第70页/共123页71解上述四式可得弹簧的最大压缩量x2第71页/共123页72解：设子弹对木块的作用力为f/，木块的位移为，A内=f(s+l)+fs所以A内=fl0式中l即为子弹对于木块的相对位移。slf木块对子弹的作用力为f,子弹的位移为S+l例2-19质量为M的木块放置在一光滑的水平面上，被一质量m为、初速为v0的水平方向飞来的子弹击中，但末穿出，试求(1)这一对作用与反作用的功之和。(2)这一过程中子弹与木块所组成的系统中机械能的损失。M第72页/共123页73对木块和子弹分别应用动能定理，有(2)以木块、子弹为系统，在击中过程中，水平方向守恒(2)+(3)，并考虑(1)式，有第73页/共123页74（4）、（5）两式的结果说明：一对内部非保守力功之和度量了系统内部机械能与其它形式能量的转换。第74页/共123页75例220试证两个全同粒子发生非对心弹性碰撞（其中一个静止）后成直角散开。证：碰撞中动量守恒能量守恒（1）式说明v、v1、v2这三个矢量可组成一个三角形；（2）式则说明这个三角形是一个直角三角形。证毕。第75页/共123页76例221质量为m的小球速度为v0,与一个速度为v(vm），如图所示，则碰后小球的速度v1=，挡板对小球的冲量I。mv0v解(1)以小球、挡板为系统，有动量守恒机械能守恒联立，得(2)求冲量第76页/共123页77一、力矩 1、力对固定点的力矩1）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即力矩是矢量，M的方向垂直于r和F所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定2）力矩的单位、牛米(Nm)om2-2-角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律第77页/共123页783）力矩的计算：M的大小、方向均与参考点的选择有关在直角坐标系中，其表示式为第78页/共123页79力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列x,My,Mz,即为力对轴、轴、轴的矩。、力对轴的矩：设力的作用线就在Z轴的转动平面内，作用点到轴的位矢为r，则力对轴的力矩为式中为力F到轴的距离若力的作用线不在转动在平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。rF第79页/共123页80力对固定点的力矩为零的情况：力F等于零，力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点,即，有心力对力心的力矩恒为零）。力对固定轴的力矩为零的情况：有两种情况,B）力的方向沿矢径的方向（）有心力的力矩为零A）第80页/共123页81质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零第81页/共123页82二、质点的角动量 在质点的匀速圆周运动中，动量mv不守恒，但角动量的引入：开普勒行星运动定律的面积定律许多实例都说明是一个独立的物理量，再考虑到行星的质量m为恒量，第82页/共123页83 它在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量角动量L，来描述这一现象 卫星地球+第83页/共123页84、质点对固定点的角动量动量为mv的质点，对惯性系内某参考点0的角动量，等于质点对该参考点的位矢r与其动量mv的矢积。角动量是矢量，角动量L的方向垂直于r和mv 所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。在直角坐标系中注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。L的大小为L第84页/共123页85角动量的单位是：千克米2秒-1(kgm2s-1)。当质点作圆周运动时,有v=r,且r与v互相垂直，故有 是相对量：与参照系的选择有关，与参考点的选择有关Lr mv=m r2第85页/共123页86例222一质点m以恒速v沿轴运动，求其对原点和轴上距点为l的点的角动量解:对点：由图知夹角为零。角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动或不能作直线运动。oxyzAf对于A点第86页/共123页87例2-23计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角动量。求L解：以原子核为参考点已知：me=9.110-31kgr=5.5910-11m=4.131010s-1M第87页/共123页882、质点对轴的角动量 假定质点的动量就在转动平面内，质点对轴的矢径为r，则质点对z轴的角动量为 ，方向沿z轴，可正、可负质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量；或运用坐标分量式求得：第88页/共123页89三、质点的角动量定理及角动量守恒律、对点的角动量定理（微分形式）若用r叉乘牛顿定律即式中r是质点对参考点O的位矢。又于是有或即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。第89页/共123页90、角动量定理的积分形式：叫冲量矩*M和L必须是对同一点而言3、角动量守恒律的讨论a、对点的角动量守恒律若 ，则 质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律外力矩对某固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量的增量若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒第90页/共123页91b、对轴的角动量守恒律：若Mz=0，则Lz=常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。第91页/共123页92例224质量为m的质点拴在一条细绳上，绳子通过一个光滑的套管可以往下牵引，使m在水平面内转动，当绳长为r0以速率v0转动，求把绳子缩到r需做的功.解：绳与质点系统对点角动量守恒，（有心力作用）此过程中动能的增量由动能定理，此即外界对系统所做的功因质点始终绕点作圆周运动，第92页/共123页93解:XYZO验证：例2一25质量为m的质点以速度v0从参考点平抛出去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。第93页/共123页94一、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理i质点对固定点O的角动量定理设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为则i质点对固定点o的角动量定理为2-62-6刚体的定轴转动刚体的定轴转动第94页/共123页95对i求和质点系对固定点O的角动量定理由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零，于是有（i)内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理相似）第95页/共123页96(iii)质点系对固定点的角动量定理的物理意义：质点系对0点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。(ii)在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能先求合力，再求合力之矩。只能说外力矩之和不能说合外力之矩。第96页/共123页972、质点系对轴的角动量定理如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。为简单记只讨论沿z轴的角动量定理这时组成质点系的n个质点位于z轴的转动平面内，于是有式中ri为i质点到z轴的距离，i是vi与ri间的夹角若质点系内各质点均绕同一轴，并以相同角速度作圆周运动，则这时则有第97页/共123页98将其与线动量相比若令m表示物体的平动惯性，则I表示转动惯性，故将命名为对轴的转动惯量，（式中ri为mi到轴的距离）3、转动惯量的引入若质点系内各质点均绕同一轴，并以相同角速度作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为此时质点系对轴的角动量定理为第98页/共123页99转动惯量计算举例：转动惯量的单位：千克米2（kgm2）4、转动惯量的计算对于单个质点质点系若物体质量连续分布，第99页/共123页100解：在棒上任取一质量元 线密度 例227 求质量为 m，长为l的均质细棒对过穿过棒之中心并与棒垂直的轴的转动惯量。第100页/共123页101解：与上例做法相同，只是坐标原点由中点移至端点，积分限改变。例228求上述细棒对过棒之一端并与棒垂直的轴的转动惯量第101页/共123页102解：在细圆环上任取一质元dmdm到轴的距离为，故因所有质元到轴心的距离均为，例229求质量为m，半径为的细圆环绕过圆心并与环面垂直的轴的转动惯量R第102页/共123页103解：设圆盘厚为h,则整个圆盘可看成是由无穷多个半径为r，宽为dr的圆环所组成，设体密度为例230求均质圆盘（或圆柱）对过质心且与盘面垂直的转轴的转动惯量。第103页/共123页104()质量元的选取：线分布面分布 体分布(1)刚体的转动惯量与刚体的质量有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。以上各例说明：线分布体分布面分布第104页/共123页105(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，即对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。第105页/共123页106例231如图所示，P、Q、R和S是附于刚性轻质细杆的质量分别为4m、3m、2m和m的四个质点，PQ=RQ=RS=，则系统对OO轴的转动惯量为-PQRSOO答：50m2转动惯量具有可加性：第106页/共123页107二、刚体定轴转动的转动定理1、刚体定轴转动的角动量定理：当刚体作定轴运动时，所有质点均在各自的转动平面内以相同角速度绕轴作圆周运动，故有即刚体作定轴转动时，刚体对轴的角动量为刚体对轴的角动量故刚体定轴转动的角动量定理为第107页/共123页1082、刚体定轴转动的转动定理由于刚体是一个特殊质点系，即刚体对给定轴的转动惯量是常数，故有即：作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对Z轴的力矩之和成正比，与刚体对Z轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。因为：第108页/共123页109即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者说转动惯性越小。如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？MM第109页/共123页110例232质量为m1，m2（m1m2）的两物体，通过一定滑轮用绳相连，已知绳与滑轮间无相对滑动，且定滑轮是半径为R、质量为m3的均质圆盘，忽略轴的摩擦。求：(1)m1、m2的加速度；(2)滑轮的角加速度 及绳中的张力。（绳轻且不可伸长）m1m2m3R第110页/共123页111m1m2解对m1、m2，滑轮作受力分析，m1、m2作平动，滑轮作转动，第111页/共123页112解得：请注意与教材P27之例题2比较，其有两处不同。其一此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；其二绳与滑轮间无相对滑动，所以，滑轮两边之张力不相等。第112页/共123页1131、刚体的转动动能可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。注意比较转动动能平动动能i质点的动能整个刚体的动能对i求和三、刚体定轴转动的动能定理第113页/共123页1142、力矩的功对于i 质点其受外力为Fi，对i求和，当整个刚体转动d，则力矩的元功式中M为作用于刚体上外力矩之和-其表明：力矩的元功等于力矩与角位移之乘积（内力矩之和为零）当刚体转过有限角时，力矩的功为第114页/共123页1153、刚体定轴转动的动能定理：力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。第115页/共123页1164、刚体的势能其中m为刚体的总质量,yc为刚体质心的高度质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。OXYmiMC第116页/共123页117四、机械能守恒定律系统机械能守恒，即第117页/共123页1181、对轴的角动量定理已知质点对轴的角动量定理的积分形式为可以证明，这个结论对刚体定轴转动同样成立，同时考虑到即：刚体所受的合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内的角动量的增量。这一关系称刚体的角动量定理。五、刚体对轴的角动量守恒第118页/共123页1192、定轴转动的角动量守恒若Mz外0，若外力对轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对轴的角动量守恒，称之为刚体对轴的角动量守恒定律1)若为刚体，当角动量守恒时，因I常数，则亦为常数，这与转动定律是一致的。第119页/共123页1202、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒I可变，亦可变，但仍有I=常数，故有第120页/共123页1213、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒总角动量 第121页/共123页122 平平 动动 转转 动动动量角动量动量定理角动量定理动量守恒定律角动量守恒定律动能定理动能定理机械能守恒定律条件：（或只有保守力作功）质点平动与刚体定轴转动的对应关系第122页/共123页123感谢您的观看！第123页/共123页