高中数学3.3.1两条直线的交点坐标.ppt
复习提出复习提出 当当 时，两条直线相交时，两条直线相交;A1A2B1B2当当 =时，两直线平行；时，两直线平行；A1 B1 C1A2 B2 C2当当 =时，两条直线重合。时，两条直线重合。A1 B1 C1A2 B2 C2两条直线两条直线A1x+B1y+C1=0和和A2x+B2y+C2=0的的位置关系与系数的关系？位置关系与系数的关系？知识探究（一）：知识探究（一）：两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 思考思考1:1:若点若点P P在直线在直线l上，则点上，则点P P的坐标的坐标(x(x0 0，y y0 0)与直线与直线l的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0有什么关有什么关系？系？AxAx0 0+By+By0 0+C=0+C=0思考思考2:2:直线直线2x+y-1=02x+y-1=0与直线与直线2x+y+1=02x+y+1=0，直线直线3x+4y-2=03x+4y-2=0与直线与直线2x+y+2=02x+y+2=0的位置的位置关系分别如何？关系分别如何？思考思考3:3:能根据图形确定直线能根据图形确定直线3x+4y-2=03x+4y-2=0与与直线直线2x+y+2=02x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办的交点坐标吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标法求得这两条直线的交点坐标？x xy yo oP P思考思考4:4:一般地，若直线一般地，若直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，如何求其交点相交，如何求其交点坐标？坐标？几何元素及关系几何元素及关系 代数表示代数表示点点A A A(a,b)A(a,b)直线直线lL:Ax+By+C=0L:Ax+By+C=0点点A A在直线在直线l上上 直线直线l1 1与与l2 2的交点是的交点是A A 点点A A的坐标是方程组的解的坐标是方程组的解Aa+Bb+C=0Aa+Bb+C=0（二）讲解新课：两条直线的交点：两条直线的交点：如果两条直线如果两条直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组是它们的方程组成的方程组 的解；反之，如果方程组的解；反之，如果方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点。的交点。A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0思考思考5 5：对于两条直线对于两条直线 和和 ,若方程组若方程组 有惟一解，有无数组解，无解，则两直有惟一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？线的位置关系如何？直直线线l1、l2联联立得立得方程方程组组 (代数代数问题问题)(几何几何问题问题)一般地，一般地，对对于直于直线线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C10,A2B2C20),有有方程方程组组 例例1 1：求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点：l l1 1：3x+4y3x+4y2=02=0；l l2 2：2x+y+2=0.2x+y+2=0.解：解方程组解：解方程组3x+4y2=02x+y+2=0l1与与l2的交点是的交点是M（-2，2）x=2y=2得 例例2 2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标出其交点的坐标.（1 1）（2 2）（3 3）例例3 3：求直线：求直线3x+2y3x+2y1=01=0和和2x2x3y3y5=05=0的交点的交点M M的的坐标，并证明方程坐标，并证明方程3x+2y3x+2y1+1+（2x2x3y3y5 5）=0=0（为任意常数）表示过为任意常数）表示过M M点的所有直线（不包括点的所有直线（不包括直线直线2x2x3y3y5=05=0）。）。证明：联立方程证明：联立方程3x+2y1=02x3y5=0oxy(1,-1)M解得：解得：x=1y=-1代入：代入：x+2y1+（2x3y5）=0得得 0+0=0M点在直线上点在直线上A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+（A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2）=0=0是过直是过直A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线系方程。的交点的直线系方程。M（1，-1）即即知识探究（二）：知识探究（二）：过交点的直线系过交点的直线系 思考思考1:1:经过直线经过直线l1 1：3x+4y-2=03x+4y-2=0与直线与直线l2 2：2x+y+2=02x+y+2=0的交点可作无数条直线，你的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？能将这些直线的方程统一表示吗？k k存在存在:y-2=k(x+2):y-2=k(x+2)；k k不存在不存在:x=-2 :x=-2 思考思考2:2:上述直线上述直线l1 1与直线与直线l2 2的交点的交点M M （-2-2，2 2）在这条直线上吗？当）在这条直线上吗？当m m，n n为何为何值时，方程值时，方程 分别表示直线分别表示直线l1 1和和l2 2？n=0,m=o分别表示直线分别表示直线l1 1和和l2 2表示一些直线表示一些直线思考思考4:4:方程方程 表示的直线包括过交点表示的直线包括过交点M M（-2-2，2 2）的所）的所有直线吗？有直线吗？思考思考3:3:方程方程 （m m，n n不同时为不同时为0 0）表示什么图形？）表示什么图形？不表示不表示2x+y+2=0这条直线这条直线思考思考5:5:方程方程 表示经过直线表示经过直线l1 1和和l2 2的交点的直线系，一的交点的直线系，一般地，经过两相交直线般地，经过两相交直线l1 1:A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和l2 2:A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线系方程的交点的直线系方程可怎样表示？可怎样表示？m(Am(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n(A)+n(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0或或A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+（A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2）=0=0例例4 4：求经过两条直线：求经过两条直线x+2yx+2y1=01=0和和2x2xy y7=07=0的交点，的交点，且垂直于直线且垂直于直线x+3yx+3y5=05=0的直线方程。的直线方程。解法一：解方程组解法一：解方程组x+2y1=0，2xy7=0得得x=3y=1这两条直线的交点坐标为（这两条直线的交点坐标为（3，-1）又又直线直线x+2y5=0的斜率是的斜率是1/3所求直线的斜率是所求直线的斜率是3所求直线方程为所求直线方程为y+1=3（x3）即）即 3xy10=0解法二：所求直线在直线系解法二：所求直线在直线系2xy7+（x+2y1）=0中中经整理，可得（经整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =32+21解得解得 =1/7因此，所求直线方程为因此，所求直线方程为3xy10=0例例5求证：不论求证：不论m取何实数，直线取何实数，直线(2m1)x(m+3)y(m11)=0恒过一个恒过一个定点，并求出此定点的坐标定点，并求出此定点的坐标.1）对对于直于直线线l1:A1x+B1y+C1=0 ，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C10,A2B2C20),有方程有方程组组 小结：小结：2）过交点的直线系）过交点的直线系经过两相交直线经过两相交直线l1 1:A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和l2 2:A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线系方程可表示的交点的直线系方程可表示m(Am(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n(A)+n(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0或或A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+（A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2）=0=0
