吉林大学弹性理论第三章.ppt

第三章应变分析第三章应变分析31 位移与应变、几何方程位移与应变、几何方程32 一点应变状态、应变张量一点应变状态、应变张量33体积应变体积应变34应变球张量和应变偏量应变球张量和应变偏量35应变协调方程应变协调方程第三章应变分析第三章应变分析31 位移与应变几何方程位移与应变几何方程由于荷载的作用或者温度的变化，物体内各点在空间由于荷载的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就会产生的位置将发生变化，就会产生位移位移。一、位移一、位移第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移刚体位移。第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移变形位移。两种位移：两种位移：M（x，y，z）移动至）移动至M（x，y，z）在数学上，x，y，z必为x，y，z的单值连续函数 u=x-x=u（x，y，z）v=y-y=v（x，y，z）w=z-z=w（x，y，z）位移函数具有三阶连续导数 xzy点的位移为点的位移为MM二、应变二、应变对于微分单元体的变形，将分对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变正应变 二是棱边之间夹角的变化二是棱边之间夹角的变化（剪）切应变（剪）切应变 符号规定：符号规定：伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负直角变小为正，直角变大为负正应力正应力剪应力剪应力正应变正应变剪应变剪应变32 位移与应变的关系位移与应变的关系几何方程几何方程m点的坐标为点的坐标为(x，y）a点的坐标为点的坐标为(x+dx，y）b点的坐标为点的坐标为 (x，y+dy）变形前：变形前：变形后：变形后：m点的坐标为点的坐标为(x+u，y+v）a 点的坐标为点的坐标为(x+dx+u+微分增量微分增量，y+v+微分增量微分增量）b 点的坐标为点的坐标为 (x+u+微分增量微分增量，y+dy+v+微分增量微分增量）则，则，a点的位移为：点的位移为：b点的位移为：点的位移为：同理：同理：上式为正应变的几何方程上式为正应变的几何方程同理：同理：上式为剪应变的几何方程上式为剪应变的几何方程这六式为几何方程（柯西方程）这六式为几何方程（柯西方程）四、转角方程四、转角方程33 一点应变状态、应变张量一点应变状态、应变张量一、应变张量一、应变张量与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量 二、应变坐标转换式二、应变坐标转换式新旧坐标轴之间的新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦夹角的方向余弦 同应力转换一样，得到：同应力转换一样，得到：三、主应变及应变张量不变量三、主应变及应变张量不变量34体积应变体积应变单元体的体积：单元体的体积：变形后，体积：变形后，体积：则，体积应变：则，体积应变：34应变球张量和应变偏量应变球张量和应变偏量平均应变平均应变应变球张量应变球张量应变偏张量应变偏张量可得应变偏量的三个不变量：可得应变偏量的三个不变量：当取坐标轴为应变主轴时有：当取坐标轴为应变主轴时有：35应变协调方程应变协调方程首先从几何方程中消去位移分量，把首先从几何方程中消去位移分量，把几何方程的第一式和第二几何方程的第一式和第二式式分别对分别对x和和y求二阶偏导数，然后相加，并利用第四式，可得求二阶偏导数，然后相加，并利用第四式，可得 若将几何方程的第四，五，六式分别对若将几何方程的第四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏求一阶偏导数，然后四和六两式相加并减去第五式，则导数，然后四和六两式相加并减去第五式，则 上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程圣维南（圣维南（SaintVenant）方程。）方程。