南京空天大学工程力学课件4.ppt

61 61 横截面上的应力横截面上的应力62 62 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算63 63 斜截面上的应力斜截面上的应力64 64 拉（压）杆的变形和位移拉（压）杆的变形和位移65 65 拉（压）杆的应变能拉（压）杆的应变能66 66 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的 力学性能力学性能67 67 简单的拉、压超静定问题简单的拉、压超静定问题78 78 拉（压）杆接头的计算拉（压）杆接头的计算第六章第六章 拉拉 伸伸 和和 压压 缩缩 6-4 6-4 拉（压）杆的变形和位移拉（压）杆的变形和位移 一、变形一、变形 二、虎克定律二、虎克定律 三、横向变形系数（泊松比）三、横向变形系数（泊松比）四、位移四、位移一、变形一、变形纵向变形纵向变形横向变形横向变形纵向线应变纵向线应变横向线应变横向线应变正负号规定：正负号规定：伸长为正，缩短为负。伸长为正，缩短为负。二、虎克定律二、虎克定律 实验表明：实验表明：当材料在线性弹性范围内，拉（压）杆的当材料在线性弹性范围内，拉（压）杆的纵向变形与轴力和杆的原长成正比，而与横截面面积成反纵向变形与轴力和杆的原长成正比，而与横截面面积成反比，即比，即引入比例常数引入比例常数 虎虎 克克 定定 律律E：材料的杨氏材料的杨氏弹性模量弹性模量，其值与材料性质有关，由实，其值与材料性质有关，由实验测定，常用单位为验测定，常用单位为MpaMpa。将将 代入虎克定律，可得代入虎克定律，可得EA:抗拉（抗压）刚度抗拉（抗压）刚度或或 虎克定律虎克定律的又一表达式的又一表达式 当材料在线性弹性范围内，利用虎克定律便可由当材料在线性弹性范围内，利用虎克定律便可由正应力求得相应的线应变，或由线应变求得相应的正正应力求得相应的线应变，或由线应变求得相应的正应力。应力。实验表明：实验表明：当材料在线性弹性范围内，横向线应变和当材料在线性弹性范围内，横向线应变和纵向线应变之间保持纵向线应变之间保持一定一定的比例关系。的比例关系。设比值之绝对值为设比值之绝对值为 ，则有，则有 或或三、横向变形系数（泊松比）三、横向变形系数（泊松比）：材料的横向变形系数，或泊松比，是一个无量纲材料的横向变形系数，或泊松比，是一个无量纲 的量。其值与材料性质有关，由实验测定。的量。其值与材料性质有关，由实验测定。解：解：（1 1）作杆的轴力图）作杆的轴力图（2 2）计算每段杆的伸长）计算每段杆的伸长例例1：图示为一阶梯形钢杆，已知：图示为一阶梯形钢杆，已知：钢杆的弹性模量钢杆的弹性模量 。试求：。试求：（1）每段杆的伸长（纵向变形）；）每段杆的伸长（纵向变形）；（2）每段杆的纵向线应变；）每段杆的纵向线应变；（3）整个杆的总伸长。）整个杆的总伸长。小变形小变形（3 3）计算每段杆的纵向线应变）计算每段杆的纵向线应变（4 4）计算整个杆的总伸长）计算整个杆的总伸长CDBCABLLLLD+D+D=Dmm025.0-=例例2 2：图示为一吊架结构的计算简图。：图示为一吊架结构的计算简图。CACA是钢杆，横截面是钢杆，横截面面积面积 ，弹性模量，弹性模量 ；DBDB是铜杆，是铜杆，横截面面积横截面面积 ，弹性模量，弹性模量 。设水平梁设水平梁ABAB的刚度很大，其变形可忽略不计的刚度很大，其变形可忽略不计解：解：（1 1）求两吊杆的轴力）求两吊杆的轴力 取梁取梁ABAB为研究对象，由为研究对象，由平衡条件可得平衡条件可得分析！分析！。（。（1 1）现欲）现欲使吊杆变形之后，梁使吊杆变形之后，梁ABAB仍保持水平，求荷载离仍保持水平，求荷载离DBDB杆的距离杆的距离x x。（。（2 2）在上述条件下，欲使水平梁的竖向位移不超过在上述条件下，欲使水平梁的竖向位移不超过2mm2mm，求荷载求荷载P P的最大值。的最大值。（2 2）求两吊杆的变形）求两吊杆的变形（3 3）求）求 x x 欲使梁欲使梁ABAB保持水平，则要求保持水平，则要求A A点和点和B B点的竖向位点的竖向位移相等，也就是要求两吊杆的变形相同。移相等，也就是要求两吊杆的变形相同。即即解得解得（4 4）求荷载的最大值）求荷载的最大值将将x x代入，得代入，得欲使欲使即有即有例例3 3：图示为一等截面直杆，已知杆长：图示为一等截面直杆，已知杆长L L，横截面面积横截面面积A A，材料容重材料容重 ，弹性模量，弹性模量E E。试求由自重引起的横截面上的试求由自重引起的横截面上的正应力和杆的总伸长。正应力和杆的总伸长。解：解：（1 1）计算轴力并作轴力图）计算轴力并作轴力图 作横截面作横截面m-mm-m，设距下端为设距下端为x x，并取下并取下面杆段为研究对象，则有面杆段为研究对象，则有即轴力随截面位置而线性变化，轴力图如即轴力随截面位置而线性变化，轴力图如图所示。且图所示。且（2 2）计算横截面上的正应力）计算横截面上的正应力（3 3）计算杆的总伸长）计算杆的总伸长 取长为取长为dxdx的微段作为研究对象，画出的微段作为研究对象，画出受力图。受力图。如果略去高阶微量，则微段的如果略去高阶微量，则微段的轴力就为常量。于是微段的伸长为轴力就为常量。于是微段的伸长为整个杆的总伸长为整个杆的总伸长为或：或：结论：结论：等直杆由自重引起的伸长，等于将自重作为集中荷等直杆由自重引起的伸长，等于将自重作为集中荷载作用于杆端时所引起的伸长的一半。载作用于杆端时所引起的伸长的一半。说说 明明 公式公式 仅适用于横截面面积和轴力均为常仅适用于横截面面积和轴力均为常量的情况。量的情况。当杆件轴力沿轴线变化或（和）横截面沿轴线平缓变当杆件轴力沿轴线变化或（和）横截面沿轴线平缓变化时，应用下式计算杆件的变形。化时，应用下式计算杆件的变形。6-5 6-5 拉（压）杆内的应变能拉（压）杆内的应变能 一、应变能的概念一、应变能的概念 二、拉（压）杆内的应变能二、拉（压）杆内的应变能 三、拉（压）杆内的比能三、拉（压）杆内的比能 一、应变能的概念一、应变能的概念 固体（这里仅讨论固体（这里仅讨论弹性体弹性体）在外力作用下，因）在外力作用下，因变形变形而而储存的能量称为储存的能量称为应变能应变能或或变形能变形能。二、拉（压）杆内的应变能二、拉（压）杆内的应变能 U 当荷载由当荷载由0 0缓慢增至缓慢增至P P，则荷载所作总功为则荷载所作总功为 如果忽略动能（荷载缓慢增加）、热能等能量，则根如果忽略动能（荷载缓慢增加）、热能等能量，则根据能量守恒原理据能量守恒原理 ，可得杆件内的应变能可得杆件内的应变能 若杆件轴力和刚度均为常量，则由虎克定律，上式又若杆件轴力和刚度均为常量，则由虎克定律，上式又可改写为可改写为说说 明：明：（1 1）适应范围：适应范围：材料在线性弹性范围内。否则，公材料在线性弹性范围内。否则，公式中的系数就不是式中的系数就不是 。（2 2）单位：单位：焦耳（焦耳（J J）。）。mNJ=11复习复习 一一一一.拉（压）杆的变形计算公式为拉（压）杆的变形计算公式为拉（压）杆的变形计算公式为拉（压）杆的变形计算公式为 变形与轴力的一次方成正比变形与轴力的一次方成正比。当轴力为拉力时，。当轴力为拉力时，变形为拉伸变形（杆段伸长）；当轴力为压力时，变形为拉伸变形（杆段伸长）；当轴力为压力时，变形为压缩变形（杆段缩短）。因此，整个杆件的变形为压缩变形（杆段缩短）。因此，整个杆件的总伸长应为各杆段变形的总伸长应为各杆段变形的代数和代数和。二二二二.拉（压）杆的应变能计算公式拉（压）杆的应变能计算公式拉（压）杆的应变能计算公式拉（压）杆的应变能计算公式 应变能与轴力的二次方成正比应变能与轴力的二次方成正比。不管轴力为。不管轴力为拉力还是为压力，都存储应变能，且整个杆件（系拉力还是为压力，都存储应变能，且整个杆件（系统）内的应变能应为各杆段（杆件）内应变能的统）内的应变能应为各杆段（杆件）内应变能的和和。1 1、比能的定义、比能的定义 单位体积内所存储的应变能。单位体积内所存储的应变能。2 2、计算公式、计算公式当当N N和和A A均为常量即应力均匀均为常量即应力均匀三、拉（压）杆内的比能三、拉（压）杆内的比能 3 3、单位：、单位：例例5 5：试求例：试求例2 2中托架系统内的应变能及外力所作的功。中托架系统内的应变能及外力所作的功。解：解：（1 1）先求系统内的应变能）先求系统内的应变能由例由例2 2得知得知代入得代入得（2 2）再求外力作功）再求外力作功由例由例2 2得知得知故有故有 由此可见，外力作功等于杆件系统内的应变能，满足由此可见，外力作功等于杆件系统内的应变能，满足能量守恒原理能量守恒原理 。反过来，我们也可以在求得应变能的基础上，利用反过来，我们也可以在求得应变能的基础上，利用 ，求位移。，求位移。能量法能量法 例例6 6：图示为一简易起重机。：图示为一简易起重机。BDBD杆为无缝钢管，外径杆为无缝钢管，外径90mm90mm，壁厚壁厚2.5mm2.5mm，杆长杆长 。弹性模量弹性模量 。BCBC是两条横截面面积为是两条横截面面积为172 172 的钢索，的钢索，弹性模量弹性模量 。若不考虑立柱的变形，试求。若不考虑立柱的变形，试求B B点的垂直点的垂直位移。设位移。设P=30kNP=30kN。解：解：（1 1）计算）计算钢索和杆钢索和杆的长度和面积的长度和面积由几何关系求得由几何关系求得（2 2）计算）计算钢索和杆钢索和杆的轴力的轴力 取节点取节点B B为研究对象，由平衡条件可得为研究对象，由平衡条件可得（3 3）计算系统的应变能）计算系统的应变能（4 4）计算位移）计算位移例例7 7：图示为一等直杆，其抗拉（压）刚度为：图示为一等直杆，其抗拉（压）刚度为EA,EA,受力情况受力情况如图所示。如图所示。问题一问题一总伸长是否为总伸长是否为？问题二问题二应变能是否为应变能是否为？问题三问题三 若若 ，（常量），则应变能的（常量），则应变能的最大值和最小值分别为多少？最大值和最小值分别为多少？当当 时：时：当当 时：时：作作 业：业：P119120 713 715（1）718 L L由于由于B点固定，点固定，A点的位移即点的位移即 。说明：说明：（1）若求得杆段的纵向变形为正，则该杆段伸长；反）若求得杆段的纵向变形为正，则该杆段伸长；反之，该杆段缩短。之，该杆段缩短。如：如：ABAB段伸长，段伸长，BCBC段缩短，整个杆也是缩短的。段缩短，整个杆也是缩短的。（2）杆段的纵向变形也就是该杆段两个端截面之间的）杆段的纵向变形也就是该杆段两个端截面之间的相对纵向位移相对纵向位移。（相互离开）相互离开）（相互靠拢）相互靠拢）思考：思考：如何求某截面的如何求某截面的绝对纵向位移绝对纵向位移？四、位移四、位移1、定义、定义 杆件各截面（或点）位置的杆件各截面（或点）位置的移动移动称为位移。称为位移。2、与变形的关系、与变形的关系 位移和变形既有联系，又有区别。位移和变形既有联系，又有区别。位移可分为位移可分为绝对位移绝对位移和和相对位移相对位移。相对位移就等于变形，而绝对位移除变形外，还与相对位移就等于变形，而绝对位移除变形外，还与杆件的外部约束有关。杆件的外部约束有关。例例2：图示为一简单托架。：图示为一简单托架。BC杆为圆钢，直径杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为杆为 8号槽钢。已知：号槽钢。已知：。试求试求B点的位移。点的位移。解：解：（1 1）求两杆轴力）求两杆轴力取节点为研究对象，有取节点为研究对象，有（2 2）求两杆变形）求两杆变形262101024mA-=（3 3）求）求B B点的位移点的位移 假想将托架在节点假想将托架在节点B B处拆处拆开，并使开，并使CBCB杆伸长杆伸长 至至 ，DBDB杆缩短杆缩短 至至 。因。因变形微小，故在变形微小，故在 点作点作 的的垂线，在垂线，在 点作点作 的垂线，的垂线，两垂线之交点两垂线之交点 即为点即为点B B变形变形后的位置，后的位置，即为所求位移。即为所求位移。B B点的水平位移点的水平位移B B点的竖直位移点的竖直位移B B点的位移点的位移m31056.1-=231213)()(BBBBBB+=mmm78.11078.13=-