第7章分子动理论.ppt

大学物理大学物理物理电子学院 吴 昊1注意事项注意事项1.成绩构成：平时成绩构成：平时20%，期中，期中20%，期末，期末60%2.习题册：第二周周三（习题册：第二周周三（9月月12日）日）9:00-17:00，清水河文印中心，清水河文印中心，8元元/册，按行政班购买。册，按行政班购买。3.作业：第三周开始，每周一交。作业和出勤作业：第三周开始，每周一交。作业和出勤计入平时分，平时分过低的将取消考试资格。计入平时分，平时分过低的将取消考试资格。4.答疑：周一二三五晚上，第三周开始，详情答疑：周一二三五晚上，第三周开始，详情见教务处通知。见教务处通知。2第第 7 章章（Fundamental of statistical mechanics)统计物理初步统计物理初步热热 学学(Thermodynamics)3 热力学热力学宏观基本实验规律宏观基本实验规律热现象规律热现象规律逻辑推理逻辑推理特点：特点：普遍、可靠，但不知物理本质普遍、可靠，但不知物理本质 统计力学统计力学对微观结构提对微观结构提出模型、假设出模型、假设统计方法统计方法热现象规律热现象规律特点：特点：可揭示本质，但受模型局限。可揭示本质，但受模型局限。热学热学 研究热现象的规律研究热现象的规律及其应用的学科。及其应用的学科。47.1 热力学系统热力学系统 平衡态平衡态 一一.热力学系统热力学系统 大量微观粒子的集合大量微观粒子的集合热力学系统热力学系统 与外界完全隔绝与外界完全隔绝(即与外界没有质量和能量即与外界没有质量和能量交换交换)的系统，称为的系统，称为孤立系统孤立系统。与外界没有质量交换和但有能量交换的系统，与外界没有质量交换和但有能量交换的系统，称为称为封闭系统封闭系统。与外界既有质量交换又有能量交换的系统，与外界既有质量交换又有能量交换的系统，称为称为开放系统开放系统。二二.状态参量状态参量 根据描述对象的不同分为根据描述对象的不同分为宏观宏观量量和和微观量微观量。如如 P、V、T 等等（广延量和强度量）（广延量和强度量）5 不同于系统受恒定外界不同于系统受恒定外界影响所达到的定态。影响所达到的定态。气体气体处于平衡态的标志是处于平衡态的标志是P、V、T各具有各具有确确定定的一个量值的一个量值。如如孤立容器中的孤立容器中的气体气体不论初始情况如何，总不论初始情况如何，总能达到各处能达到各处 、P、T相同相同的平衡态的平衡态。三三.平衡态平衡态 在在不受外界影响不受外界影响的条件下，系统的所有的条件下，系统的所有宏观宏观性质性质不随时间变化的状态不随时间变化的状态,称为称为平衡态平衡态。由此引入温度参量由此引入温度参量热力学第零定律热力学第零定律温度是描述系统平衡态内禀属性的热学参量温度是描述系统平衡态内禀属性的热学参量6 一一.理想气体的状态方程理想气体的状态方程 严格遵守四条定律严格遵守四条定律(玻意耳定律、盖玻意耳定律、盖-吕萨克定吕萨克定律、查理定律和阿伏伽德罗定律律、查理定律和阿伏伽德罗定律)的气体，称为的气体，称为理想理想气体气体。压强越低压强越低,温度越高温度越高,实际气体越接近理想气体。实际气体越接近理想气体。理想气体的状态方程理想气体的状态方程:7.2 理想气体理想气体 压强和温度的统计意义压强和温度的统计意义 适用条件适用条件:理想气体理想气体 平衡态平衡态7玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量 k=R/NA=1.3810-23 (JK-1)R=8.31 (Jmol-1K-1)理想气体状态方程又可写为理想气体状态方程又可写为 pV=NkT式中：式中：n=N/V分子的数密度。分子的数密度。或或 p=nkT m分子分子质量质量,N 气体分子数气体分子数8=2.691025(个个/m3)例题例题7.2.1 估算在标准状态下，每立估算在标准状态下，每立方厘米的空气中有多少个气体分子。方厘米的空气中有多少个气体分子。解解 由公式：由公式：p=nkT 标准状态标准状态:p=1atm=1.013105Pa,T=273K=2.691019(个个/cm3)k=1.3810-23 (JK-1)9 解解 抓住：分子个数的变化，用抓住：分子个数的变化，用 pV=NkT求解求解。使用完后瓶使用完后瓶中中氧气的分子个数氧气的分子个数:每天用的氧气分子个数每天用的氧气分子个数:能用天数：能用天数：未使用前瓶未使用前瓶中中氧气的分子个数氧气的分子个数:例题例题7.2.2 氧气瓶氧气瓶(V=32l)压强由压强由p1=130atm降降 到到p2=10atm时就得充气。每天用时就得充气。每天用1atm、40 l 氧气氧气,一瓶能用几天一瓶能用几天?(设使用中温度保持不变设使用中温度保持不变)10初态初态,定态定态。对对dM:可视为平衡态可视为平衡态 例题例题7.2.3 金属管下端封闭金属管下端封闭,上端开口。加热上端开口。加热 到下端到下端T1=1000K，上端，上端T2=200K，设，设 温度沿温度沿 管长均匀变化。后停止加热、封闭开口端，管长均匀变化。后停止加热、封闭开口端，冷却到冷却到TE=100K,求管内压强求管内压强(设大气压为设大气压为po)。dxxdM.LS末态末态,平衡态平衡态。x解解11dxxdM.LSx120.2po最后得最后得 末态末态:封闭开口端，使管子冷却到封闭开口端，使管子冷却到TE=100K，求管内压强。求管内压强。dxxdM.LSx13 每个分子的力学性质每个分子的力学性质（1）大小）大小：分子线度：分子线度分子间平均距离；分子间平均距离；（2）分子力）分子力：除碰撞的瞬间，分子之间、：除碰撞的瞬间，分子之间、分子与器壁之间无作用力；重力也可忽略；分子与器壁之间无作用力；重力也可忽略；（3）碰撞性质）碰撞性质 弹性碰撞；弹性碰撞；（4）服从规律）服从规律 牛顿力学。牛顿力学。二二.理想气体的微观模型理想气体的微观模型也即：极小的彼此无相互作用的弹性分子小球也即：极小的彼此无相互作用的弹性分子小球14 大量分子的统计假设（对平衡态）大量分子的统计假设（对平衡态）（2）由于碰撞，分子可以有各种不同的速度，）由于碰撞，分子可以有各种不同的速度，（1）无外场时，分子在各处出现的概率相同；）无外场时，分子在各处出现的概率相同；速度取向各方向概率相同，即：速度取向各方向概率相同，即：注意：注意：统计规律有涨落统计规律有涨落（fluctuation），），统计对象的数量越大，涨落越小。统计对象的数量越大，涨落越小。15三三.理想气体的压强公式理想气体的压强公式 单位时间内与单位时间内与面积面积s碰撞的碰撞的分子数分子数=斜柱体中的斜柱体中的分子数：分子数：ni ixs 一个分子碰撞一次给器壁一个分子碰撞一次给器壁A的冲量：的冲量：2m ix 设分子质量为设分子质量为m,分子数密度为分子数密度为n,而速度为而速度为 的分的分子数密度为子数密度为ni。理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于器壁的器壁的压强压强，是，是大量分子对器壁不断碰撞大量分子对器壁不断碰撞的结果。的结果。.xA i ixs iy ix izm16 单位时间内给单位时间内给面积面积s的的冲量就为：冲量就为：2smni ix2 对各种速度求和，得单对各种速度求和，得单位时间内给位时间内给面积面积s的总的总冲量冲量平均平均冲力冲力:单位时间内与单位时间内与面积面积s碰撞的分子数：碰撞的分子数：ni ixs 一个分子碰撞一次给一个分子碰撞一次给A面的冲量：面的冲量：2m ix 压强压强:.xA i ixs iy ix izm17（平均来说，（平均来说，ix 0和和 ix 0的分子各占一半）的分子各占一半）.xA i ixs iy ix izm18理想气体的压强公式理想气体的压强公式：气体分子的气体分子的平均平动动能平均平动动能令令19四四.温度的统计意义温度的统计意义从以上两式消去从以上两式消去p可得分子的可得分子的平均平动动能平均平动动能为为 可见，可见，温度是分子平均平动动能的量度温度是分子平均平动动能的量度。这就。这就是温度的统计意义。是温度的统计意义。应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现,只具有统计意义；对于单个分子，说它有温度是没只具有统计意义；对于单个分子，说它有温度是没有意义的。有意义的。因因 p=nkT，20五五.混合气体内的压强混合气体内的压强 道尔顿分压定律道尔顿分压定律于是有于是有 p=p1+p2+pn 这就是说，这就是说，总压强等于各气体分压强之和，这总压强等于各气体分压强之和，这就是道尔顿分压定律。就是道尔顿分压定律。设容器内有设容器内有多多种气体，种气体，n=n1+n2+ni+nn,其中其中ni是第是第i种气体的分子数密度种气体的分子数密度,由压强公式有由压强公式有21解解 由压强公式：由压强公式：所以所以=8.28 10-21J又又，所以，所以温度：温度：=400K 例题例题7.2.4 容器容器:p=2.76105pa，V=1m3，N1=11025个个氧分子，氧分子，N2=41025 个个氮分氮分子，求分子的平均平动动能及混合气体的温度。子，求分子的平均平动动能及混合气体的温度。(10-2eV量级量级)227.3 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 确定它的质心确定它的质心,要要3个平动自由度，个平动自由度，确定连线，确定连线，要要2个转动自由度；个转动自由度；所以共有所以共有5个自由度。个自由度。C 一一.气体分子的自由度气体分子的自由度 自由度自由度确定一个物体在空间的位置所需的独立坐确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标个数。标个数。单原子气体分子单原子气体分子 可视为质点可视为质点,确定它在空间的位置需确定它在空间的位置需3个独立坐标，个独立坐标，故有故有3个平动自由度。个平动自由度。刚性双原子气体分子刚性双原子气体分子23C非刚性双原子气体分子非刚性双原子气体分子 多原子气体分子多原子气体分子(原子原子数数n 3)刚性刚性:6个自由度个自由度(3个平动自由度个平动自由度,3个转动自由度个转动自由度);非刚性：有非刚性：有3n个自由度，其中个自由度，其中3个是平动，个是平动，3个是转个是转动，其余动，其余3n-6是振动。是振动。在在常常温温下下，气气体体可可视视为为刚刚性性分分子子，所所以以只只考考虑虑平平动动自自由由度度和和转转动动自自由由度度；但但在在高高温温时时，则则要要视视为为非非刚刚性性分子，还要考虑振动自由度。分子，还要考虑振动自由度。确定质心确定质心,要要3个平动自由度，个平动自由度，确定连线，确定连线，要要2个转动自由度；个转动自由度；确定沿连线的振动，要确定沿连线的振动，要1个振动自由度，个振动自由度，所以共有所以共有6个自由度。个自由度。24根根据据量量子子理理论论，分分子子能能量量是是分分立立的的，且且t、r、s的能级间距不同。的能级间距不同。振动能级间隔大振动能级间隔大转动能级间隔小转动能级间隔小平动能级连续平动能级连续一般情况下（一般情况下（T 的粒子数。的粒子数。C247o of()C2N所以所以f()的粒子数的粒子数:C2(2)处在处在f()的粒子数的粒子数:C2487.5 玻耳兹曼分布定律玻耳兹曼分布定律1.玻耳兹曼能量分布律玻耳兹曼能量分布律式中式中:no表示势能表示势能EP为零处单位体积中的分子数，为零处单位体积中的分子数，E=Ek+Ep是分子的总能。是分子的总能。特点：几率因子特点：几率因子 决定着分子的分布。决定着分子的分布。在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子处在的平衡态下，气体分子处在坐标坐标区间区间(x x+dx,y y+dy,z z+dz)和和速度区间速度区间(x x+d x,y y+d y,z z+d z)内的分子数为内的分子数为对比对比49 由于由于E2 E1,所以所以N2N1。即：通常温度的平衡态下，处于低能态的分子即：通常温度的平衡态下，处于低能态的分子数总是多于处于高能态的分子数。也就是说，按统数总是多于处于高能态的分子数。也就是说，按统计分布来看，分子总是优先占据能量较低的状态。计分布来看，分子总是优先占据能量较低的状态。这叫这叫正常分布正常分布。设处于能态设处于能态E1,E2(E1 E2)上的分子数上的分子数 分别为分别为N1，N2，根据根据玻耳兹曼分布律，有玻耳兹曼分布律，有50 例例 对对H原子：原子：（n=1,2,3,）按量子理论，原子能级是分立的。按量子理论，原子能级是分立的。（取室温（取室温 T=300K）即即在在室室温温的的平平衡衡态态下下，原原子子基基本本都都处处于于基基态态，而而处于激发态的极少。处于激发态的极少。提高温度提高温度激发态增多激发态增多跃迁增多跃迁增多辐射（光）辐射（光）51+坐标坐标区间区间(x x+dx,y y+dy,z z+dz)内的分子数内的分子数:2.重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布 由速度分布的归一化条件由速度分布的归一化条件52两边除以两边除以dxdydz，并，并将将Ep=mgz代入得代入得压强：压强：上式称为上式称为等温气压公式等温气压公式。Po=nokT为为z=0处的压处的压强。将上式取对数强。将上式取对数,可得可得53 解：一般取海平面处气压为解：一般取海平面处气压为760mmHg代入代入R=8.31,T=290,=28.910-3,g=9.8,得得Z=1670 m 例例7.5.1 测得黄山玉屏楼气压为测得黄山玉屏楼气压为625mmHg，气温气温17 C，空气的平均摩尔质量，空气的平均摩尔质量=28.9 10-3 kg mol-1，气温恒定。，气温恒定。求：此处海拔高度。求：此处海拔高度。登山时可用气压计来估算高度，就是这个原理登山时可用气压计来估算高度，就是这个原理54*7.6 量子统计分布简介量子统计分布简介(自学自学)分立能级分立能级 微观粒子不可区分微观粒子不可区分 内禀角动量（自旋）内禀角动量（自旋）波色子和费米子波色子和费米子 波色波色-爱因斯坦统计爱因斯坦统计 费米费米-狄拉克统计狄拉克统计 波色波色-爱因斯坦凝聚、超流爱因斯坦凝聚、超流557-7 分子碰撞与平均自由程分子碰撞与平均自由程(P322:9.2.1)分分子子热热运运动动的的重重要要特特点点之之一一是是分分子子间间存存在在频频繁繁的的碰碰撞撞(每每秒秒钟钟要要碰碰撞撞约约上上百百亿亿次次！)，结结果果使使分分子子走过一条艰难曲折的道路。走过一条艰难曲折的道路。56式中：式中：d为分子的有效直径，为分子的有效直径，n为分子数密度。为分子数密度。自由程自由程分子在连续的两次碰撞之间分子在连续的两次碰撞之间,作惯性作惯性支配的自由运动所通过的路程。支配的自由运动所通过的路程。平均自由程平均自由程 自由程的平均值。自由程的平均值。平均碰撞频率平均碰撞频率 每个分子在每个分子在1秒内与其秒内与其 他分子的平均碰撞次数。他分子的平均碰撞次数。57解解 (1)=5105pa(2)=445=170108(次次/秒秒)=每秒每秒170亿次！亿次！例例7.7.1 氧分子氧分子有效直径有效直径d=2.610-10m,27C时时 =2.6 10-8m，求：，求：(1)压强压强p=?(2)平均碰撞频率。平均碰撞频率。58