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第十章第十章 联立方程组模型联立方程组模型 本章要解决的主要问题：本章要解决的主要问题：1、为什么要引入联立方程组模型（经济背景；计量经济问题）；2、联立方程组模型的识别问题；3、联立方程组模型的估计。前述的“单一方程模型”中只含一个被解释变量（如Y）和一个（或多个）解释变量（如X）。其特征：解释变量是被解释变量（如Y）变化的原因，是单向的因果关系。然而，经济现象复杂，相互间关系可能是互为因果关系，或一果多因，或一因多果，很难用单一方程完整地加以表达。为了能真实地描述客观实际，-。第一节第一节 联立方程组模型概述联立方程组模型概述 一、联立方程组模型的例子一、联立方程组模型的例子联立方程模型：由多个相互联系的单一方程组成的方程组（每个单一方程中包含一个或多个相互关联的内生变量（模型求解的结果）。其中：Ct=消费支出；It=投资额；Gt=政府购买支出 例1 一个小型的宏观计量经济模型。如：I Y；Y C；C Y；Y I 该模型除了随机扰动项外，共有4个经济变量，作为整体考虑时，会发现复杂的因果关系。经济变量之间的相互影响只有在联立方程组模型联立方程组模型中才能体现出来。例例2 需求供给函数需求供给函数（其中：（其中：P=价格价格 Q=销售量）销售量）由经济学知：由经济学知：“需求需求”一般沿着与一般沿着与“价格价格”变化相反的方向变化变化相反的方向变化即需求函数的一阶导数小于零，即即需求函数的一阶导数小于零，即“供给供给”是是“价格价格”的函数的函数即需求函数的一阶导数大于零，即即需求函数的一阶导数大于零，即 供需平衡供需平衡：商品的价格与价值相符（价格稳定在供给量与需求量相等的某一：商品的价格与价值相符（价格稳定在供给量与需求量相等的某一水平上。如图水平上。如图a)的的P0、Q0的交点）；的交点）；供不应求供不应求：价格上涨，高于其价值。供给会增加，需求会减少；：价格上涨，高于其价值。供给会增加，需求会减少；供过于求供过于求：价格下跌，甚至低于其价值。供给会减少，需求会增加；：价格下跌，甚至低于其价值。供给会减少，需求会增加；注：供需规律的本质是价值规注：供需规律的本质是价值规律。但在逻辑上律。但在逻辑上“供需规律供需规律”先于先于“价值规律价值规律”。“价值规律价值规律”通过通过“供供需规律需规律”的作用来实现。的作用来实现。QPQ0P0D0Sa)S QPD0D1Q0Q1P0P1 例3 凯恩斯的收入决定模型其中：Ct=消费支出；Yt=收入；It=投资(假设是外生变量)；St=储蓄 二、联立方程组模型的二、联立方程组模型的变量变量和和模型的分类模型的分类(一）变量 1、内生变量：内生变量即受模型中其它内生变量和前定变量的影响，同时又影响其它内生变量，是共同依赖的变量（其值是模型求解的结果）。2、前定变量（包括：外生变量、滞后的内生变量）一般:a）内生变量是具有某种概率分布的随机变量，且与随机扰动 项总是相关的b)方程个数等于内生变量的个数（有唯一解的必要条件）。（思考：若方程个数不等于内生变量的个数，结果会如何？）1）外生变量：是由系统外部决定的变量，一般为非随机变量。它对模型中的内生变量有影响，但它不受模型任何变量的影响。2）滞后的内生变量（由于在时间 t 滞后内生变量的数据已确知，因而把外生变量和滞后内生变量作为前定变量处理）。例如：1、Ct=消费支出；It=投资额；G t=政府购买支出Ct是一个内生变量（Ct受Yt影响，同时又影响着Yt）Yt是一个内生变量（Yt受It、G t的影响，同时又影响着It）It是一个内生变量（It受 Yt、Yt-1的影响，同时又影响着Yt）滞后内生变量Yt-1、外生变量G t（统称前定变量）2、（P205例1）3、凯恩斯的收入决定模型其中：Ct=消费支出；Yt=收入；It=投资(假设是外生变量)；St=储蓄 Ct、Yt是内生变量4、克莱茵模型（克莱茵教授1950年建立的宏观经济计量模型）：C消费支出;I 投资额;P私有部门利润;Y均衡需求;K期末资本存量;私人企业工资额;政府部门工资;G政府购买支出;T间接税；A时间变量 六个内生变量：C、I、P、Y、K、三个外生变量：一个时间变量：A、G、T三个滞后变量：Pt-1、Kt-1、Yt-1 注1：内生变量与外生变量是相对而言的，某一个经济变量究竟是内生、或是外生变量，应依研究的目的而定。注2：设 Xt 为外生变量，由于 Xt 非随机，它与随机扰动项不相关，即 单一方程因果关系简单；联立方程组模型中，因果关系复杂，某一变量在一个方程中作为被解释变量，在另一方程中又可能作为解释变量，故需要进行分类。*按方程是否含有随机项分为：随机方程；确定性方程 *按模型对象的行为方式和性质分为：行为方程、技术方程、制度方程和恒等式（P11-12）*以变量间的联系形式作为标准，分为：（二）联立方程组模型的分类 1、结构式模型：是、结构式模型：是描述经济变量结构或经济主体的行为（关系）的模型（结构方程的系数称为结构参（系）数）。特点：1）结构方程的经济意义明确（对经济变量之间真实结构关系作出的直接表达）。例（前述例1）Ct=消费支出；It=投资额；G t=政府购买支出方程（1）表示：消费支出是当期国内生产总值和随机误差项的函数；方程（2）表示：投资额是当期、滞后一期国内生产总值和随机误差项的函数；方程（3）表示：国内生产总值是消费支出、投资额、政府购买支出的函数；2）每个结构方程中的解释变量可以是前定变量（外生变量、滞后的内生变量变量）、也可以是内生变量（当内生变量做解释变量时，会造成解释变量与随机扰动项之间相关，违背了基本假定。此时直接用OLS估计参数，参数估计是有偏、且不一致的（即：产生了联立方程偏倚）稍后再证明。3）结构参数表示解释变量对被解释变量的直接影响。（它们之间的间接关系（影响）只能通过解方程才能取得）注：结构型模型中：方程个数与内生变量变量个数相同，则称结构型模型为“完备方程组（模型）”（完备式方程组（模型）是存在唯一解的必要条件）。矩阵形式矩阵形式：则结构式模型的则结构式模型的一般形式一般形式为：为：Ct=消费支出；It=投资额；G t=政府购买支出；例：将模型写成矩阵形式矩阵形式（二）简化式模型1、简化式模型：把结构式模型中的每一个内生变量表示成前定变量和随机项的函数（简化式模型中的系数称为简化式参数，用表示）。2、简化式方程的构成途径 （1）直接列出模型的简化式（2）由结构式方程导出由得令 则化为简化式模型：消费函数 收入衡等式 即有：例：即：但“简化式模型（方程）”看不出明确的经济关系，无法说明具体的经济行为方式。但解释变量只是前定变量，与扰动项目不相关，可用OLS估计参数。且估计量为无偏、一致估计。其想法（启示）：能否先用OLS估计简化式模型中的参数？再利用简化式参数与结构的一组关系式，在一定条件下导出结构模型中的参数。简化式模型的特点：1、每个简化式方程中，内生变量都是前定变量和随机项的函数 2、简化式参数表示前定变量变化对内生变量的直接影响和间接影响的总度量。例如：第一项1，代表投资 I 对收入Y的直接影响(由(2)式可知)；个单位，这种变化又将由C直接影响Y，使Y产生变化。（投资对收入的间接影响）。第二项，由(3)式可知，I 增加一个单位，将使消费支出C 增加 （三）递归模型（是结构式模型的特例）三、联立方程组模型的问题三、联立方程组模型的问题 （由于在结构式模型中，内生变量可能以（由于在结构式模型中，内生变量可能以被解释变量和解释变量双重身份同时出现，因而存在计量经济学方面的问题）被解释变量和解释变量双重身份同时出现，因而存在计量经济学方面的问题）联立方程组模型中联立方程组模型中参数估计量参数估计量的的有偏性和不一致性有偏性和不一致性称为称为”联立联立性偏倚性偏倚”.(是由问题是由问题(一一)引起的引起的)。例：用最简单的消费函数模型进行讨论例：用最简单的消费函数模型进行讨论其中：随机干扰其中：随机干扰满足满足（一）（一）解释变量与随机项之间相关解释变量与随机项之间相关；（二）（二）参数估计是有偏的；参数估计是有偏的；（三）（三）估计量是不一致的。估计量是不一致的。在消费函数中Yt是内生变量 即：解释变量与随机项之间相关用最小二乘法对（1）估计，有即：参数估计是有偏的第二节第二节 联立方程组模型的识别联立方程组模型的识别 一、识别的概念 “结构式模型”违背了古典假定，不能直接用OLS估计；需化成“简化式模型”，即由化成（一）方程识别的定义 1、参数的关系体系定义：某个结构式方程的参数估计值，能由简化式参数估计值解出，称该方程可识别，否则不可识别的。结构参数求解情况识别状态不能求解（无解）不可识别有解（唯一解）恰好识别有解（不是唯一解）过度识别 2、统计形式定义：若被识别方程具有唯一的统计形式，则这个结构方程可以识别，否则不可以识别。方程有唯一的统计形式方程无唯一的统计形式可以识别不可以识别 有唯一的统计形式有唯一的统计形式：结构式模型的第 i 个方程，同模型中其余任何方程或任意线性组合的方程有不完全相同的内生变量或前定变量，称第 i 个方程有唯一的统计形式。（二）模型的识别 只有当联立方程组中每个方程都可以识别，该模型才是可以识别的，否则是不可识别的（由于恒等式和制度方程不含未知的待定参数，不存在识别问题。但在识别过程中，常借助它们进行变换）。（三）识别的分类 1、不可识别 例1：假设某种商品的供求关系如下：式中：解：方法1（关系体系定义，有无解？）；方程（1）、（2）表示为：以上结构式模型共有四个参数：简化式模型仅有二个参数：所以我们无法得到结构式模型的四个参数。因此这个供求模型是不可识别的。模型不能识别的原因很简单，因为需求方程与供给方程具有完全相同的形式（即没有唯一的统计形式）。也可以作如下讨论：(3)-(4)得(5)；(5)代入(3)，整理得（6）：方法2（统计形式定义，方程是否有唯一的统计形式？）首先作线性组合方程，设有任意的 方程（1）、（2）、（9）的内生变量（或前定变量）完全相同。统计形式上无法区别，没有唯一的统计形式，故模型不可识别。当有P、Q的一组样本资料，用OLS估计出的方程究竟是上述三个方程中的哪一个？例2：鉴于上述模型不能识别的原因，我们研究下面的模型：其中：因而模型不能识别。注：模型中有一个方程是可以识别的，即需求方程可以识别，它的参数可以由简化式参数唯一表出。但供给方程不可识别。方法2（统计形式定义，方程是否有唯一的统计形式？）首先作线性组合方程，设有任意的 方程（9）既不是需求函数，也不是供给函数，但它却与供给函数有相同的统计形式。由于供给函数没有唯一的统计形式，故供给方程不可识别。但需求方程可以识别。即：在模型中一个方程能否识别能否识别：看其是否不包含一个或多个模型中其它方程所包含的变量（如方程（1）没含（2）所含的变量Pt-1）。启示：在供给方程中增加了一个变量Pt-1，就能够利用简化方程求出需求方程的结构参数。根据这个启示，再研究下面模型的识别情况：例3、进一步，在需求方程上再加一个变量 I（收入）供给方程：需求方程：方程简化为：简化模型有六个参数，结构模型也有六个参数，所以结构参数可以通过简化式参数唯一确定。直观看：方程（1）没有含Pt-1，是否可识别；方程（2）没有含I，是否也可识别，果真如此吗？2、恰好识别、恰好识别由于方程(1)、（2）有唯一解（恰好识别）；模型可以识别。由方法2知：该模型的线性组合（混合）模型为：例4、因为居民财产R也是影响消费需求的一个重要变量，我们把它引入需求函数中，有如下的结构模型：容易看出，简化式模型有8个参数；而结构式模型仅有7个参数，故结构参数没有唯一解。方程简化为：即：供给方程过度识别。3、过度识别、过度识别该例的 借助简化模型可以确定某一结构方程的识别状态。然而，当方程个数很多时，使用这些方法十分费力。为此，需要给出识别规则二、识别的规则识别的规则 一个结构方程的识别状态，取决于这个方程是否具有唯一的统计形式（即取决于不包含在这个方程中，但包含在模型的其它方程中的变量个数。如果这类变量太少或太多都会产生识别困难）。从这个角度出发，可以得出识别的阶条件、秩条件。启示：如果一个结构方程能被识别，则这个方程不包含模型中的全部变量（即一定有若干个变量 被排除在这个方程之外）。定义1一般：（一）识别的阶条件（必要条件）：在有M个方程的联立方程组模型中一个方程能被识别，那么这个方程不包含的变量总数应该大于或等于模型中方程个数减一一个方程能被识别，那么这个方程没有包含的前定变量数应大于或等于该方程内生变量个数减一定义2 阶条件是一个必要条件，即模型中某个结构方程不满足阶条件，则 一定不可识别，即作结论（停止讨论）。满足阶条件的方程也可能是不可识别的（需要继续讨论）。阶条件的缺陷：阶条件要求方程不包含的变量总数应该大于或等于模型中的方程个数减一，以保证这个特定方程在统计形式上区别于模型中的其它方程。但阶条件并不能确保模型中另一个方程不会排除完全相同的变量，如果这种情况发生了，我们要识别的这个特定方程就不具有惟一的统计形式。（二）识别的秩条件（充分必要条件）：要求：某个特定方程中排除的变量出现在其它M-1个方程中，以保证模型中的其它方程或这些方程构成的混合方程与这个特定方程在统计形式上不同。定义：在由M个内生变量M个方程组成的联立方程组模型中，某一方程可以识别，当且仅当没包含的变量的参数组成的矩阵秩为M-1（或为（M-1）（M-1）的非零行列式）。第一步：把模型中所有方程（标准式）的参数列出 （列表或写成矩阵形式，得参数矩阵（）为：变量方程1 1-302-102 01-100-13 -111002变量方程1 1-302-10 0 1-100-1 3 -111002 第二步：划去所要识别的那个方程的参数。例如：要考察的是第二个方程，就划去第二行。2 再划去待识别方程中非零参数所在的列，剩下的就是不包含在该方程中，但包含在该模型其他方程中变量的参数。变量方程 Y1 Y2 Y3 X1 X2 X31 1-302-10 01-100-1 3 -1110022 第二个方程没包含的变量的参数组成的矩阵 的秩为：识别结构式模型的一般步骤：1、考察每个方程的阶条件阶条件 2、如果阶条件成立，还须考察每个方程的秩条件秩条件是否成立（若秩条件不成立，方程仍不可识别）。3、如秩条件成立，再根据阶条件考察方程是恰好或过度识别注：1）只有含随机误差项的方程才有识别问题（恒等式不存在）；2）只有当模型中的每一个方程都可识别，模型才可识别。1、用阶条件和秩条件判别各个方程的识别状态；2、联立方组模型是否可以识别？为什么？解：写出结构式模型（标准形式）的参数矩阵讨论第一个方程的识别情况：讨论第二个方程的识别情况：讨论第三个方程的识别情况：解：写出结构式模型（标准形式）的参数矩阵（M=3，K=3）；考察第一个方程的识别情况。（3）再根据阶条件考察，方程1是过度识别。再次强调：阶条件只是识别的是必要条件，满足阶条件的方程也可能是不可识别。附：其它识别规则（简便且实用）1、如果一个方程包含一个内生变量和模型中的全部前定变量,则这个方程恰好识别。（因为，该方程的内生变量是全部前定变量和随机干扰项的函数，不受其它内生变量影响，因此它实际上与简化式方程一样，其参数就是简化式参数。从另一个角度看，该方程排除的变量恰好为M-1个，且这M-1个内生变量又分别是M-1个方程的被解释变量，也即该方程符合识别的阶条件(恰好识别)和秩条件）。2、如果一个方程中包含了模型中的全部变量(即所有内生变量和前定变量)，则这个方程是不可识别的。3、假如第i个方程排除的变量中没有1个在第j个方程出现(也即第i个方程排除的变量，在第j个方程中也都被排除了)，则第i个方程是不可识别的。4、如果两个方程都包含有相同的变量，则这两个方程均不可识别。第三节第三节 联立方程模型的估计联立方程模型的估计对联立方程模型的估计方法分为两大类：单一方程（有限信息）估计法：是指每次只估计联立方程组模型中的一个方程，即依次逐个进行估计，以获得整个联立方程模型的估计值。系统（完全信息法）估计法：对整个模型中所有结构方程同时进行估计，从而能够同时决定所有结构参数的估计量。特征：估计每一个方程时，仅考虑该方程包含的信息（约束条件）.而不考虑其它方程的信息，故又称“有限信息法”。特征：在估计参数时，要考虑整个模型的结构以及施加在每个方程上的约束条件，因而又称为”完全信息法“。主要方法：间接最小二乘法（ILS）；工具变量法（IV）；二阶段最小二乘法（TSLS）；有限信息最大似然法等。主要方法：二阶段最小二乘法（3SLS）；完全信息最大似然法（FIML）等。一、估计方法概述一、估计方法概述二、递归模型和普通最小二乘法二、递归模型和普通最小二乘法递归模型 三、恰好识别模型的估计：间接最小二乘法三、恰好识别模型的估计：间接最小二乘法(ILS)如果某个结构方程是恰好识别的，可以用间接最小二乘法（或工具变量法）估计其参数。方程（1）、（2）都包含了内生变量P做解释变量，不能直接用OLS，但可以用间接最小二乘法估计。（一）间接最小二乘法（一）间接最小二乘法(ILS)间接最小二乘法的基本思想间接最小二乘法的基本思想：一个结构方程是恰好识别的，则一个结构方程是恰好识别的，则其结构参数可由简化参数唯一确定。因此，可以先用最小二乘法估其结构参数可由简化参数唯一确定。因此，可以先用最小二乘法估计简化式参数；再由简化式参数的估计量求得结构参数的估计量。计简化式参数；再由简化式参数的估计量求得结构参数的估计量。从而避免因内生解释变量与随机误差项相关而产生的问题。从而避免因内生解释变量与随机误差项相关而产生的问题。步骤步骤：2）对各简化式方程分别用）对各简化式方程分别用OLS估计，得简化式参数的估计量；估计，得简化式参数的估计量；1）将结构式模型转化成简化式模型；）将结构式模型转化成简化式模型；3）由简化式参数的估计量，求出结构式参数的估计量。）由简化式参数的估计量，求出结构式参数的估计量。方程简化为：通过简化式参数估计量，求出结构式参数的估计量。例如例如：以下模型的识别状态前面已讨论过（为恰好识别）各简化式方程分别用OLS估计，得：例如：下面的模型中方程1（需求方程）可以识别；方程（供给方程）不可以识别（模型不能识别）。其中：简化式模型为：注：模型中有一个方程是可以识别的，即需求方程可以识别，它的参数可以由简化式参数唯一表出。例：P224、例10.3.2 （二）间接最小二乘估计量的性质间接最小二乘估计量的性质 1、假定条件 1）被估计的结构方程是恰好识别的；2）每个简化式方程的随机误差项都满足最小二乘法的古典假定 3）前定变量间不存在高度的多重共线性。2、性质（P225选学）1）满足假定2）、3），简化方程的OLS估计量是无偏、一致的；2）通过参数关系体系得到的结构方程的估计量是有偏、一致的。四、过度识别模型的估计：两阶段最小二乘法四、过度识别模型的估计：两阶段最小二乘法(TSLS)1、两阶段最小二乘法、两阶段最小二乘法（单一方程（有限信息）估计法）（单一方程（有限信息）估计法）对过度识别方程不宜用间接最小二乘估计，可用对过度识别方程不宜用间接最小二乘估计，可用两阶段最小二两阶段最小二乘法乘法估计。估计。例如：假如有下模型例如：假如有下模型 分析：第二个方程是过度识别的，包含了内生活变量分析：第二个方程是过度识别的，包含了内生活变量Y1作解释作解释变量。变量。