信与系统课件--第七章有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计方法.ppt

引言7.1 线性相位FIR滤波器的特点7.2 窗函数设计7.3 频率抽样设计法7.4 IIR与FIR滤波器的比较 本章小结第七章 有限长单位脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计方法引言 IIR数字滤波器的特点：1、优点在于可以利用AF设计的现成成果，较简单、方便 2、但它不是线性相位 3、H(z)为有理分式 FIR数字滤波器的特点：1、容易获得严格的线性相位线性相位线性相位线性相位，（同时可以有任意的幅度特性）2、单位脉冲响应有限长，滤波器一定是稳定稳定稳定稳定的的（全零点型）3、总是可实现的可实现的（任何非因果有限长序列，经延时可成因果性因果性因果性因果性）4、运算量化噪声可作得很小，可用FFT高效运算 5、为了得到好的衰减特性，FIR的H(z)的阶次比IIR要高H(z)为 的多项式 FIR数字滤波器的 ，设计方法有：1、直接近似法-窗函数法 2、频率抽样法、等波纹逼近法7.1 线性相位FIR滤波器的特点一，实现线性相位的条件一，实现线性相位的条件n 0 N-1(a)0 N-1n(b)n 0 (c)0 n(d)N为奇数N为偶数思考：对于一个多项式思考：对于一个多项式H(z)，如何判断它的线性相位特性？，如何判断它的线性相位特性？或 奇对称偶对称因果FIR系统满足线性相位的充要条件：h(n)为长度N的实序列，并满足：先看h(n)偶对称的情况:h(n)=h(N-1-n)0nN-1将m=N-1-n代入 其系统函数为即 上式改写成 滤波器的频率响应为 我们可以看到，上式的以内全部是标量，如果我们将频率响应用相位函数()及幅度函数H()表示 那么有：上式的幅度函数H()是标量函数，可以包括正值、负值和零，而且是的偶对称函数和周期函数;而|H(ej)|取值大于等于零,两者在某些值上相位相差。相位函数()具有严格的线性相位，如图所示。图 h(n)偶对称时线性相位特性 数字滤波器的群延迟()定义为 式中，grd(groupdelay)为群延迟函数。由上式可知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时，它等于单位脉冲响应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。1、h(n)偶对称线性相位线性相位线性相位线性相位二，线性相位的特点二，线性相位的特点2、h(n)奇对称可见，相位函数可见，相位函数可见，相位函数可见，相位函数 ()-)-都是严格的线性相位关系都是严格的线性相位关系都是严格的线性相位关系都是严格的线性相位关系：1、h(n)偶对称时滤波器有(N-1)/2个采样间隔的延时2、h(n)奇对称时滤波器有(N-1)/2个采样间隔的延时，它还是理想的正交变换网络，称为90o移相器三，幅度函数的特点三，幅度函数的特点 h(n)实序列 有：若则对线性相位FIR，更有：若则四，线性相位四，线性相位FIR的零点的零点1，一般：四个零点为一组4个零点（镜像、共轭）：2，特例：（1）两个实零点：（2）单位圆上的两个纯虚数：zj 和 z=j （3）一个单独零点：z=1 或 z=17.2 窗函数设计法一，窗函数法基本思想一，窗函数法基本思想1、设计目的、设计目的在于FIR中寻找一个希望特性去逼近一般 是逐段恒定的，且边界不连续其对应的往往是无限长，而且是非因果的是有限长而2、设计方法、设计方法去近似即，令 使例：（希望）理想低通、线性相位如何用如何在时域里选取h(n)去近似代替?最简单方法是：无限长、非因果的显然，这样的h(n)满足线性相位条件：令可写作GibbsGibbs效应效应效应效应：由于加窗截断引起了通带和阻带内的波动通带和阻带内的波动。而其中一般最终使二、矩形窗法二、矩形窗法其幅频特性其中如上面LP，对 用矩形窗截取后，有：频带边界形成过渡区（取决于窗的主瓣）可见，加窗后偏离了理想特性 ：过渡区两边产生肩峰和余振（取决于窗的旁瓣）增加增加增加增加N N：可缩小主瓣宽度，使过渡区变窄；却不能改变旁瓣振幅，矩形窗最大肩峰总是8.95%，所以并不能有效减少并不能有效减少并不能有效减少并不能有效减少GibbsGibbs效应效应效应效应。为此，寻找窗函数来减少Gibbs效应：尽量窄的主瓣宽度（将能量尽可能地集中在主瓣内）力求尽量低矮的旁瓣高度（在 趋近于时，能量迅速趋于零）三，各种窗函数三，各种窗函数(a)矩形窗(b)三角形窗(Bartleet)巴特列特窗-13dB-26dB(c)升余弦窗(Hanning)汉宁窗(d)改进的升余弦窗(Hamming)海明窗-31dB-41dB(e)二阶升余弦窗(Blackman)布拉克曼窗(f)凯泽窗(Kaiser)可以自由调节参数，来改变窗函数的形状以 为中心呈偶对称，-57dB(a)矩形窗(b)三角形窗(c)汉宁窗(e)布拉克曼窗(f)凯泽窗(d)海明窗过渡带宽(主瓣宽)旁瓣峰值(dB)阻带最小衰减(dB)-25-13-31-41-25-57-57-21-53-44-74-80教材 P209 表7.2.2 六种窗函数的基本参数对加窗后的对加窗后的Filter而言而言窗函数窗函数汉宁海明布拉克曼三角形矩形可见：1、窗函数（时域）宽度变小 将使窗谱主瓣变宽 旁瓣肩峰、余振变小 （过渡区变宽）2、窗函数（时域）曲线缓慢缓慢下降 有利于旁瓣变矮小四，窗函数法设计步骤四，窗函数法设计步骤1，给定所要求的2，先求得或者使用计算机：在给定当M很大时，有频域抽样导致时域序列周期(M)延拓:3，由过渡区宽度过渡区宽度过渡区宽度过渡区宽度以及阻带最小衰减阻带最小衰减阻带最小衰减阻带最小衰减的要求，选定窗函数的形状，并估计N值，一般N要试探几次最后确定。一般4，求得所设计的FIR的5，求得（还应验算是否满足设计要求，不行时则改变改变改变改变N N或变变变变换窗函数换窗函数换窗函数换窗函数）其中A 与窗函数有关，如矩形窗的 A=4 例例 1 用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器-c-0c 0-c,0+c（1）设计N为奇数时的h(n)。（2）设计N为偶数时的h(n)。（3）若改用海明窗设计，求以上两种形式的h(n)表达式。五 举例解解 根据该线性相位带通滤波器的相位 可知该滤波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶对称的情况，h(n)偶对称时，可为第一类和第二类滤波器，其频响 （1）当N为奇数时，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ej)为第一类线性相位滤波器，H()关于=0,2有偶对称结构。题目中仅给出了Hd(ej)在 0上的取值，但用傅里叶反变换求hd(n)时，需要Hd(ej)在一个周期-,或0,2上的值，因此,Hd(ej)需根据第一类线性相位滤波器的要求进行扩展，扩展结果为 0-c0+c,-0-c-0+c-0+c0-c,-0-c,0+c 则 h(n)=hd(n)R(n)(2)N 为偶数时，H(ej)为第二类线性相位滤波器，H()关于=0 呈偶对称。所以,Hd(ej)在-,之间的扩展同上，则hd(n)也同上，即:(3)若改用海明窗 则 N为奇数时 N为偶数时 上面两个表达式形式虽然完全一样，但由于N为奇数时，对称中心点=(N-1)/2 为整数，N为偶数时，为非整数，因此N在奇数和偶数情况下，滤波器的单位脉冲响应的对称中心不同，在 0nN-1 上的取值也完全不同。例例 2 根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器。通带截止频率p=0.2，通带允许波动Ap=0.25dB；阻带截止频率s=0.3，阻带衰减As=50dB。解解 查表可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于 50 dB的衰减。但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度N。根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为 由表可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽=8/N，所以低通滤波器单位脉冲响应的长度为 3 dB通带截止频率为 理想低通滤波器的单位脉冲响应为 海明窗为 则所设计的滤波器的单位脉冲响应为 N=80 所设计的滤波器的频率响应为 利用计算机编程实现，结果如图所示。图（a）是理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n);图(b)是海明窗函数;图(c)是实际低通滤波器的单位脉冲响应h(n);图(d)是实际低通滤波器的幅频特性|H(ej)|，以dB为单位。滤波器长N=80，实际阻带衰减为As=53dB，通带波动为Ap=0.0316 dB，均满足设计要求。图 例2中低通滤波器设计结果 7.3 频率抽样设计法一、基本思想方法一、基本思想方法 窗函数法-从时域开始去设计频率抽样法-直接从频域去设计 有限长代替 无限长代替有限多点无限多点逼近力求力求插值恢复F变换重要的是窗函数重要的是插值函数二、频率抽样设计法二、频率抽样设计法1，由 抽样得到N个H(k)值 2，由N个H(k)唯一确定有限长的h(n)3，由H(k)值按插值公式恢复内插结果平坦段：误差不大突变段：误差很大过渡采样点 例例 3 利用频率采样法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，其理想频率特性是矩形的 0c 其他 已知c=0.5，采样点数为奇数N=33。试求各采样点的幅值Hk及相位k，也即求采样值H(k)。解解 N=33,且低通滤波器幅度特性H(0)=1。可知，这属于第一类线性相位滤波器。第一类线性相位滤波器的幅度特性H()关于=为偶对称，即 且有：则Hk满足偶对称特性，因而有：0k32 又 故 0k8,25k32 9k24 0k32 频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计;缺点是采样频率只能等于2/N的整数倍，因而不能确保截止频率c的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数N，但这又使计算量加大。三、频率抽样设计法特点：三、频率抽样设计法特点：可以从频域直接处理，且适合最优化设计 但截止频率只能为/N的整数倍，不能自由取值 进一步，如设置两个不同高度的过渡点有可能得到更好的逼近特性H1=0.5 28dBH1=0.394 45dBH1=0 20dBH(k)在突变处设置过渡点过渡点过渡点过渡点，会增大阻带最小衰减，减小通带边缘的起伏振荡设计一个 的理想低通滤波器四、线性相位的约束四、线性相位的约束(对照对照 P199 表表7.1.1)1、第一类线性相位FIRh(n)偶对称，N奇数2、第二类线性相位FIRh(n)偶对称，N偶数其抽样值4、第四类线性相位FIRh(n)奇对称，N偶数3、第三类线性相位FIRh(n)奇对称，N奇数小结：IIR与FIR滤波器的比较性能特长设计方法稳定性运算速度FIR FIR FIR FIR 滤滤滤滤 波波波波 器器器器IIR IIR IIR IIR 滤滤滤滤 波波波波 器器器器总体结构较简单、经济（由于递归结构，相同技术指标下，可以较少阶数实现）可以实现严格的线性相位做不到线性相位即使在有限精度的运算中，也都是稳定的在有限精度的运算中，有可能不稳定可以用FFT，加快速度借助模拟域成果，计算工具要求可低一般需借助计算机设计工具着眼于瞬态特性时：脉冲响应不变法、阶跃响应不变法一般用双线性变换法结合着应用频率变换法窗函数法较简单频率抽样法 （适用窄带）等波纹逼近法都有最优化设计课题设计范围规格化的低通、高通、带通、带阻、全通。片断常数特性灵活多样，可适应各种幅度、相位特性要求。阶数比较高，成本大。非递归结构