隐函数导数由参数方程确定函数导数.pptx
一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数，称为显函数。例如,可确定显函数可确定y是x的函数,对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:（隐函数的显化）将将y y看做中间变量，运用复合函数求导法则在方看做中间变量，运用复合函数求导法则在方程两边直接对程两边直接对x x求导。求导。第1页/共31页隐函数求导方法:两边对x求导(注意y=y(x)(含导数 的方程)例1 方程 y=x lny 确定了函数 y=y(x),求 y.解 方程两边同时对 x 求导,得第2页/共31页 例2 设 sin(xy)-ln(x+y)=0 确定了函数 y=y(x),求 y.解 方程两边同时对 x 求导,把 y 看成 x 的函数有第3页/共31页解 方程两边同时对 x 求导,把 y 看成 x 的函数有 例3 设 确定了函数 y=y(x),求 再由原方程知时，代入上式，得第4页/共31页 例4 方程 x 2+xy+y 2=4 确定了y 是 x 的函数求曲线上点(2,2)处的切线方程.解 方程两边同时对 x 求导,得 于是,点(2,2)处的切线方程为 即 x y 4=0.2x+y+xy+2yy=0,y (2)=1 (x 2),第5页/共31页例5 求由方程函数 y 的二阶导数 y.所确定的隐解 由隐函数求导法,得上式两边再同时对 x 求导,得 第6页/共31页例6 设 y=y(x)由方程所确定,求 y.解 方程变形为两边同时对 x 求导,得 第7页/共31页上式两边再同时对 x 求导,得 第8页/共31页 对于有些函数,使用对数求导法求导要比通常的方法简便.所谓对数求导法就是先在 y=f(x),的两边取对数,然后再用隐函数求导法求出 y 的导数.二、对数求导法观察函数对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数幂指函数求导。第9页/共31页例6 y=x x(x 0),求 y.解 两边取对数,得 lny=xlnx.上式两边同时对 x 求导,把 y 看成 x 的函数,得,于是 y=y(1+lnx)=x x(1+lnx).上述方法实际上是对幂指函数求导的一般方法,也可以按下列方法书写,y=x x=e x lnx,于是y =e x lnx(xlnx)=x x(lnx+1).第10页/共31页例7 设 解 显然函数是幂指函数，可采用对数求导法。为此先将方程两边取对数得上式两边同时对 x 求导,把 y 看成 x 的函数,得第11页/共31页例8 设 x 1,x 2,3,4,解 如果直接利用复合函数的求导公式求这个函数的导数,将是很复杂的.为此先将方程两边取对数得上式两边同时对 x 求导,把 y 看成 x 的函数,得第12页/共31页例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?三、由参数方程确定的函数的导数第13页/共31页由复合函数及反函数的求导法则得事实上，第14页/共31页求解：例1 设第15页/共31页求在处的切线方程。解：切线方程：例例2 2 已知摆线方程已知摆线方程第16页/共31页已知注意:第17页/共31页例3.设求则有解第18页/共31页解：求例例4 4 设设第19页/共31页内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除，乘方，开方表示的函数3.参数方程求导法第20页/共31页 作业P91 1（1）（3）；2（2）；3（1）（4）；4（1）（4）第21页/共31页例例5.5.设设,且求解:第22页/共31页 一般地,在直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变量 t 的函数 -(1)并且对于t 的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y 之间的变数 t 叫做参变数，简称为参数.三、由参数方程确定的函数的导数第23页/共31页时,有求已知已知第24页/共31页1、隐函数 前面我们遇到的函数表达式是，给出自变量 x的值时直接由一个公式求得因变量 y 的值。这种方式表达的函数叫做显函数。如，但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一个方程 F(x,y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。如，一、隐函数的导数第25页/共31页 一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F(x,y)=0，在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F(x,y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程 当自变量 x 在-1,1内取值时，变量 y 有确定的值与之对应；如果限定y0，则当 x=0 时，y=1.从方程中把因变量 y 解出来化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。例如，在上半平面内(y0)从方程解出就把隐函数化成显函数。第26页/共31页但并不是所有的隐函数都能被显化，如 由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x,y)=0确定一个函数 y=f(x)就是将此函数代入方程，则方程F(x,y)=F(x,f(x)0成为恒等式。例如，将函数代入方程就得到 x 的恒等式 也就是说，当方程中的 y 被看作隐函数时，方程就成为 x 的恒等式。关于 y 的表达式部分就看做是自变量为 x 的复合函数 形式。第27页/共31页2、隐函数的导数 对于容易显化的隐函数，在求其导数时可以显化后再求导.对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？例如 sin(xy)-ln(x+y)=0 确定了y是x的函数，求隐函数求导方法:将y看做中间变量，运用复合函数求导法则在方程两边直接对x求导。第28页/共31页例3.设求则有第29页/共31页求解：例例4 4 设设第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页
