[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-6.ppt

任意一个任意一个m n矩阵矩阵A,用贯穿整个矩阵的纵线用贯穿整个矩阵的纵线和横线按某种需要将它划分成若干个行数与和横线按某种需要将它划分成若干个行数与列数较少的矩阵列数较少的矩阵,这种矩阵称为这种矩阵称为A的子块或子的子块或子矩阵矩阵,被划分的矩阵被划分的矩阵A称为分块矩阵称为分块矩阵.此方法此方法实质是实质是把一个阶数较高的矩阵看成是由一些把一个阶数较高的矩阵看成是由一些小矩阵组成的小矩阵组成的,这时大矩阵的元素不全是数这时大矩阵的元素不全是数量量,一般是一些小矩阵一般是一些小矩阵.矩阵的分块是矩阵的分块是矩阵运算矩阵运算中的一个重要技巧中的一个重要技巧,可以可以减少运算量减少运算量使运算更为简明使运算更为简明,而且在而且在一些一些命题的证明命题的证明中起着重要作用中起着重要作用.2.6 分块矩阵分块矩阵分块矩阵的运算矩阵的分块相当随意矩阵的分块相当随意,但在划分时但在划分时纵线和纵线和横线必须贯穿整个矩阵横线必须贯穿整个矩阵.例如令令A11,A12,A21,A22是是A的子块的子块,令令则则分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则加法、数乘、乘法规则与一般矩阵相同加法、数乘、乘法规则与一般矩阵相同.注意注意用分块矩阵作用分块矩阵作加法加法运算时运算时,要将有关矩阵要将有关矩阵划分为划分为大小相同的子块大小相同的子块.用分块矩阵计算用分块矩阵计算AB时时(设设A的列数等于的列数等于B的行数的行数)一定要使一定要使A的列的分法与的列的分法与B的行的分法相同的行的分法相同.这样才这样才可以保证符合矩阵的乘法规则可以保证符合矩阵的乘法规则.例如例如不可计算不可计算可可以以计计算算例例1 1 分块矩阵的加法分块矩阵的加法例例2 2 分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法练习练习 设设解解则则又又于是于是例例3 3 设设其中其中A=(aij)k k,B=(bij)r r,C=(cij)r k,且且|A|0,|B|0,证明证明D可逆可逆,且且证明证明由由|D|=|A|B|0(Laplace)D可逆可逆.设设则则利用矩阵子块相等利用矩阵子块相等,得得得得X11=A-1Ek=A-1,X12=A-10=0,代入得代入得X21=B-1CA-1,X22=B-1.注意注意若若C=0,有有其中其中|A|0,|B|0.准对角形矩阵准对角形矩阵:当当n阶方阵中非零元素都阶方阵中非零元素都集中在主对角线附近，分块后形如集中在主对角线附近，分块后形如分块分块对角矩阵的行列式具有下述性质对角矩阵的行列式具有下述性质:例例4 4 设设其中其中ai 0(i=1,2,n),求求A-1.解解 设设其中其中易知易知而而练习练习 设设解解分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换初等变换也可以象前面求逆矩阵一样用在分初等变换也可以象前面求逆矩阵一样用在分块矩阵上求逆矩阵或进行其他运算块矩阵上求逆矩阵或进行其他运算.例例5 5 设设其中其中A=(aij)k k,B=(bij)r r,C=(cij)r k,且且|A|0,|B|0,求求D-1.解解左乘左乘A-1左乘左乘B-1左乘左乘(B-1C)特别注意特别注意在计算过程中是对矩阵作初等行变换在计算过程中是对矩阵作初等行变换,必必须强调左乘一可逆矩阵须强调左乘一可逆矩阵.上述初等变换写成初等分块矩阵为上述初等变换写成初等分块矩阵为即即例例6 6 设设A,B均为三阶方阵均为三阶方阵,|B|=2,E为单位矩阵，为单位矩阵，求求分析：利用初等变换将其化为分块三角形分析：利用初等变换将其化为分块三角形矩阵矩阵,然后利用拉普拉斯定理然后利用拉普拉斯定理.解解右乘右乘B-1