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1 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式，它是在系统分析和设计中首先要做的工作。建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分析法和实验辨识法。引 言第1页/共141页2 依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法。机理分析法 实验辨识法 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为系统辨识系统辨识。数学模型有多种形式，常用的有：微分方程（连续系统）、差分方程（离散系统）及状态方程等。本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图。第2页/共141页31.电容2.电感3弹簧弹性力4 阻尼器5 牛顿定律6 电机7 二阶方程的通解2-0预备知识牢记一些典型时域数学模型第3页/共141页42.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换傅里叶 变换 自学第4页/共141页5拉氏变换及其性质拉氏变换及其性质 1.定义定义 记 X(s)=Lx(t)2.2.性质和定理性质和定理 1)1)线性性质 L ax1(t)+bx2(t)=aX1(s)+bX2(s)第5页/共141页62)微分定理若 ,则第6页/共141页7若x1(0)=x2(0)=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，3)积分定律X（-1）(0)是x(t)dt 在t=0的值。同理第7页/共141页8 5)初值定理 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且 4)终值定理 若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：存在，则第8页/共141页96)延迟定理Lx(t )1(t )=esX(s)Leatx(t)=X(s+a)7)时标变换8)卷积定理第9页/共141页104.举例 例2-3求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。解：例2-4求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：第10页/共141页11例2-5求正弦函数x(t)=sint 的拉氏变换。解：以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。第11页/共141页12例例2-62-6 求函数x(t)的拉氏变换。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(t t0)第12页/共141页13例2-7求e at 的拉氏变换。解:例例2-82-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。解：第13页/共141页14 ，求x(0)，x()。解：例2-9若二二.复习拉氏反变换复习拉氏反变换 1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)2.求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法 第14页/共141页15 部分分式法 一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即 通常m=m,n=m。这是因为实际物理系统均。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。第30页/共141页31 相似系统的定义相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。比如比如令uc=q/C模拟技术：模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。第31页/共141页32 用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时，用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：1)对微分方程两边进行拉氏变换。2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。2.2.5 2.2.5 线性常系数微分方程的求解线性常系数微分方程的求解微分方程式r(t)c(t)求解代数方程时域解c(t)Ls的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)L-1第32页/共141页33 例2-13求解微分方程：解：两边取拉氏变换 s2Y(s)sy(0)y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/sy(t)=5/2 5et+3/2e2t初始条件：y(0)=1,y(0)=2第33页/共141页34 例2-14图示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。解：设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)。由KVL写出电路方程 电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换 R Cur uc第34页/共141页35当输入为阶跃电压ur(t)=u01(t)时，得式中右端第一项是由输入电压ur(t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0)=0时的响应，故称零状态响应零状态响应；第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur(t)=0时的响应，故称零输入响应零输入响应。第35页/共141页3636例2.152.15：用拉氏变换解微分方程iucurCRL第36页/共141页3737第37页/共141页38用拉氏变换求解的优点：1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数3）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用s代替,得到。当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，幸运的是幸运的是，往往并不需要求出解，可用图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。第38页/共141页39重点*建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式*例如：牛顿第二定律、基尔霍夫定律、质量守恒定律，刚体旋转定律等*建立的微分方程的标准形式特点：方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统。第39页/共141页40小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即x=x0+x,y=y0+y二、近似处理略去高阶无穷小项严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。三、数学方法2.2.6 非线性微分方程的线性化第40页/共141页41取一次近似，且令即有解：在工作点(x0,y0)处展开台劳级数例：已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。第41页/共141页422.3.1 传递函数的定义和实际意义 微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用L 法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。1 定义 在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换的比，称为传递函数，用G(S)表示。2-3 2-3 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型第42页/共141页43即可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数。传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)第43页/共141页44一般的，设线性定常系统的微分方程式为式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得(a0sn+a1sn1+an1s +an)C(s)=(b0sm+b1sm1+am1s +am)R(s)按定义，其传递函数为第44页/共141页45G(s)是由微分方程经线性拉氏变换得到，故等价，只是把时域变换到复频域而已，但它是一个函数，便于计算和采用方框图表示，广泛应用。其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。但在工程但在工程实际当中：实际当中：1）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t=0的值为零。2）输入在t=0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t=0的值为零；对于非0初始条件时，可采用叠加原理。第45页/共141页46试列写零初始条件下网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).例2.3.1 如图RLC电路，RLCi(t)ur(t)uc(t)解:零初始条件下取拉氏变换：传递函数：第46页/共141页47传递函数的基本概念例2.3.2 求下图的传递函数：B为虚地点，所以 所以：第47页/共141页48传递函数的基本概念总结:传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到的。已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。可以由环节的微分方程直接得出传递函数，只要将各阶导数用各阶s代替即可。即：第48页/共141页49 2.3.2 传递函数的性质(a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。(b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。(c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。(e)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）(f)传递函数一般为复变量s 的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n m。并且所有的系数均为实数。(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。系统辨识 第49页/共141页502.3.32.3.3典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典型环节有6种，这些典型环节,对应典型电路。这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。分述如下：自动控制系统可以用传递函数来描述，任一复杂的传递自动控制系统可以用传递函数来描述，任一复杂的传递函数函数G(s)G(s)，都可表示为：，都可表示为：第50页/共141页511.比例环节（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）运动方程式 c(t)=Kr(t)传递函数 G(s)=K 单位阶跃响应 C(s)=G(s)R(s)=K/s c(t)=K1(t)可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。r(t)1c(t)t0K第51页/共141页5252比例环节比例环节:输出量无滞后，按比例复现输入量输出量无滞后，按比例复现输入量 电位器第52页/共141页5353惯性环节惯性环节 该环节存在储能元件，典型惯性该环节存在储能元件，典型惯性环节的微分方程为一阶常微分方程，环节的微分方程为一阶常微分方程，其特点是当系统输入有阶跃变化时，其特点是当系统输入有阶跃变化时，系统输出是由零逐渐跟上，如图所系统输出是由零逐渐跟上，如图所示。示。(a)(a)为系统的输入变化，为系统的输入变化，(b)(b)为为系统的输出响应。输出按单调指数系统的输出响应。输出按单调指数规律上升规律上升.第53页/共141页54 惯性环节中因含有储能元件，故突变的输入信号不能立即复现。其运动方程为 传递函数为2.惯性环节 惯性环节由运算放大器构成的惯性环节第54页/共141页55 2.2.惯性环节惯性环节 微分方程式：式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点p=1/T，无零点。传递函数：j01/T单位阶跃响应:第55页/共141页56阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T第56页/共141页57积分环节积分电路3.积分环节 输出量正比于输入量的积分，其动态特性方程为 传递函数为第57页/共141页583.积分环节微分方程式：传递函数：第58页/共141页59单位阶跃响应：当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能记忆功能。r(t)t01c(t)t01T第59页/共141页60 微分环节 RC电路4.微分环节 理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例，即 传递函数为一阶微分环节第60页/共141页61式中，T0，0 1，n=1/T，T 称为振荡环节的时间常数时间常数，为阻尼比为阻尼比，n n为自然振荡频率为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：传递函数为：或5.二阶振荡环节微分方程式为：第61页/共141页62单位阶跃响应：单位阶跃响应：式中，=cos=cos1 1。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。c(t)t01np1p2jd nj0第62页/共141页636.延迟环节微分方程式为：c(t)=r(t)传递函数为：单位阶跃响应：c(t)=1(t )r(t)t01c(t)t01无理函数的工程近似：无理函数的工程近似：AB第63页/共141页642.4 控制系统结构图2.4.1 结构图的基本组成 微分方程、传递函数等数学模型，都是用纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响。定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。结构图又称为方框图、方块图等，既能描述系统中各变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响。第64页/共141页65方框（环节）方框表示对信号进行数学变换。方框中写入元部件或系统的传递函数。系统输出的象函数等于输入的象函数乘以方框中的传递函数或者频率特性信号线信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁边标记信号的时间函数或象函数。这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点.综合点（比较点）比较点表示对两个以上的信号进行加减运算，“”表示相加，“”表示相减。进行相加或相减的量应具有相同的量纲单位 分支点（引出点）引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。第65页/共141页66 2）结构图的基本作用：(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。(b b)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。个系统的传递函数。(c)s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。第66页/共141页67结构图的绘制步骤 (1)列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应。(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。第67页/共141页68例2-16画出下图所示RC网络的结构图。R Cu1 u2解：(1)列写各元件的原始方程式 i第68页/共141页69(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)+U2(s)UR(s)1RI(s)UR(s)第69页/共141页7070 结构图的绘制结构图的绘制结构图的绘制结构图的绘制 例2.17 绘制如图所示RC网络的结构图。中间变量：i,i1,i2;信号量：ur,uc 根据电路定律，得到以下方程第70页/共141页7171 按照上述方程，可以按照上述方程，可以 分别绘制相应元件的结构图分别绘制相应元件的结构图，如图，如图 (a)(a)(d)(d)所示。然后，所示。然后，根据相互关系将这些结构图在根据相互关系将这些结构图在相同信号处相同信号处连连接起来接起来，就得到整个系统的结构图，就得到整个系统的结构图。11R)(sUr)(1sI)(sUc2R)(sI)(sUc1R)(1sICs)(2sI)(1sI)(2sI)(sI11R)(sUr)(1sI)(sUc2R)(sUc1RCs)(2sI)(1sI)(sI(a)(b)(c)(d)(e)第71页/共141页72总结建立控制系统各元部件的微分方程对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的方框图和比较点。置系统输入量于左端，输出量于右端，便得到系统结构图。从与系统输入量有关的比较点开始，依据信号流向，把各元部件的结构图连接起来。第72页/共141页73练习 绘出RC电路的结构图。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)R1C1i1(t)ur(t)uc(t)第73页/共141页74 2.4.2 2.4.2 结构图的基本连接形式结构图的基本连接形式 1.三种基本连接形式(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)第74页/共141页75 (2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。由图有 C1(s)=G1(s)R(s)C2(s)=G2(s)R(s)R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+第75页/共141页76C(s)=C1(s)C2(s)消去C1(s)和C2(s)，得 C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。数的代数和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+第76页/共141页77(3)反馈连接反馈连接连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加法时为正反馈正反馈，做减法时为负反馈负反馈。由图有 C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得 C(s)=G(s)R(s)H(s)C(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。第77页/共141页78G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定义：定义：G(s)：前向通道传递函数E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数C(s)B(s)H(s)=1单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“-”号。第78页/共141页792.闭环系统的常用传递函数 考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。（1）控制输入下的闭环传递函数令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+第79页/共141页80（2）扰动输入下的闭环传递函数 令R(s)=0有（3）两个输入量同时作用于系统的响应 G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+第80页/共141页81（4）控制输入下的误差传递函数（5）扰动输入下的误差传递函数（6）两个输入量同时作用于系统时的误差G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+第81页/共141页823.闭环控制系统的几个特点 闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制较好的抗干扰能力（2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关第82页/共141页832.4.3 2.4.3 结构图的等效变换结构图的等效变换 变换的原则：变换前后应保持信号等效变换前后应保持信号等效。1.分支点后移GRCRGRC1/GR2.分支点前移GRCCGRCGC第83页/共141页844.比较点前移3.比较点后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F第84页/共141页855分支点换位 第85页/共141页866.比较点互换或合并R1C R2+R3R1C R2+R3R1C R2+R3第86页/共141页877相加点和分支点一般不能变位 第87页/共141页882.4.4 2.4.4 结构图的简化结构图的简化 对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。第88页/共141页8989注意注意对综合点和分支点进行移动位置，消除交叉回路。但在对综合点和分支点进行移动位置，消除交叉回路。但在移动中一定要注意以下几点：移动中一定要注意以下几点：必须保持移动前后信号的等效性；必须保持移动前后信号的等效性；相邻综合点可以互相换位和合并相邻综合点可以互相换位和合并；相邻分支点可以互相换位；相邻分支点可以互相换位；综合点和分支点之间一般不宜交换位置。综合点和分支点之间一般不宜交换位置。第89页/共141页9090 序号原结构图等效原结构图等效法则 1串联等效 2并联等效 3反馈等效第90页/共141页9191 4等效单位反馈5比较点前移6比较点后移7引出点前移 第91页/共141页9292 8引出点后移9交换和合并比较点10交换比较点和引出点（一般不采用)11负号在支路上移动 第92页/共141页93例2.9G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)第93页/共141页9494例2.102.10：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)显然若不移动比较点或引出点的位置就无法化简。H2(s)第94页/共141页9595首先将首先将 间的引出点后移到方框的输出端间的引出点后移到方框的输出端接着将接着将 组成的内反馈网络简化，其等效组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为传递函数为H2(s)H2(s)第95页/共141页9696得到图为得到图为然后将然后将 组成的内反馈网络简化，组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为：其等效传递函数为：H2(s)/G4(s)H2(s)第96页/共141页9797得到图为得到图为最后将求得其传递函数为：最后将求得其传递函数为：H2(s)/G4(s)第97页/共141页9898练习：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)显然化简该结构图也显然化简该结构图也需要移动比较点和引需要移动比较点和引出点，需要注意得是，出点，需要注意得是，引出点和比较点之间引出点和比较点之间是不宜随便移动的。是不宜随便移动的。因此我们将比较点前因此我们将比较点前移，将引出点后移。移，将引出点后移。得到图为得到图为第98页/共141页9999将两个比较点合并，并将求出 的等效传递函数：得到图为得到图为得到系统等效传递函数：得到系统等效传递函数：第99页/共141页1002.4.3 闭环系统的结构图和传递函数控制系统常采用反馈结构，又称闭环控制系统。通常，控制系统会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信号、给定值、参考输入等，常用r(t)表示；另一类则是扰动，或称为干扰、噪声等，常用n(t)表示。通过对反馈控制系统建立微分方程模型，直接在零初始条件下进行拉氏变换，可求取反馈控制系统的传函。通过对反馈控制系统结构图简化也能求传函。第100页/共141页101反馈通道传递函数从输出端反送到参考输入端的信号通道，称为反馈通道 前向通道传递函数前向通道是指从输入端到输出端的通道第101页/共141页102系统的开环传递函数上图中将反馈的输出通路断开，反馈信号对于参考输入信号的传递函数称为开环传递函数。这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积为该系统的开环传递函数。第102页/共141页103 作用下系统的闭环传递函数令 ，这时系统结构图如上图，系统传递函数为：系统输出为：作用下系统的闭环传递函数令 ，这时系统结构图如上图，系统传递函数为：系统输出为：第103页/共141页104104系统总输出系统总输出 根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各外作根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各外作用引起输出的综合因而得到系统总输出为：用引起输出的综合因而得到系统总输出为：第104页/共141页105RCG1G2G3H1H2例例2-17 2-17 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2第105页/共141页106方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1第106页/共141页107 例例2-18 2-18 用结构图化简的用结构图化简的方法求下图所示系统传递函方法求下图所示系统传递函数。数。RG1G2CG3RG1G2CG3解：第107页/共141页108RG1G2CG3RG1G2CG31/G2第108页/共141页1092.5.1 信号流图的基本概念1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=a12x1式中，x1为输入信号(变量变量)；x2为输出信号(变量变量)；a12为两信号之间的传输(增益增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。信号传递关系函数运算关系变量因果关系x1a12x22-5 控制系统的信号流图及梅逊公式第109页/共141页1102-5 控制系统的信号流图及梅逊公式例1:x2=a12 x1a12x1x2a12x1x2方框图信号流图例2:x2=a12x1+a32x3x3=a13x1+a23x2+a33x3x4=a24x2+a34x3x1输入节点x4输出节点x2，x3中间节点（混合节点）第110页/共141页111EiEEoI1II2+2-5 控制系统的信号流图及梅逊公式由方框图到信号流图，有些中间变量可以不表示出来，如I1。有些中间变量（位于综合点前，有输出）必须表示出来，如Ei和E，用单位增益支路将它们分开。第111页/共141页1122-5 控制系统的信号流图及梅逊公式G1G2RE1UYE1+1-111-1RE1UE1Y第112页/共141页1132-5 控制系统的信号流图及梅逊公式KMason公式：G 从输入节点到输出节点的总增益（系统传递函数）=1Li+LaLb-LLL+Li 一个回路的总增益 LaLb 两两互不接触的回路的总增益 LLL三个互不接触的回路的总增益Gk 从输入到输出第k条通道的总增益k中去掉与第k条通道接触的部分第113页/共141页114回路沿信号方向每一个节点只通过一次的闭路。通道从输入到输出沿信号方向每个节点只通过一次的通道。接触指有公共的节点和支路。abcde fbe,cf回路,becf 不是回路abcd是通道，aecd 和abecd不是2-5 控制系统的信号流图及梅逊公式第114页/共141页115 下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：x2=a12 x1+a32 x3 x3=a23 x2+a43 x4 x4=a24 x2+a34 x3+a44 x4 x5=a25 x2+a45 x4把内部变量结构和相互关系描述的把内部变量结构和相互关系描述的一清二楚一清二楚a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32第115页/共141页1162.信号流图的基本元素(1)节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近旁标出所代表的变量。(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。支路具有两个特征：有向性有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。有权性有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益增益)表示。第116页/共141页1173.信号流图的几个术语节点及其类别节点及其类别 输入节点(源点)只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。输出节点(汇点)只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x2第117页/共141页118通道及其类别通道及其类别通道从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通道如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4闭通道(回环)如果通道的终点就是起点的开通道。如a23a32，a33(自回环)。第118页/共141页119前向通前向通道道从源节点到汇节点的开通道。不接触回路不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。4.4.信号流图的基本性质信号流图的基本性质 1）信号流图只能代表线性代数方程组。2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。3）信号在支路上沿箭头单向单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果前因后果”的因果关系。4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。5）对于给定的系统，信号流图不唯一。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4第119页/共141页1202.5.2 2.5.2 信号流图的绘制方法信号流图的绘制方法 1.直接法例2-19RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。解解：(1)(1)列写原始方程列写原始方程(2)(2)取拉氏变换，考虑初始条件取拉氏变换，考虑初始条件：i i(0(0+)，u uc c(0(0+)(3)(3)整理成因果关系整理成因果关系 R C ur(t)uc(t)Li(t)第120页/共141页121(4)画出信号流图如图所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R1Cs1Ls+R第121页/共141页1222.翻译法 例2-20画出下图所示系统的信号流图。R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)+E2(s)E1(s)解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)-H(s)第122页/共141页123系统结构图 信号流图变量变量 节点节点输入变量 源节点比较点比较点引出点引出点 混合节点混合节点传输线传输线 方框方框 支路支路输出端 汇节点第123页/共141页1242.8.3 2.8.3 梅逊增益公式梅逊增益公式1.梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为式中P 总传输(增益)；n 从源节点至汇节点前向通道总数；P Pk k 第第K K条前向通路的条前向通路的传输传输；信号流图的特征式；信号流图的特征式；k k 第第k k条前向通路特征式的余因子式条前向通路特征式的余因子式第124页/共141页125 线性代数方程的克莱姆法则 为所有不同回环的增益之和；所有不同回环的增益之和；为为每两个互不接触回环增益乘积之和每两个互不接触回环增益乘积之和 ；为每三个互不接触回环增益乘积之和；每三个互不接触回环增益乘积之和；为为在在 中除去与第中除去与第k k条前向通路相接触的回路后的特征式，条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第称为第k k条前向通路特征式的余因子。条前向通路特征式的余因子。第125页/共141页126 解：信号流图的组成：解：信号流图的组成：4 4个单回环，一条前向通道个单回环，一条前向通道 =1=1(bi bi+dj dj+fk fk+bcdefgm bcdefgm)+()+(bidj bidj+bifk bifk+djfk djfk)bidjfk bidjfk P P11=abcdefgh abcdefgh 11=1=1 0=10=1例例2-21 2-21 求图所示系统的信号流图输入求图所示系统的信号流图输入x x0 0至输出至输出x x8 8的总传输的总传输G G。x0ax8bcdefghijkm第126页/共141页127 例2-22已知系统的信号流图如下，求输入x1至输出x2和x3的传输。bx1gx2ax3jhci23efd解：单回路：ac，abd，gi，ghj，aeghaegh两两互不接触回路：ac与gi，ghj;abd与gi，ghj 1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)x1到x2的传输：P1=2ab 1=1(gi+ghj)P2=3gfab 2=1第127页/共141页128bx1gx2ax3jhci23efd x1x1到到x3x3的传输：的传输：P1=3 1=1(ac+abd)P2=2ae 2=1第128页/共141页129例2-23 试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。RCG1K111G2G31解：单回路：G1，G2，G3，G1G2两两互不接触回路:G1和G2，G1和G3，G2和G3，G1G2和G3第129页/共141页130RCG1K111G2G31三个互不接触回路三个互不接触回路:G G11，G G2 2和和 G G3 3 前向通道：前向通道：P P11=G G11G G2 2G G33K K 11=11P P22=G G2 2G G33K K 22=1+1+G G1 1P P33=G G33K K 33=1+1+G G22RCG1K111G2G31P P44=G G2 2(1)1)G G33K K 44=1 1第130页/共141页131梅逊增益公式在结构图上的应用由于一一对应的关系，可以直接根据结构图，利用梅逊公式直接写出传递函数。由于一一对应的关系，可以直接根据结构图，利用梅逊公式直接写出传递函数。例例2-19 2-19 已知结构图如图所示，试用梅逊公式求已知结构图如图所示，试用梅逊公式求C(s)/R(s)C(s)/R(s)。R(s)C(s)G1(s)G3(s)H(s)+G2(s)G4(s)R1G11G3C-HG4G21.相加点处的-记入反馈支路增益中2.相加点与其输入线上的分支点翻译成相邻的2个节点，增益为1，但代表不同变量 比较点与其输出线代表的是一个节点，但如果比较点前的输入线有分支点，比较点与其输出线代表的是一个节点，但如果比较点前的输入线有分支点，分支点和比较点就必须用两个节点表示！分支点和比较点就必须用两个节点表示！第131页/共141页132 解：R(s)C(s)G1(s)G3(s)H(s)+G2(s)G4(s)R1G11G3C-HG4G2第132页/共141页133例1：11RYabcdefgx1x2x3x42-5 控制系统的信号流图及梅逊公式第133页/共141页134RY111-1G4G3G2G1-F2-F1x4x3x2x1Y例2：2-5 控制系统的信号流图及梅逊公式第134页/共141页135学习指导与小结学习指导与小结1.1.基本要求基本要求通过本章学习，应该达到1）正确理解数学模型的概念。2）了解动态微分方程建立的一般方法。3）掌握运用拉氏变换法解微分方程的方法，并对解的结构、零输入响应、零状态响应等概念，有清楚的理解。4）正确理解传递函数的定义、性质和意义。5）正正确确理理解解系系统统的的开开环环传传递递函函数数、闭闭环环传传递递函函数数、前前向向通通道道传传递递函函数数，并并对对重重要要传传递递函函数数如如：控控制制输输入