高一数学必修二课件第八章 第八节抛物线.ppt

第八节 抛 物 线1.1.抛物线的定义抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)(1)在平面内在平面内.(2)(2)动点到定点动点到定点F F的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离的距离_._.(3)(3)定点定点_定直线上定直线上.相等相等不在不在2.2.抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质标准标准方程方程_(p0)_(p0)_(p0)(p0)_(p0)(p0)_(p0)(p0)p p的几何意义：焦点的几何意义：焦点F F到准线到准线l的距离的距离 图形图形 y y2 2=2px=2pxy y2 2=-2px=-2pxx x2 2=2py=2pyx x2 2=-2py=-2py顶点顶点 _对称轴对称轴_焦点焦点F_F_F_F_F_F_F_F_离心率离心率e=_e=_O(0,0)O(0,0)y=0(xy=0(x轴轴)x=0(yx=0(y轴轴)1 1准线准线方程方程_范围范围_焦半焦半径径(其其中中P(xP(x0 0,y y0 0)|PF|=_|PF|=_|PF|=_|PF|=_|PF|=|PF|=_|PF|=|PF|=_x0,yRx0,yRx0,yRx0,yRy0,xRy0,xRy0,xRy0,xR判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l的距离相等的点的轨迹的距离相等的点的轨迹一定是抛物线一定是抛物线.().()(2)(2)方程方程y=axy=ax2 2(a0)(a0)表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在x x轴上的抛物线，且轴上的抛物线，且其焦点坐标是其焦点坐标是 准线方程是准线方程是 ()()(3)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.().()(4)AB(4)AB为抛物线为抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的过焦点的过焦点 的弦，若的弦，若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，则，则 y y1 1y y2 2=-p=-p2 2，弦长，弦长|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p.()+p.()【解析解析】(1)(1)错误错误.当定点在定直线上时，轨迹为过定点当定点在定直线上时，轨迹为过定点F F与定与定直线直线l垂直的一条直线，而非抛物线垂直的一条直线，而非抛物线.(2)(2)错误错误.方程方程y=axy=ax2 2(a0)(a0)可化为可化为 是焦点在是焦点在y y轴上的抛轴上的抛物线，且其焦点坐标是物线，且其焦点坐标是 准线方程是准线方程是 (3)(3)错误错误.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)(4)正确正确.当当ABAB斜率不存在时，斜率不存在时，ABAB方程为方程为 结论显然成立；结论显然成立；当当ABAB斜率存在时，设斜率存在时，设ABAB的方程为的方程为 与与y y2 2=2px(p0)=2px(p0)联联立消去立消去y y得：得：由抛物线定义得：由抛物线定义得：|AB|=|AF|+|BF|=x|AB|=|AF|+|BF|=x1 1+x+x2 2+p.+p.答案答案:(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)1.1.坐标平面内到定点坐标平面内到定点F(-1F(-1，0)0)的距离和到定直线的距离和到定直线l:x:x=1=1的距离的距离相等的点的轨迹方程是相等的点的轨迹方程是()()(A)y(A)y2 2=2x (B)y=2x (B)y2 2=-2x=-2x(C)y(C)y2 2=4x (D)y=4x (D)y2 2=-4x=-4x【解析解析】选选D.D.由抛物线的定义知点的轨迹是以由抛物线的定义知点的轨迹是以F(-1,0)F(-1,0)为焦点为焦点的抛物线，且的抛物线，且 p=2p=2，故方程为，故方程为y y2 2=-4x.=-4x.2.2.若抛物线若抛物线y y2 2=2px=2px的焦点与椭圆的焦点与椭圆 的右焦点重合，则的右焦点重合，则p p的值为的值为()()(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4【解析解析】选选D.D.椭圆椭圆 的右焦点为的右焦点为(2(2，0)0)，所以所以 即即p=4.p=4.3.3.抛物线抛物线x x2 2=4y=4y上一点上一点A A的纵坐标为的纵坐标为4 4，则点，则点A A到抛物线焦点的距到抛物线焦点的距离为离为()()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析解析】选选D.D.由抛物线定义得由抛物线定义得4.4.抛物线抛物线y=8xy=8x2 2的准线方程为的准线方程为()()【解析解析】选选D.D.抛物线抛物线y=8xy=8x2 2的标准方程为的标准方程为焦点在焦点在y y轴上，且轴上，且准线方程为准线方程为5.5.线段线段ABAB是抛物线是抛物线y y2 2=x=x的一条焦点弦，若的一条焦点弦，若|AB|AB|4 4，则弦，则弦ABAB的的中点到直线中点到直线 的距离等于的距离等于_._.【解析解析】设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，则则 弦弦ABAB的中点的横坐标为的中点的横坐标为中点到直线中点到直线 的距离为：的距离为：答案答案:6.6.抛物线抛物线y y2 2=4ax=4ax的焦点坐标是的焦点坐标是_._.【解析解析】当当a a0 0时，抛物线开口向右，时，抛物线开口向右，因此焦点坐因此焦点坐标为标为当当a a0 0时，抛物线开口向左，时，抛物线开口向左，因此焦点坐标为因此焦点坐标为答案答案:(a,0)(a,0)考向考向 1 1 抛物线的定义及其应用抛物线的定义及其应用【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013长沙模拟长沙模拟)已知动圆过定点已知动圆过定点 且与直且与直线线 相切，其中相切，其中p0,p0,则动圆圆心的轨迹则动圆圆心的轨迹E E的方程为的方程为_._.(2)(2012(2)(2012安徽高考安徽高考)过抛物线过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点F F的直线交该抛物线的直线交该抛物线于于A A，B B两点，若两点，若|AF|AF|3 3，则，则|BF|BF|_._.(3)(3)已知点已知点P P是抛物线是抛物线y y2 2=2x=2x上的一个动点，则点上的一个动点，则点P P到点到点(0(0，2)2)的距的距离与点离与点P P到该抛物线准线的距离之和的最小值为到该抛物线准线的距离之和的最小值为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用已知条件得到动点满足的等量关系，再利用已知条件得到动点满足的等量关系，再结合抛物线定义，先定形状，再求方程结合抛物线定义，先定形状，再求方程.(2)(2)利用抛物线的定义求出利用抛物线的定义求出A A点坐标，将直线点坐标，将直线AFAF的方程与的方程与y y2 2=4x=4x联联立，求出立，求出B B点坐标，再利用抛物线定义求出点坐标，再利用抛物线定义求出|BF|.|BF|.(3)(3)利用抛物线的定义，将点利用抛物线的定义，将点P P到准线的距离转化为点到准线的距离转化为点P P到焦点到焦点的距离，数形结合求解的距离，数形结合求解.【规范解答规范解答】(1)(1)设设M M为动圆圆心，过点为动圆圆心，过点M M作直线作直线 的垂的垂线，垂足为线，垂足为N N，由题意知，由题意知|MF|=|MN|MF|=|MN|，即动点，即动点M M到定点到定点 与与定直线定直线 的距离相等，由抛物线定义知：点的距离相等，由抛物线定义知：点M M的轨迹为抛的轨迹为抛物线，其中物线，其中 为焦点，为焦点，为准线，为准线，所以轨迹方程为所以轨迹方程为y y2 2=2px(p0).=2px(p0).答案答案:y y2 2=2px(p0)=2px(p0)(2)(2)由题意知，抛物线的焦点由题意知，抛物线的焦点F F的的坐标为坐标为(1,0)(1,0)，又，又|AF|=3|AF|=3，由抛物，由抛物线定义知，点线定义知，点A A到准线到准线x=-1x=-1的距离的距离为为3 3，点点A A的横坐标为的横坐标为2 2，将，将x=2x=2代入代入y y2 2=4x=4x，得，得y y2 2=8,=8,由图知，由图知，直线直线AFAF的方程为的方程为又又由图知，点由图知，点B B的坐标为的坐标为答案答案:(3)(3)如图，由抛物线的定义知，点如图，由抛物线的定义知，点P P到该抛物线的准线的距离等到该抛物线的准线的距离等于点于点P P到其焦点的距离，因此点到其焦点的距离，因此点P P到点到点(0(0，2)2)的距离与点的距离与点P P到该到该抛物线准线的距离之和即为点抛物线准线的距离之和即为点P P到点到点(0(0，2)2)的距离与点的距离与点P P到焦点到焦点的距离之和，显然当的距离之和，显然当P P0 0，F F，(0(0，2)2)三点共线时，距离之和取得三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于最小值，最小值等于答案答案:【互动探究互动探究】在本例题在本例题(2)(2)的条件下，如何求的条件下，如何求AOBAOB的面积？的面积？【解析解析】由题由题(2)(2)的解析知的解析知【拓展提升拓展提升】利用抛物线的定义可解决的两类问题利用抛物线的定义可解决的两类问题(1)(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.【变式备选变式备选】设设M(xM(x0 0,y,y0 0)为抛物线为抛物线C C：x x2 2=8y=8y上一点，上一点，F F为抛物线为抛物线C C的焦点，以的焦点，以F F为圆心，为圆心，|FM|FM|为半径的圆和抛物线为半径的圆和抛物线C C的准线相交，的准线相交，则则y y0 0的取值范围是的取值范围是()()(A)(0,2)(B)0,2(A)(0,2)(B)0,2(C)(2,+)(D)2,+)(C)(2,+)(D)2,+)【解析解析】选选C.C.圆心到抛物线准线的距离为圆心到抛物线准线的距离为p,p,即即4.4.根据已知只要根据已知只要|FM|4|FM|4即可即可.根据抛物线定义，根据抛物线定义，|FM|=y|FM|=y0 0+2+2由由y y0 0+24+24，解得，解得y y0 02,2,故故y y0 0的取值范围是的取值范围是(2,+).(2,+).考向考向 2 2 抛物线的标准方程与性质抛物线的标准方程与性质【典例典例2 2】(1)(1)将两个顶点在抛物线将两个顶点在抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上，另一个顶点上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为是此抛物线焦点的正三角形个数记为n n，则，则()()(A)nA)n=0 (=0 (B)nB)n=1 (=1 (C)nC)n=2 (D)n3=2 (D)n3(2)(2012(2)(2012山东高考山东高考)已知双曲线已知双曲线C C1 1：(a0,b0)(a0,b0)的离的离心率为心率为2.2.若抛物线若抛物线C C2 2:x:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点到双曲线的焦点到双曲线C C1 1的渐近线的渐近线的距离为的距离为2 2，则抛物线，则抛物线C C2 2的方程为的方程为()()【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用抛物线的性质及正三角形的性质，数形利用抛物线的性质及正三角形的性质，数形结合求解结合求解.(2)(2)先利用离心率为先利用离心率为2 2，求出渐近线方程，再利用焦点到渐近线，求出渐近线方程，再利用焦点到渐近线的距离为的距离为2 2构建方程求构建方程求p p，从而求解，从而求解.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.根据抛物线的对称性，正三角形的两个根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于顶点一定关于x x轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别为轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别为3030和和150150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图，所以正三角形的个数如图，所以正三角形的个数n=2.n=2.(2)(2)选选D.D.因为双曲线因为双曲线C C1 1：(a0,b0)(a0,b0)的离心率为的离心率为2 2，双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为抛物线抛物线C C2 2:x:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点的焦点 到双曲线到双曲线C C1 1的渐近线的的渐近线的距离为距离为所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为x x2 2=16y.=16y.【拓展提升拓展提升】1.1.求抛物线的标准方程的方法及流程求抛物线的标准方程的方法及流程(1)(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有只有p p，所以只需一个条件确定，所以只需一个条件确定p p值即可值即可.(2)(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量程时，需先定位，再定量.2.2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解解.【变式训练变式训练】(1)(1)已知抛物线已知抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的准线与圆的准线与圆x x2 2+y+y2 2-6x-6x-7=0 7=0 相切，则相切，则p p的值为的值为()()(A)(B)1 (C)2 (D)4(A)(B)1 (C)2 (D)4【解析解析】选选C.C.由由y y2 2=2px=2px，得抛物线准线方程为，得抛物线准线方程为 圆圆x x2 2+y+y2 2-6x-7=06x-7=0可化为可化为(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=16=16，由圆心到准线的距离等于半径得：，由圆心到准线的距离等于半径得：所以所以p=2.p=2.(2)(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0 x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是上的抛物线的标准方程是_._.【解析解析】令令x=0 x=0得得y=-2y=-2；令；令y=0,y=0,得得x=4.x=4.抛物线的焦点为抛物线的焦点为(4(4，0)0)或或(0(0，-2).-2).当焦点为当焦点为(4(4，0)0)时，时，p=8,p=8,此时抛物线方程为此时抛物线方程为y y2 2=16x=16x；当焦点为当焦点为(0(0，-2)-2)时，时，p=4,p=4,此时抛物线方程为此时抛物线方程为x x2 2=-8y.=-8y.所求抛物线方程为所求抛物线方程为y y2 2=16x=16x或或x x2 2=-8y.=-8y.答案答案:y y2 2=16x=16x或或x x2 2=-8y=-8y考向考向 3 3 直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的综合问题【典例典例3 3】(2013(2013广州模拟广州模拟)如图所示，如图所示，F F是抛物线是抛物线x x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点，点的焦点，点R(1R(1，4)4)为抛物线内一定点，点为抛物线内一定点，点Q Q为抛物线上一动点，为抛物线上一动点，|QR|+|QF|QR|+|QF|的最小值为的最小值为5.5.(1)(1)求抛物线的方程求抛物线的方程.(2)(2)已知过点已知过点P(0P(0，-1)-1)的直线的直线l与抛物线与抛物线x x2 2=2py(p0)=2py(p0)相交于相交于A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)两点，两点，l1 1，l2 2分别是该抛物线在分别是该抛物线在A A，B B两点处两点处的切线，的切线，M M，N N分别是分别是l1 1，l2 2与直线与直线y=-1y=-1的交点的交点.求直线求直线l的斜率的的斜率的取值范围，并证明取值范围，并证明|PM|=|PN|.|PM|=|PN|.【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用抛物线定义借助数形结合寻找到利用抛物线定义借助数形结合寻找到|QR|+|QF|QR|+|QF|取最小值为取最小值为5 5的条件，构建的条件，构建p p的方程求解的方程求解.(2)(2)建立建立l的方程并与的方程并与x x2 2=2py(p0)=2py(p0)联立消去联立消去y y得一元二次方程，得一元二次方程，使判别式使判别式00求斜率的取值范围，再建立求斜率的取值范围，再建立l1 1，l2 2的方程，只需证的方程，只需证明明x xM M+x+xN N=0=0即即x xN N=-=-x xM M即可即可.【规范解答规范解答】(1)(1)设抛物线的准线为设抛物线的准线为l,过过Q Q作作QQQQl于于QQ，过，过R R作作RRRRl于于RR，由抛物线定义知，由抛物线定义知|QF|=|QQ|QF|=|QQ|，|QR|+|QF|=|QR|+|QQ|RR|(|QR|+|QF|=|QR|+|QQ|RR|(折线段大于垂线段折线段大于垂线段)，当且，当且仅当仅当R R，Q Q，RR三点共线时取等号三点共线时取等号.由题意知由题意知|RR|RR|5 5，即，即 故抛物线的方程为故抛物线的方程为x x2 2=4y.=4y.(2)(2)由已知条件可知直线由已知条件可知直线l的斜率存在且不为的斜率存在且不为0 0，设直线，设直线l:y:y=kx-1,=kx-1,则则依题意，有依题意，有=16k=16k2 2-160-160 k-1k1.k1.由由所以抛物线在所以抛物线在A A处的切线处的切线l1 1的方程为的方程为令令y=-1,y=-1,得得 同理，得同理，得注意到注意到x x1 1,x,x2 2是方程是方程的两个实根，故的两个实根，故x x1 1x x2 2=4,=4,即即 从而有从而有因此，因此，|PM|=|PN|.|PM|=|PN|.【拓展提升拓展提升】1.1.直线与抛物线的位置关系问题直线与抛物线的位置关系问题设直线方程设直线方程Ax+By+CAx+By+C=0=0与抛物线方程与抛物线方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)联立，消去联立，消去x x得得到关于到关于y y的方程的方程mymy2 2+ny+ny+l=0.=0.(1)(1)位置关系与其判别式位置关系与其判别式的关系的关系(2)(2)相交问题的求解通法相交问题的求解通法涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用系数的关系，采用“设而不求设而不求”“”“整体代入整体代入”等解法等解法.【提醒提醒】涉及弦的中点、斜率时一般用涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法点差法”求解求解.2.2.与焦点弦有关的常用结论与焦点弦有关的常用结论(如图所示如图所示)(1)y(1)y1 1y y2 2=-p=-p2 2,x,x1 1x x2 2=(2)|AB|=x(2)|AB|=x1 1+x+x2 2+p=(+p=(为为ABAB的倾斜角的倾斜角).).(3)S(3)SAOBAOB=(=(为为ABAB倾斜角倾斜角).).(4)(4)为定值为定值 (5)(5)以以ABAB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)(6)以以AFAF或或BFBF为直径的圆与为直径的圆与y y轴相切轴相切.(7)CFD=90.(7)CFD=90.【变式训练变式训练】已知抛物线已知抛物线C:yC:y=mx=mx2 2(m0)(m0)，焦点为，焦点为F F，直线，直线2x-2x-y+2=0y+2=0交抛物线交抛物线C C于于A A，B B两点，两点，P P是线段是线段ABAB的中点，过的中点，过P P作作x x轴的轴的垂线交抛物线垂线交抛物线C C于点于点Q.Q.(1)(1)求抛物线求抛物线C C的焦点坐标的焦点坐标.(2)(2)若抛物线若抛物线C C上有一点上有一点R(xR(xR R,2),2)到焦点到焦点F F的距离为的距离为3 3，求此时，求此时m m的的值值.(3)(3)是否存在实数是否存在实数m,m,使使ABQABQ是以是以Q Q为直角顶点的直角三角形？为直角顶点的直角三角形？若存在，求出若存在，求出m m的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由.【解析解析】(1)(1)抛物线抛物线C C：它的焦点它的焦点 (3)(3)存在存在.联立方程联立方程消去消去y y得得mxmx2 2-2x-2=0,-2x-2=0,依题意，有依题意，有设设A(xA(x1 1,mx,mx1 12 2),B(x),B(x2 2,mx,mx2 22 2),),则则PP是线段是线段ABAB的中点，的中点，若存在实数若存在实数m m，使，使ABQABQ是以是以Q Q为直角顶点的直角三角形，则为直角顶点的直角三角形，则即即 结合结合(*)(*)化简得化简得即即2m2m2 2-3m-2=0-3m-2=0，m=2m=2或或存在实数存在实数m=2m=2，使，使ABQABQ是以是以Q Q为直角顶点的直角三角形为直角顶点的直角三角形.【满分指导满分指导】解答直线与抛物线的综合题解答直线与抛物线的综合题【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012新课标全国卷新课标全国卷)设抛物线设抛物线C:xC:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点为的焦点为F F，准线为，准线为l,A,A为为C C上一点，已知以上一点，已知以F F为圆心，为圆心，FAFA为半径为半径的圆的圆F F交交l于于B B，D D两点两点.(1)(1)若若BFD=90BFD=90,ABD,ABD的面积为的面积为 求求p p的值及圆的值及圆F F的方程的方程.(2)(2)若若A,B,FA,B,F三点在同一直线三点在同一直线m m上，直线上，直线n n与与m m平行，且平行，且n n与与C C只有只有一个公共点，求坐标原点到一个公共点，求坐标原点到m m，n n距离的比值距离的比值.【思路点拨思路点拨】【规范解答规范解答】(1)(1)由抛物线的对称性可得由抛物线的对称性可得BFDBFD为等腰直角三角形为等腰直角三角形，BD|=2p,BD|=2p,圆圆F F的半径的半径|FA|FA|p.p.由抛线线定义可知由抛线线定义可知A A到到l的距离的距离d=|FA|=p.d=|FA|=p.因为因为ABDABD的面积为的面积为 所以所以解得解得p=-2(p=-2(舍去舍去)或或p=2.p=2.3 3分分所以所以F(0F(0，1)1)，圆，圆F F的方程为的方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=8.=8.5 5分分(2)(2)因为因为A A，B B，F F三点在同一直线三点在同一直线m m上，所以上，所以ABAB为圆为圆F F的直径，的直径，ADB=90.ADB=90.由抛物线定义知由抛物线定义知所以所以ABD=30,ABD=30,m m的斜率为的斜率为 7 7分分 由已知可设由已知可设 代入代入x x2 2=2py=2py得得由于由于n n与与C C只有一个公共点，故只有一个公共点，故因为因为m m的纵截距的纵截距 所以坐标原点到所以坐标原点到m,nm,n距离的比值为距离的比值为3.3.由图形对称性可知，坐标原点到由图形对称性可知，坐标原点到m,nm,n距离距离的比值为的比值为3.3.1212分分【失分警示失分警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20131.(2013湘潭湘潭模拟模拟)已知抛物线已知抛物线C:yC:y=4x=4x2 2，若存在定点，若存在定点A A与定直与定直线线l,使得抛物线使得抛物线C C上任一点上任一点P P，都有点，都有点P P到点到点A A的距离与点的距离与点P P到到l的的距离相等，则定点距离相等，则定点A A到定直线到定直线l的距离为的距离为()()(A)(B)(C)2 (D)4(A)(B)(C)2 (D)4【解析解析】选选A.A.由题意知定点由题意知定点A A即为焦点即为焦点 定直线定直线l即为准线即为准线 于是定点于是定点A A到定直线到定直线l的距离为的距离为2.(20122.(2012陕西高考陕西高考)如图是抛物线形拱桥，当水面在如图是抛物线形拱桥，当水面在l l时，拱顶时，拱顶离水面离水面2 2米，水面宽米，水面宽4 4米，水位下降米，水位下降1 1米后，水面宽米后，水面宽_米米.【解析解析】建立适当的坐标系，如图建立适当的坐标系，如图所示，设抛物线方程为所示，设抛物线方程为x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)，则点，则点(2(2，-2)-2)在此抛物线上，在此抛物线上，代入可求出抛物线的方程是代入可求出抛物线的方程是x x2 2=-2y,=-2y,当当y=-3y=-3时时x x2 2=-2(-3)=6=-2(-3)=6，所以，所以x=,x=,水面宽是水面宽是2 2 米米.答案：答案：2 23.(20123.(2012北京高考北京高考)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，直线中，直线l过抛物线过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点F,F,且与该抛物线相交于且与该抛物线相交于A A，B B两点，其中点两点，其中点A A在在x x轴上方轴上方.若直线若直线l的倾斜角为的倾斜角为6060，则，则OAFOAF的面积为的面积为_._.【解析解析】抛物线抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点F(1,0),F(1,0),直线直线 由由 解得解得 所以所以S SOAFOAF=答案答案:4.(20124.(2012浙江高考浙江高考)如图，在直角如图，在直角坐标系坐标系xOyxOy中，点中，点 到抛物线到抛物线C C：y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的准线的距离为的准线的距离为点点M(t,1)M(t,1)是是C C上的定点，上的定点，A A，B B是是C C上的上的两动点，且线段两动点，且线段ABAB被直线被直线OMOM平分平分.(1)(1)求求p,tp,t的值的值.(2)(2)求求ABPABP面积的最大值面积的最大值.【解析解析】(1)(1)点点 到抛物线到抛物线C:yC:y2 2=2px(p0)=2px(p0)的准线的距离为的准线的距离为 可得准线方程为可得准线方程为 所以抛物线所以抛物线点点M(t,1)M(t,1)是是C C上的点，所以上的点，所以t=1.t=1.(2)(2)设动点设动点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),直线直线ABAB的斜率为的斜率为k,k,线段线段ABAB的中点的中点为为Q(m,mQ(m,m),),由由 得得(y(y1 1-y-y2 2)(y)(y1 1+y+y2 2)=x)=x1 1-x-x2 2,所以所以2km=1.2km=1.直线直线ABAB的方程为的方程为即即x-2my+2mx-2my+2m2 2-m=0,-m=0,由由消去消去x x，整理得，整理得y y2 2-2my+2m-2my+2m2 2-m=0.-m=0.所以所以=4m-4m=4m-4m2 20,y0,y1 1+y+y2 2=2m,y=2m,y1 1y y2 2=2m=2m2 2-m,-m,从而从而设点设点P P到直线到直线ABAB的距离为的距离为d,d,则则设设ABPABP的面积为的面积为S S，则，则由由=4m-4m=4m-4m2 200可得可得0m1.0m1.令令 则则S=u(1-2uS=u(1-2u2 2),),设设S(uS(u)=u(1-2u)=u(1-2u2 2),0u ),000，得，得m m2 2+n0,y+n0,y1 1+y+y2 2=4m,y=4m,y1 1y y2 2=-4n.=-4n.APAQ,APAQ,(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)+(y-1)+(y1 1-2)(y-2)(y2 2-2)=0.-2)=0.(y(y1 1-2)(y-2)(y2 2-2)(y-2)(y1 1+2)(y+2)(y2 2+2)+16=0,+2)+16=0,(y(y1 1-2)(y-2)(y2 2-2)=0-2)=0或或(y(y1 1+2)(y+2)(y2 2+2)+16=0.+2)+16=0.n=1-2mn=1-2m或或n=2m+5,n=2m+5,00恒成立，恒成立，n=2m+5.n=2m+5.直线直线PQPQ的方程为的方程为x-5=m(y+2),x-5=m(y+2),直线直线PQPQ过定点过定点(5,-2).(5,-2).(2)(2)存在存在.假设存在以假设存在以PQPQ为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形APQAPQ，由第，由第(1)(1)问问可知，将可知，将n n用用2m+52m+5代换得代换得直线直线PQPQ的方程为的方程为x=my+2m+5.x=my+2m+5.设点设点P,QP,Q的坐标分别为的坐标分别为P(xP(x1 1,y,y1 1),Q),Q(x(x2 2,y,y2 2)，由由 消消x,x,得得y y2 2-4my-8m-20=0.-4my-8m-20=0.yy1 1+y+y2 2=4m,y=4m,y1 1y y2 2=-8m-20.=-8m-20.线段线段PQPQ的中点坐标为的中点坐标为即即PQPQ的中点坐标为的中点坐标为(2m(2m2 2+2m+5,2m).+2m+5,2m).由已知得由已知得即即m m3 3+m+m2 2+3m-1=0,+3m-1=0,设设g(mg(m)=m)=m3 3+m+m2 2+3m-1+3m-1，则则g(mg(m)=3m)=3m2 2+2m+30,+2m+30,g(mg(m)在在R R上是增函数上是增函数.又又g(0)=-10,g(0)=-10,g(mg(m)在在(0,1)(0,1)内有一个零点内有一个零点.函数函数g(mg(m)在在R R上有且只有一个零点，上有且只有一个零点，即方程即方程m m3 3+m+m2 2+3m-1=0+3m-1=0在在R R上有唯一实根，上有唯一实根，所以满足条件的等腰三角形有且只有一个所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.