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第四章第四章 数值积分数值积分（Numerical Integration）内容提纲内容提纲 数值积分的必要性数值积分的必要性 求积公式及其代数精度求积公式及其代数精度 插值型求积公式插值型求积公式 Newton-Cotes公式及数值稳定性公式及数值稳定性 复化求积公式及误差估计复化求积公式及误差估计数值积分的必要性数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按在微积分里，按Newton-Leibniz公式公式求定积分求定积分要求被积函数要求被积函数要求被积函数要求被积函数f f(x x)有解析表达式有解析表达式有解析表达式有解析表达式；f f(x x)的原函数的原函数的原函数的原函数F F(x x)为初等函数为初等函数为初等函数为初等函数实际问题实际问题f f(x x)的原函数的原函数的原函数的原函数F F(x x)不能用初等函数表示不能用初等函数表示不能用初等函数表示不能用初等函数表示例如函数例如函数:考虑一个实际问题考虑一个实际问题考虑一个实际问题考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的平整的铝板压制而成的平整的铝板压制而成的平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长4 4英尺英尺,每个波纹的每个波纹的高度高度(从中心线从中心线)为为1 1英寸英寸,且每个波纹以近且每个波纹以近似似2 2英寸为一个周期英寸为一个周期.求制做一块波纹求制做一块波纹瓦所需铝板的长度瓦所需铝板的长度L.L.这个问题就是要求由函数这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定给定的曲线的曲线,从从x=0到到x=48英寸间的英寸间的弧长弧长L.由微积分学我们知道由微积分学我们知道由微积分学我们知道由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分上述积分称为第二类椭圆积分上述积分称为第二类椭圆积分上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法它不能用普通方法它不能用普通方法它不能用普通方法来计算来计算来计算来计算.2 2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式数表示成有限形式,但表达式相当复杂但表达式相当复杂,计计算极不方便算极不方便.例如函数例如函数并不复杂并不复杂,但它的原函数却但它的原函数却十分复杂十分复杂:3.3.f(x x)没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式:x12345f(x)44.5688.5 这些都说明这些都说明,通过原函数来计算积分有它的通过原函数来计算积分有它的局限性局限性,因而因而,研究关于积分的数值方法具有很研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义重要的实际意义.求积公式及其代数精度求积公式及其代数精度 求积公式的概念求积公式的概念积分值积分值 在几何上可解释为由在几何上可解释为由x=a,x=b,y=0和和 y=f(x)所围所围成的成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积.积分计算之所以有困难，就积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的是曲的.依据依据积分中值定理积分中值定理,对于连续函数对于连续函数f(x),在在a,b内存在一点内存在一点,使得使得 称称f()为区间为区间a,b的平均高度的平均高度.问题在于问题在于点点的具体位置一般是不知道的的具体位置一般是不知道的.这样这样,只要只要对平均高度对平均高度f()提供一种提供一种算法算法,相应地便获相应地便获得一种得一种数值求积方法数值求积方法.左矩形求积公式左矩形求积公式 右矩形求积公式右矩形求积公式 中矩形求积公式中矩形求积公式此外此外,众所周知的众所周知的梯形公式梯形公式:I(f)(b-a)f(a)+f(b)/2可以看作用可以看作用 a,b点点的平均的平均值值 f(a)+f(b)/2 y=f(x)abyx(a+b)/2aby=f(x)yab Simpson公式公式(a+b)/2ab(a+b)/2Simpson公式是以函数公式是以函数f(x)在在a,b,(a+b)/2这三点的函这三点的函数值数值f(a),f(b),的加权平均值的加权平均值 而获得的一种数值积分方法。而获得的一种数值积分方法。更一般地更一般地,取区间取区间a,b内内n+1个点个点 xi,(i=0,1,2,n)处的高度处的高度f(xi)(i=0,1,n)通过通过加权平加权平均均的方法近似地得出平均高度的方法近似地得出平均高度f(),这类这类求求积积方法称方法称为为机械求机械求积积:或写成或写成:数值积分公式数值积分公式求积系数求积系数 求积节点求积节点(1)先用某个简单函数先用某个简单函数 近似逼近近似逼近f(x),用用 代替原被代替原被积函数积函数f(x)，即，即 以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数函数 应对应对f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易计算其积并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计且又容易计算积分算积分,因此将因此将 选取为插值多项式选取为插值多项式,这样这样f(x)的积的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替分就可以用其插值多项式的积分来近似代替 插值型求积公式插值型求积公式 在积分区间在积分区间a,b 上上取取n+1个节点个节点xi，i=0,1,2,n,作作f(x)的的n次代数插值多项式次代数插值多项式（拉格朗（拉格朗日插值公式）日插值公式）:则有则有 为插值余项为插值余项这里这里取取称称(4)式为插值型求积公式式为插值型求积公式,其中其中求积系数求积系数Ak由由(5)式确定式确定.(4)(5)Ak由由 节点节点 决定，决定，与与 f(x)无关。无关。误误 差差由于闭区间由于闭区间a,ba,b上的连续函数可用多项式逼近，上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。为此给出以下定义。定义定义 （代数精度）（代数精度）设求积公式对于一切次数小于设求积公式对于一切次数小于等于等于m的多项式的多项式(是准确的，而对于次数为是准确的，而对于次数为m+1+1的多项式是不准确的多项式是不准确的，则称该求积公式具有的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数次代数精度（简称代数精度）精度）由定义可知，若求积公式的代数精度为由定义可知，若求积公式的代数精度为n，则求积系数则求积系数 应满足线性方程组：应满足线性方程组：或或)这是关于这是关于 的线性方程组，其系数矩阵的线性方程组，其系数矩阵是范得蒙矩阵是范得蒙矩阵,当当互异时非奇异互异时非奇异,故故 有唯一解。有唯一解。例例4.1 设积分区间设积分区间a,b为为0,2，取，取 时时,分别用梯形和分别用梯形和Simpson公式公式 计算其积分结果并与准确值进行比较计算其积分结果并与准确值进行比较解解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示较如下表所示 f(x)1 x x2 x3 x4 ex 准确值准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式梯形公式 2 2 4 8 16 8.389 Simpson公式公式 2 2 2.67 4 6.67 6.421 从表中可以看出从表中可以看出,当当f(x)是是 时时,辛卜辛卜生公式比梯形公式更精确生公式比梯形公式更精确 一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，次代数精度，Simpson公式有公式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证 取取f(x)=1时，时，两端相等两端相等 取取f(x)=x时时,取取f(x)=x2 时时,两端不相等两端不相等 所以梯形公式只有所以梯形公式只有1 1次代数精度。次代数精度。两端相等两端相等 例例4 4.2 试确定一个至少具有试确定一个至少具有2次代数精度的公式次代数精度的公式 解解:要使公式具有要使公式具有2 2次代数精度次代数精度,则对则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组。求积公式准确成立，即得如下方程组。解之得，解之得，所求公式为：所求公式为：例例4 4.3 试确定求积系数试确定求积系数A,B,C A,B,C 使使 具有最高的代数精度具有最高的代数精度解解:分别取分别取f(x)=1,x,x2 使求积公式准确成立使求积公式准确成立,即即 得如下方程组。得如下方程组。所得求积公式为：所得求积公式为：对于对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立都准确成立,对于对于f(x)=x4 就不准确就不准确了，所以此求积公式了，所以此求积公式 3 次代数精度。次代数精度。由于由于n+1节点的插值求积公式至少有节点的插值求积公式至少有n次代数精次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如的代数精度。例如 插值求积公式插值求积公式 有三个节点，是否有有三个节点，是否有3次代数精度呢？将次代数精度呢？将f(x)=x3代入公式两端，左端和右端都等于代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式公式两端严格相等，再将两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。次代数精度。可以验证可以验证,对于对于f(x)=1,x时公式两端相等时公式两端相等,再将再将f(x)=x2代入公式代入公式 左端左端例例4.4 考察求积公式考察求积公式两端不相等两端不相等,所以该求积公式具有所以该求积公式具有 1 次代数精度次代数精度.三个节点不一定具有三个节点不一定具有2次代数精度，次代数精度，右端右端的代数精度的代数精度例例4.5 给定求积公式如下：给定求积公式如下：试证此求积公式是插值型的求积公式试证此求积公式是插值型的求积公式 证证:设设 ,则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的 LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。是插值型求积公式。插值型求积公式为插值型求积公式为 例例4.6 求证求证不是插值型的不是插值型的证明证明:设设 x0=-1,x1=0,x2=1,A0=1/2,A1=1,A2=1/2 则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的Lagrange插值插值 基函数为基函数为 例例4.7 给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度数精度，并指出其代数精度解：令求积公式对解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确成立，则有准确成立，则有解之得解之得其代数精度至少为其代数精度至少为2,将将f(x)=x3代入求积公式两端相代入求积公式两端相等等,而将而将f(x)=x4代入求积公式两端不相等代入求积公式两端不相等,所以其代数所以其代数精度为精度为3次次 例例 4.8 确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度使其具有尽可能高的代数精度解：不妨设解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数设所求公式的代数 精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即其中其中h=b-a,令令f(x)=x3代入上式代入上式,两端不等两端不等,说明求积说明求积公式只有公式只有2次代数精度。次代数精度。解之得：解之得：构造插值求积公式有如下特点：构造插值求积公式有如下特点：(1)复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分(2)求积系数求积系数Ak只只与积分区间及节点与积分区间及节点xk有关有关，而与被，而与被积函数积函数f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)如何，预先算出如何，预先算出Ak的值的值(3)n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度次代数精度(4)求积系数之和求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性 (1)(1)在积分区间在积分区间a,ba,b上选取节点上选取节点x xk k(2)(2)求出求出f(xf(xk k)及利用及利用 或解关于或解关于A Ak k的线性方程组求出的线性方程组求出A Ak k，这样，这样 就得到了就得到了(3)利用利用f(x)=xn,验算代数精度验算代数精度 构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤例例4.9 对对 构造一个至少有构造一个至少有3次代数精度次代数精度 的求积公式的求积公式解解:3次代数精度需次代数精度需4个节点个节点,在在0,3上取上取0,1,2,3四个四个 节点构造求积公式节点构造求积公式确定求积系数确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式利用求积系数公式因为求积公式有因为求积公式有4个节点，所以至少具有个节点，所以至少具有3次代数精次代数精度，只需将度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有代入两端不相等，所以只有3次代数精度次代数精度求积公式的收敛性和稳定性求积公式的收敛性和稳定性