控制工程基础-第二章-徐.ppt

2、控制系统的数学模型2.1 数学模型的概念数学模型的概念2.2控制系统的时域模型控制系统的时域模型2.3线性系统的频域模型线性系统的频域模型2.4方框图与信号流图方框图与信号流图2.5状态空间与状态空间表达式状态空间与状态空间表达式2.6控制系统不同模型间的关系控制系统不同模型间的关系4/23/20231北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系本章学习要点数学模型的相关概念；数学模型的相关概念；简单物理系统的微分方程的列写；简单物理系统的微分方程的列写；非线性模型的线性化方法；非线性模型的线性化方法；传递函数和传递函数矩阵的概念；传递函数和传递函数矩阵的概念；结构图和信号流图的基本概念及变换与化简；结构图和信号流图的基本概念及变换与化简；状态空间与状态空间表达式；状态空间与状态空间表达式；控制系统不同模型形式及其之间的转换。控制系统不同模型形式及其之间的转换。4/23/20232北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系控制系统分析控制系统分析2.1 控制系统的运动方程设计控制系统应完成哪些工作？设计控制系统应完成哪些工作？控制对象运动规律的描述控制对象运动规律的描述控制对象运动规律定性分析控制对象运动规律定性分析控制对象运动规律定量分析控制对象运动规律定量分析控制系统的设计与综合控制系统的设计与综合控制对象控制对象和和控制系统控制系统的的数学模型数学模型本章任务4/23/20233北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程控制系统模型的作用控制系统模型的作用网络函数的例子：网络函数的例子：y(t)u(t)系统（网络）系统（网络）其中：其中：y1(t)对应于自由运动对应于自由运动 y2(t)对应于强迫运动对应于强迫运动4/23/20234北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程什么是什么是控制系统控制系统（对象）的（对象）的数学模型数学模型？模型的定义：模型的定义：系统输入变量与输出变量之间的系统输入变量与输出变量之间的动力学特性动力学特性（运动特性运动特性）描述描述，称为系统的模型。如果用数学表达式描述，则称为系统，称为系统的模型。如果用数学表达式描述，则称为系统的的数学模型数学模型。简单的说：简单的说：数学模型数学模型就是描述输出变量与输入变量之间对就是描述输出变量与输入变量之间对应关系的应关系的数学表达式。数学表达式。数学模型的分类：数学模型的分类：按运动特性分类按运动特性分类 静态模型静态模型在静态条件下（即变量不随时间变化），描在静态条件下（即变量不随时间变化），描述变量之间关系的代数方程述变量之间关系的代数方程(组组)。动态模型动态模型描述系统运动规律的模型，一般用微分方程描述系统运动规律的模型，一般用微分方程描述。描述。4/23/20235北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程按定义域分类按定义域分类 时域模型时域模型 微分方程、差分方程和状态方程；微分方程、差分方程和状态方程；复频域模型复频域模型传递函数、结构图、频率特性传递函数、结构图、频率特性建立系统数学模型的方法建立系统数学模型的方法机理分析方法机理分析方法（解析法）（解析法）应用物理、化学、电学、应用物理、化学、电学、机械运动等相关定律，通过机理分析的方法建立系机械运动等相关定律，通过机理分析的方法建立系统的数学模型。统的数学模型。系统辨识方法系统辨识方法（实验法）（实验法）基于系统输入输出的实基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型的方法验数据来建立数学模型的方法4/23/20236北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程几个相关的概念几个相关的概念系统的运动：系统输出变量（跟随输入变量）系统的运动：系统输出变量（跟随输入变量）的变化过程，称为系统的运动。的变化过程，称为系统的运动。描述系统运动过程的数学表达式，称为系统的描述系统运动过程的数学表达式，称为系统的运动方程运动方程既（控制系统的）数学模型。既（控制系统的）数学模型。下面通过几个例子来介绍控制系统数学模型建下面通过几个例子来介绍控制系统数学模型建立的过程（微分方程）立的过程（微分方程）（动态系统的）（动态系统的）4/23/20237北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程解析法建立系统微分方程的步骤解析法建立系统微分方程的步骤1、确定系统和各部件的输入变量与输出变量，、确定系统和各部件的输入变量与输出变量，及信号传递关系。及信号传递关系。2、根据物理化学等定律列写各部件原始方程。、根据物理化学等定律列写各部件原始方程。3、列出原始方程式中各中间变量的关系式。、列出原始方程式中各中间变量的关系式。4、将上述关系式代入原始方程，并消去中间、将上述关系式代入原始方程，并消去中间 变量，得到最终关于输出变量，得到最终关于输出输入间的关系输入间的关系 方程式。方程式。既最终的数学模型既最终的数学模型4/23/20238北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程研究研究RLCRLC电路，试找出输出电压电路，试找出输出电压u uc c(t)(t)随输入随输入电压电压u ur r(t)(t)变化的规律。变化的规律。解解例例2.1.12.1.11、确定输入、输出变量、确定输入、输出变量输出变量；输出变量；uc(t),输入变量输入变量ur(t).2、列写方程、列写方程3、中间变量、中间变量i(t)4、消去中间变量、消去中间变量4/23/20239北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程代入原始方程，有：代入原始方程，有：R R、C C、L L是已知是已知的，初始的，初始u uc c(0)(0)确确定时定时,给定给定u ur r(t)(t)就就可以确定可以确定u uc c(t)(t)如果令如果令 T1=LC,T2=RC则有：则有：4/23/202310北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程如图：由质量为如图：由质量为mm的物体、弹性系数为的物体、弹性系数为K K的的弹簧和阻尼系数为弹簧和阻尼系数为B B的系统，试找出物体的的系统，试找出物体的位移位移x(t)x(t)与外力与外力F(t)F(t)之间的关系。之间的关系。解解例例2.1.22.1.21、输入变量、输入变量 f(t),输出变量输出变量x(t)2、原始方程、原始方程3、中间变量、中间变量4/23/202311北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程4、代入原始方程，得：、代入原始方程，得：mm、K K、B B是已知是已知的，初始的，初始x(0)x(0)确确定时定时,给出给出f(t)f(t)就就可以确定可以确定x(t)x(t)如果令：如果令：T1=,T2=,Kr=则有：则有：4/23/202312北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程如图，直流他励电动机；如图，直流他励电动机；u ua a是外加的输入是外加的输入变量电枢电压（伏），变量电枢电压（伏），mm表示电动机的角表示电动机的角转速（弧度转速（弧度/秒），为输出量。讨论他们之秒），为输出量。讨论他们之间的关系。间的关系。例例2.1.32.1.34/23/202313北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系信号传递分析信号传递分析a 电枢回路环节：电枢回路环节：b 电动机环节：电动机环节：（机械运动与电磁偶合）（机械运动与电磁偶合）2.1 控制系统的运动方程解解2、列写原始方程、列写原始方程电枢回路方程电枢回路方程转动惯量方程转动惯量方程1，输入变量，输入变量 ,输出变量输出变量4/23/202314北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程在上述表达式中：在上述表达式中：电枢回路总电阻电枢回路总电阻电枢回路总电感电枢回路总电感电动机的反电势电动机的反电势电动机转动惯量电动机转动惯量电动机电磁力矩电动机电磁力矩电动机负载转矩电动机负载转矩电机轴上的摩擦系数电机轴上的摩擦系数4/23/202315北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程 3、中间变量关系式、中间变量关系式 根据电机学原理有两个关系式根据电机学原理有两个关系式式中：式中：电动机转矩系数电动机转矩系数 电势系数电势系数4、消去中间变量、消去中间变量由转动惯量方程式，有：由转动惯量方程式，有：4/23/202316北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程得到：得到：代入电枢回路方程有：代入电枢回路方程有：4/23/202317北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程 在空载时有在空载时有 RaRa、LaLa、JmJm、fmfm、KmKm、KeKe是已知是已知参数，如果初始参数，如果初始x(0)x(0)确定时确定时,已知已知f(t)f(t)就可以确定就可以确定x(t)x(t)如果令：如果令：则：则：则有：则有：4/23/202318北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程注意观察三个示例的微分方程注意观察三个示例的微分方程可以用一个共同的表达式来表示可以用一个共同的表达式来表示4/23/202319北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程注意观察三个示例的微分方程注意观察三个示例的微分方程许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其物理背景可能完全不一样，物理背景可能完全不一样，但是可以用一个相同但是可以用一个相同运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即它们具有相同的统而只分析其数学表达式，即它们具有相同的数学数学模型模型。这类系统被称为。这类系统被称为相似系统相似系统。可以通过求解得到可以通过求解得到ur(t)uc(t)，f(t)x(t)之间内在运之间内在运动的关联关系、分析系统的运动特性。动的关联关系、分析系统的运动特性。进而改造系统进而改造系统-选择适当的选择适当的R、L、C和和m、B、K得得到希望的运动规律。到希望的运动规律。4/23/202320北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程问题：问题：从严格意义上讲，绝大多数系统的数学模型都从严格意义上讲，绝大多数系统的数学模型都不是线性模型（即系统并非是线性系统）。事实上，不是线性模型（即系统并非是线性系统）。事实上，任何一个元件总是存在一定程度的非线性。即使假设任何一个元件总是存在一定程度的非线性。即使假设具有线性的特性，也是局限在一定的范围内。具有线性的特性，也是局限在一定的范围内。几几种种常常见见的的非非线线性性非线性问题讨论非线性问题讨论4/23/202321北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程非线性系统的表示非线性系统的表示非线性系统多用曲线表示：非线性系统多用曲线表示：若用数学表示一般若用数学表示一般表示如下：表示如下：对于输入输出连续变化对于输入输出连续变化的非线性系统（或特性）：的非线性系统（或特性）：动态：动态：y(n)=f(t;y,y(1),y(n),x,x(1),x(m)静态：静态：y=f(x)4/23/202322北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系对于输入输出非连续的非线性系统（或特性）对于输入输出非连续的非线性系统（或特性）静态静态条件条件2条件条件1动态：动态：条件条件2条件条件1或或4/23/202323北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程两类非线性系统两类非线性系统本质非线性和非本质非线性本质非线性和非本质非线性如果令：如果令：则有：则有：非线性非线性线性线性例：例：通过变量代换，从非线性方程变成了线性方程通过变量代换，从非线性方程变成了线性方程4/23/202324北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程本质非线性的定义：本质非线性的定义：非线性方程，非线性方程，不能通过变量代换的方式，不能通过变量代换的方式，从非线性方程转变为线性方程的，称为本质非线性方程，从非线性方程转变为线性方程的，称为本质非线性方程，与之对应的系统，称为本质非线性系统。与之对应的系统，称为本质非线性系统。相反：则称为非本质非线性系统相反：则称为非本质非线性系统4/23/202325北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程非非线线性微分方程的求解很困性微分方程的求解很困难难。在一定条件下在一定条件下，可以，可以近似地近似地转转化化为线为线性微分方程，可以使系性微分方程，可以使系统统的的动态动态特性特性的分析大的分析大为简为简化。化。实实践践证证明，明，这样这样做能做能够圆满够圆满地解决地解决许许多工程多工程问题问题，有很大的，有很大的实际实际意意义义。线线性化的方法性化的方法 忽忽略略弱弱非非线线性性环环节节：如如果果元元件件的的非非线线性性因因素素较较弱弱或或者者不不在在系系统统线线性性工工作作范范围围以以内内，则则它它们们对对系系统统的的影影响很小，就可以忽略。响很小，就可以忽略。台台劳劳级级数数展展开开法法(小小偏偏差差法法，切切线线法法，增增量量线线性性化化法法)：适适用用前前提提假假设设在在控控制制系系统统的的整整个个调调节节过过程程中中，各各个个元元件件的的输输入入和和输输出出量量只只是是在在平平衡衡点点附附近近作作微小微小变变化化。4/23/202326北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程忽略二次以上的各项，上式可以写成：忽略二次以上的各项，上式可以写成：A点为平衡点点为平衡点(x0,y0)，函数在平，函数在平衡点处连续可微，则可将函衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳数在平衡点附近展开成台劳级数：级数：其中：其中：非线性元件的线性化数学模型非线性元件的线性化数学模型4/23/202327北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程平平均均斜斜率率法法：如如果果一一非非线线性性元元件件输输入入输输出出关关系系如如下下图图所所示示，此此时时不不能能台台劳劳级级数数展展开开法法，可可用用平平均均斜斜率率法法得得线线性性化化方方程程为为：其中：其中：4/23/202328北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程注意：注意：这这几种方法只适用于一些非几种方法只适用于一些非线线性程度性程度较较低的系低的系统统，对对于某些于某些严严重的非重的非线线性不能作性不能作线线性化性化处处理，一般理，一般用相平面法及描述函数法用相平面法及描述函数法进进行分析。行分析。(此部分超出本此部分超出本课课程的内容，可参考非程的内容，可参考非线线性控制的章性控制的章节节或教材。或教材。)4/23/202329北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程水位自动控制系统水位自动控制系统：输入量为：输入量为QQ1 1,输出量为水位输出量为水位H H，求水箱的微分，求水箱的微分方程。水箱的横截面积为方程。水箱的横截面积为C C，R R表表示流阻。示流阻。例例2.1.42.1.44/23/202330北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程解解在在dtdt时间中，水箱内流体变化量时间中，水箱内流体变化量CdHCdH。则：则：根据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有：根据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有：其中比例系数其中比例系数：显然这个式子为非线性关系显然这个式子为非线性关系,在工作点在工作点H H0 0附近进行台劳级数附近进行台劳级数展开。取一次项得：展开。取一次项得：其中：其中：水箱的线性化微分方程水箱的线性化微分方程:4/23/202331北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程说明说明非线性系统的线性化方程只在工作点附近才非线性系统的线性化方程只在工作点附近才成立成立。工作点不同，所得线性化方程的线性化系数工作点不同，所得线性化方程的线性化系数不同，即线性化方程不同。不同，即线性化方程不同。多变量情况处理类似。多变量情况处理类似。整理得水箱的标准线性化微分方程为整理得水箱的标准线性化微分方程为:4/23/202332北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.1 控制系统的运动方程补充习题补充习题1：试求图中以电枢电压试求图中以电枢电压ua为输入量，以电为输入量，以电动机转角动机转角为输出量的为输出量的微分方程形式微分方程形式和和传递函数传递函数。作业：作业：p14，1-1，1-54/23/202333北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复数域模型2.2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2.2.2 传递函数传递函数2.2.3 传递函数矩阵传递函数矩阵2.2.4 典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数问题：问题：1）微分方程求解比较困难，不利于工程实现；）微分方程求解比较困难，不利于工程实现；2）有时分析控制系统的性质时不必求解方程；）有时分析控制系统的性质时不必求解方程；是否有更方便的形式描述系统？是否有更方便的形式描述系统？4/23/202334北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数间函数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。换为复频域的代数方程以便求解。对应对应 时域函数时域函数f f(t t)()(原函数原函数)复频域函数复频域函数F(s)(F(s)(象函数象函数)s s为复频率为复频率2.2.1 2.2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换L L4/23/202335北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型正变换正变换反变换反变换正变换正变换反变换反变换原函数原函数f f(t)(t)用小写字母表示，如用小写字母表示，如 i i(t),(t),u u(t)(t)。象函数象函数F F(s)(s)用大写字母表示用大写字母表示,如如I I(s)(s)，U U(s)(s)。12象函数象函数F F(s)(s)存在的条件：存在的条件：？拉氏变换的定义拉氏变换的定义t t 0 0 时时 ,f,f(t t)=0)=0L LL L4/23/202336北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型如果存在有限常数如果存在有限常数MM和和c c使函数使函数f f(t t)满足：满足：则则 总可以找到一个合适的总可以找到一个合适的s s值使上式积分为有限值，值使上式积分为有限值，即即f f(t t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)F(s)总存在？总存在？也称为收敛因子也称为收敛因子4/23/202337北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换 (1)(1)单位阶跃函数的象函数单位阶跃函数的象函数(2)(2)单位冲激函数的象函数单位冲激函数的象函数(3)(3)指数函数的象函数指数函数的象函数L LL LL L4/23/202338北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型(4)(4)正正弦弦函数的像函数函数的像函数(5)(5)余弦函数的象函数余弦函数的象函数L LL L4/23/202339北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质线性性质线性性质时间比例性质时间比例性质(相似相似)L LL LL LL LL L4/23/202340北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型微分性质微分性质时域导数性质时域导数性质L LL LL LL L频域导数性质频域导数性质L LL L)()(sFtf=设：设：4/23/202341北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型积分性质积分性质延迟性质延迟性质频域延迟频域延迟初值定理：初值定理：f f(t t)在在t t=0=0处无冲激则处无冲激则终值定理：终值定理：初值定理和终值定理初值定理和终值定理L LL LL LL LL L4/23/202342北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型卷积定理卷积定理L LL LL L4/23/202343北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型已知微分方程如下，试求初值皆为零时输已知微分方程如下，试求初值皆为零时输出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。解解例例2.2.12.2.1初值皆为零，即初值皆为零，即由微分性质对方程两边作拉氏变换：由微分性质对方程两边作拉氏变换：4/23/202344北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型拉普拉斯反变换的求法拉普拉斯反变换的求法(1)(1)按定义按定义(2)(2)对简单形式的对简单形式的F(s)F(s)可以查拉氏变换表得原函数可以查拉氏变换表得原函数(p28)(p28)f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1Sint1(t)1/sCostt1/(s+a)4/23/202345北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型(3)(3)利用拉氏变换的性质利用拉氏变换的性质解解例例2.2.52.2.5由延迟性质知：由延迟性质知：L L(4)(4)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项的组合4/23/202346北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型利用部分分式可将利用部分分式可将F(s)分解为：分解为：设象函数的一般形式：设象函数的一般形式：待定常数待定常数若nm,则需将F(s)化成真分式4/23/202347北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型待定常数的确定：待定常数的确定：方法方法1 1方法方法2 2求极限的方法求极限的方法4/23/202348北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型求如下像函数的原函数。求如下像函数的原函数。解解解法解法1 1解法解法2 2原函数的一般形式：原函数的一般形式：例例2.2.22.2.24/23/202349北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型一对共轭复根为一分解单元设：一对共轭复根为一分解单元设：4/23/202350北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型A和和B的求法的求法方法方法1方法方法2p1，p2作单根处理作单根处理再令：实部、虚部分别相等，求得再令：实部、虚部分别相等，求得 A和和B4/23/202351北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系因为因为p，p共轭，所以共轭，所以K，K也共轭。也共轭。利用性质利用性质2.2 线性系统的复频域模型只需按单根求一次只需按单根求一次K1或或K2求出求出K1后，根据性质有：后，根据性质有：再根据下式，求得再根据下式，求得A和和B4/23/202352北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型解解例例2.2.32.2.34/23/202353北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型其中：其中：4/23/202354北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系4/23/202355北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型解解例例2.2.42.2.44/23/202356北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型1.1.n=m 时将时将F(s)化成真分式和多项式之和化成真分式和多项式之和小结小结:由由F(s)求求f(t)的步骤的步骤2.2.求真分式分母的根，确定分解单元求真分式分母的根，确定分解单元3.3.将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数4.4.对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。作业：作业：p81，2-5，2-74/23/202357北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型解解例例2.2.62.2.64/23/202358北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型2.2.2 2.2.2 系统的传递函数系统的传递函数（1 1）定义：）定义：单输入单输出线性定常动态对象的传递单输入单输出线性定常动态对象的传递函数是零初值下该对象的输出量的拉氏的变换象函函数是零初值下该对象的输出量的拉氏的变换象函数与输入量的拉氏变换象函数之比。数与输入量的拉氏变换象函数之比。回答本节开始的问题回答本节开始的问题4/23/202359北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型RLCRLC电路电路取取u ur r为输入，为输入，u uc c为输出，得为输出，得:拉氏变换得：拉氏变换得：则传递函数为：则传递函数为：解解例例2.2.72.2.74/23/202360北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型解解根据牛顿第二定律，得根据牛顿第二定律，得取外力取外力f(t)f(t)为输入；位移为输入；位移x(t)x(t)为输出为输出得微分方程：得微分方程：拉氏变换后得：拉氏变换后得：传递函数为：传递函数为：例例2.2.82.2.84/23/202361北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型 一般有一般有nm nm 同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。能会有不同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。部作用等条件无关。（2）传递函数的性质）传递函数的性质 4/23/202362北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型（3）传递函数的常用表示形式）传递函数的常用表示形式 时间常数形式时间常数形式根的形式根的形式4/23/202363北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型与上述传递函数有关的几个重要概念：与上述传递函数有关的几个重要概念：特征多项式特征多项式：G(s)G(s)的分母多项式的分母多项式D(s)D(s)特征方程特征方程：D(s)=0D(s)=0极点极点/特征根特征根：D(s)=0D(s)=0的根的根零点零点：N(s)=0N(s)=0的根的根零极点对消零极点对消系统的阶数系统的阶数：max(n,m)max(n,m)，（一般，（一般nmnm）系统的类型系统的类型放大系数放大系数系统的放大系数系统的放大系数 K K根轨迹放大系数根轨迹放大系数 KgKg4/23/202364北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型2.2.3 传递函数矩阵传递函数矩阵将传递函数的概念推广到多输入多输出系统，传递将传递函数的概念推广到多输入多输出系统，传递函数函数G（s）推广为传递函数矩阵）推广为传递函数矩阵G（s）。设系统。设系统有有p个输入量、个输入量、q个输出量如下图。个输出量如下图。u1u2up。y1y2yq。4/23/202365北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型如图，直流他励电动机；如图，直流他励电动机；u ua a是外加的输入是外加的输入变量电枢电压（伏），变量电枢电压（伏），mm表示电动机的角表示电动机的角转速（弧度转速（弧度/秒），为输出量。讨论他们之秒），为输出量。讨论他们之间的关系。间的关系。例例2.2.92.2.94/23/202366北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型由例系统运动方程为：由例系统运动方程为：解解4/23/202367北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型2.2.4 典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数元部件名称元部件名称传递函数传递函数电位器电位器测速电机测速电机电加热炉电加热炉单容水槽单容水槽双容水槽双容水槽（1 1）典型元部件典型元部件(有纯延迟有纯延迟)(也可有延迟，略也可有延迟，略)4/23/202368北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.2 线性系统的复频域模型 控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些基本部件称为典型环节。基本部件称为典型环节。包括：包括：比例环节比例环节、微分环微分环节节、积分环节积分环节、比例微分环节比例微分环节、一阶惯性环节一阶惯性环节、二二阶振荡环节阶振荡环节和和延迟环节延迟环节。（2 2）典型环节典型环节作业：作业：p81，2-84/23/202369北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含方框和一些信号流向线组成，它包含4种基本单元。种基本单元。2.3.1 系统动态结构图系统动态结构图 1）信号线）信号线 2）引出点（或测量点）引出点（或测量点）3）比较点（或综合点）比较点（或综合点）4）方框（或环节）方框（或环节）4/23/202370北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图速度控制系统速度控制系统例例2.3.12.3.14/23/202371北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图解解（1）比较环节和速度调节器环节）比较环节和速度调节器环节式中：式中：4/23/202372北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图式中式中整理得整理得 4/23/202373北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图（2）速度反馈的传递函数）速度反馈的传递函数 式中：式中：为速度反馈系数为速度反馈系数（3）电动机及功率放大装置）电动机及功率放大装置4/23/202374北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图（4）系统的动态结构图）系统的动态结构图 4/23/202375北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图2.3.2 系统的等效变换系统的等效变换典型连接的等效传递函数典型连接的等效传递函数(1)(1)串联串联4/23/202376北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图(2)并联并联4/23/202377北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图(3)反馈连接反馈连接4/23/202378北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图相加点及分支点的换位运算相加点及分支点的换位运算原则原则:换位前后的输入换位前后的输入/输出信号间关系不变。输出信号间关系不变。(1)(1)相加点后移相加点后移4/23/202379北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图(2)相加点前移相加点前移(3)分支点后移分支点后移4/23/202380北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图(4)分支点前移分支点前移(5)分支点换位分支点换位 4/23/202381北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图(6)相加点变位相加点变位4/23/202382北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图(7)相加点和分支点一般不能变位相加点和分支点一般不能变位 4/23/202383北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图有交叉局部反馈系统有交叉局部反馈系统 解解例例2.3.22.3.24/23/202384北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图系统开环传递函数系统开环传递函数 定义：闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差定义：闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用义为系统的开环传递函数，用 表示。表示。4/23/202385北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图系统的开环传递函数是正向通道传递函数系统的开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数的乘积。与反向通道传递函数的乘积。正向通道传递函数正向通道传递函数 反向通道传递函数反向通道传递函数4/23/202386北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图无交叉局部反馈系统无交叉局部反馈系统 解解例例2.3.32.3.34/23/202387北京科技大学信息工程学院自动化系北京科技大学信息工程学院自动化系2.3 方框图与信号流图系统闭环传递函数系统闭环传递函数