数学精神与方法第九讲(在修改中).ppt

数学精神与方法数学精神与方法第九讲第九讲 拓扑眼光看世界（二）拓扑眼光看世界（二）关于物理学空时概念的评述关于物理学空时概念的评述v我们对于运动在空间和时间连续统中的物质有着来自直觉的观念，但是我们对于运动在空间和时间连续统中的物质有着来自直觉的观念，但是其中每一个观念都是难以捉摸的。其中每一个观念都是难以捉摸的。v空间的广延性、时间的流逝、物质的惯性和运动，其中没有一个概念是空间的广延性、时间的流逝、物质的惯性和运动，其中没有一个概念是完全独立于其它概念的，它们的定义互相依赖，而且在一定程度上是集完全独立于其它概念的，它们的定义互相依赖，而且在一定程度上是集体性的。体性的。v爱因斯坦的相对论表明了，空时是什么的问题，在某种程度上与观察者爱因斯坦的相对论表明了，空时是什么的问题，在某种程度上与观察者有关，而且空间和时间都不是独立于物质而存在的。从概念观点上看，有关，而且空间和时间都不是独立于物质而存在的。从概念观点上看，使情况更为复杂的是，量子物理告诉我们，观察者要影响观察结果。因使情况更为复杂的是，量子物理告诉我们，观察者要影响观察结果。因此，似乎先验地独立于观察者而存在的空间和时间事实上不仅与牛顿的此，似乎先验地独立于观察者而存在的空间和时间事实上不仅与牛顿的绝对性观念不相容，而且与人类的客观性理想也不相容。绝对性观念不相容，而且与人类的客观性理想也不相容。v物理学是一门充满着概念上的陷阱的学科，其刻意追求的科学客观性事物理学是一门充满着概念上的陷阱的学科，其刻意追求的科学客观性事实上已成为一个难以达到的目标。实上已成为一个难以达到的目标。当测量当测量、观察不可能客观时，还有什么是可信的？观察不可能客观时，还有什么是可信的？拓扑眼中的一维世界拓扑眼中的一维世界v观察蚂蚁搬家，候鸟迁徙，两者运动的轨迹都给出了一维空间的图景。一维空间，通常我观察蚂蚁搬家，候鸟迁徙，两者运动的轨迹都给出了一维空间的图景。一维空间，通常我们认为，就是欧几里得几何中的们认为，就是欧几里得几何中的“直线直线”令人疑惑，令人疑惑，这是物理世界中的这是物理世界中的“直线直线”吗？吗？v“每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。态。”（摘自牛顿的自然哲学之数学原理）（摘自牛顿的自然哲学之数学原理）看来，物理世界中的看来，物理世界中的“直线直线”，就是物体没有受到外力作用时，它运动的轨迹。问题是：有，就是物体没有受到外力作用时，它运动的轨迹。问题是：有没有不受外力作用的物体？若有，它所做的匀速直线运动是相对于那个参照物的？没有不受外力作用的物体？若有，它所做的匀速直线运动是相对于那个参照物的？v何谓何谓“直线直线”？从观念上讲，？从观念上讲，“直直”的概念离不开的概念离不开“运算运算”（尤指线性运算），（尤指线性运算），“运算运算”需先对参与运算的量进行需先对参与运算的量进行“测量测量”，而，而“测量测量”永远摆脱不了永远摆脱不了“误差误差”，更不必说，更不必说“测量测量”会不可避免地对被测对象产生影响（所测的必然不是要测的），因此，我们原则上没办会不可避免地对被测对象产生影响（所测的必然不是要测的），因此，我们原则上没办法知道物理上的直线是什么，当然，也就从来没有真正弄明白过一维空间是什么！法知道物理上的直线是什么，当然，也就从来没有真正弄明白过一维空间是什么！我们能否撇开我们能否撇开“测量测量”来考量物理世界中的一维空间呢？来考量物理世界中的一维空间呢？以拓扑的眼光来考察一维空间以拓扑的眼光来考察一维空间或许，这更接近于所要理解之对象的本或许，这更接近于所要理解之对象的本质质不愧为是一种明智之举。在拓扑眼看来，一维空间可用一维的无边连通流不愧为是一种明智之举。在拓扑眼看来，一维空间可用一维的无边连通流形作为数学模型来加以描述。一维的无边连通流形只有两类：形作为数学模型来加以描述。一维的无边连通流形只有两类：一维欧氏空间一维欧氏空间E1单单位位园园周周S1问题：作为物理世界一维空间的数学描述，问题：作为物理世界一维空间的数学描述，选选E1好，还是选好，还是选S1好？好？在拓扑眼看来：选在拓扑眼看来：选S1比选比选E1好好vE1可以嵌入可以嵌入S1中而成为后者的一个真子空间；中而成为后者的一个真子空间；vS1是紧致而连通的（有界无边），它是是紧致而连通的（有界无边），它是E1的一点紧致化；的一点紧致化；vS1没有与自身同胚的真子空间，而没有与自身同胚的真子空间，而E1无此性质。无此性质。这是这是因为因为实现使实现使E1成为成为S1的真子空间的同胚的真子空间的同胚S1E1S1中的运动中的运动所谓所谓“S1中的运动中的运动”，这里是指，这里是指S1中子空间上的拓扑动力系统。需指出的中子空间上的拓扑动力系统。需指出的是，即便空间是简单的，其上的运动也可能出现很复杂的模式，例如，出现混是，即便空间是简单的，其上的运动也可能出现很复杂的模式，例如，出现混沌运动。因此，对沌运动。因此，对S1中的运动，我们只能限于举两个例子作一点考察。中的运动，我们只能限于举两个例子作一点考察。v有趣的问题是：圆周上的哪种运动可以看作自然运动，即，不受外力作有趣的问题是：圆周上的哪种运动可以看作自然运动，即，不受外力作用的运动？自然运动的观念有存在的必要吗？用的运动？自然运动的观念有存在的必要吗？拓扑眼中的二维世界拓扑眼中的二维世界v在拓扑眼看来，二维空间的合理模型可在紧致的二维无边连通流形中搜在拓扑眼看来，二维空间的合理模型可在紧致的二维无边连通流形中搜寻。紧致的二维无边连通流形称作寻。紧致的二维无边连通流形称作闭曲面闭曲面，其拓扑分类情况远比一维无，其拓扑分类情况远比一维无边连通流形的分类情况复杂。事实上，闭曲面用拓扑眼看，有无穷多类，边连通流形的分类情况复杂。事实上，闭曲面用拓扑眼看，有无穷多类，其分类情况现介绍如下：其分类情况现介绍如下：可定向闭曲面可定向闭曲面不可定向闭曲面不可定向闭曲面S2T22T23T2RP22RP23RP2闭曲面分类定理闭曲面分类定理 任何一个闭曲面必定同胚于且只能任何一个闭曲面必定同胚于且只能同胚于下列曲面之一：同胚于下列曲面之一：S2（可定向）；（可定向）；T2，2T2，3T2，mT2，（可定向）；（可定向）；RP2，2RP2，3RP2，mRP2,（不可定向）。（不可定向）。球面与圆盘球面与圆盘 将两个圆盘沿它们的边界圆周粘合，将两个圆盘沿它们的边界圆周粘合，就得到了球面。就得到了球面。Mobius带及其表示带及其表示交叉帽：交叉帽：Mobius带的一种示意表示带的一种示意表示GermanmathematicianAugustMbiusBorn:17Nov1790inSchulpforta,Saxony(nowGermany)Died:26Sept1868inLeipzig,GermanyMbiuswasthefirsttoattempttheclassificationofsurfaces.Inan1870paperheprovedtheabovetheoremfororientablesurfacessmoothlyimbeddedin3-dimensionalEuclideanspace.环面环面T2与环柄与环柄v在环面上挖去一个圆盘（的内部）得到的就是在环面上挖去一个圆盘（的内部）得到的就是所谓的环柄。所谓的环柄。v在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个环柄在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个环柄的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接，的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个环柄。例如，这种手术称作在该曲面上添加一个环柄。例如，在球面上添加一个环柄，得到环面。在球面上添加一个环柄，得到环面。环面的形变（包志强制作）环面的形变（包志强制作）实射影平面实射影平面RP2的制作的制作v在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个M bius带的边界圆周与该带的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个曲面所开圆洞的边界圆周焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个Mbiusbius带带。例如，在球面上添加一个。例如，在球面上添加一个Mbiusbius带带，得到实射影平面，得到实射影平面RP2。注意，实射影平面。注意，实射影平面RP2是不能嵌入是不能嵌入3维欧氏空间的。维欧氏空间的。这是球面上添加一个交叉帽示意实射影平面Klein瓶瓶2RP2的制作（的制作（1）vKlein瓶事实上不能嵌入瓶事实上不能嵌入3维欧氏空间，这里画出的维欧氏空间，这里画出的Klein瓶是有瓶是有洞的洞的Klein瓶。瓶。Klein瓶的制作（瓶的制作（2）Klein瓶由两个瓶由两个M bius带沿边界圆周粘合而成带沿边界圆周粘合而成The Klein bottle is named after the German mathematician Felix Klein(1849-1925).vBorn:25 April 1849 in Dsseldorf,Prussia(now Germany)Died:22 June 1925 in Gttingen,Germany vFelixKlein is best known for his work in non-euclidean geometry,for his work on the connections between geometry and group theory,and for results in function theory.He was born on 25/4/1849 and delighted in pointing out that each of the day(52),month(22),and year(432)was the square of a prime.闭曲面的制作闭曲面的制作 任何闭曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限任何闭曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限个环柄，或者球面上添加有限个个环柄，或者球面上添加有限个Mbiusbius带。带。这些曲面中的任意两个是不同胚的。这些曲面中的任意两个是不同胚的。球面是平面的一点紧致化球面是平面的一点紧致化问题：作为二维空间的数学模型，选哪种闭曲面为好？问题：作为二维空间的数学模型，选哪种闭曲面为好？从拓扑眼的角度看，选球面从拓扑眼的角度看，选球面S2为好。这是因为为好。这是因为vS2是二维欧氏空间的一点紧致化；是二维欧氏空间的一点紧致化；vS2不能与自己的任何真子空间同胚，特别地，不与不能与自己的任何真子空间同胚，特别地，不与S1同胚；同胚；vS2具有最好的各向同性性质，具体说就是具有最好的各向同性性质，具体说就是:若若c是是S2中的一条简单中的一条简单闭曲线，则闭曲线，则（1）S2c有两个连通分支，而且这两个连通支都同胚于开圆盘；有两个连通分支，而且这两个连通支都同胚于开圆盘；（2）c在在S2中的加宽一定是圆柱面。中的加宽一定是圆柱面。简单闭曲线简单闭曲线-同胚于圆周的曲同胚于圆周的曲线线S2中的运动中的运动现考察现考察S2中的运动，即中的运动，即S2的子空间上的动力系统。的子空间上的动力系统。鞍点焦点中心双切结点单切结点星形结点n维维(n3)空间的理想模型空间的理想模型v对于一维和二维空间，我们从拓扑眼的角度观察，分别选择对于一维和二维空间，我们从拓扑眼的角度观察，分别选择S1和和S2作为作为描述它们的数学模型。在做这样的选择时，我们是做了充分考虑的，因描述它们的数学模型。在做这样的选择时，我们是做了充分考虑的，因为我们知道一维和二维无边连通流形的拓扑分类，因此给出的选择能够为我们知道一维和二维无边连通流形的拓扑分类，因此给出的选择能够通过系统地对比预选对象而做出。对于三维空间，我们自然倾向于选择通过系统地对比预选对象而做出。对于三维空间，我们自然倾向于选择三维球面三维球面S3作为描述它的数学模型。可是，我们有充分的理由做出这样作为描述它的数学模型。可是，我们有充分的理由做出这样的选择吗？的选择吗？v这里产生了一个自然的问题：三维的无边紧致连通流形有哪些拓扑类型这里产生了一个自然的问题：三维的无边紧致连通流形有哪些拓扑类型？针对此问题，一个首要的基本问题是：？针对此问题，一个首要的基本问题是：庞加莱猜想庞加莱猜想如果如果M是一个三维的无边紧致连通流形，并且是单连通是一个三维的无边紧致连通流形，并且是单连通的，那么的，那么M与与S3同胚。同胚。v这是法国数学大师庞加莱于这是法国数学大师庞加莱于1904年提出的猜想。许多数学家曾尝试去证年提出的猜想。许多数学家曾尝试去证明这一猜想；不止一次好像已经成功了，可是并没有真正成功。明这一猜想；不止一次好像已经成功了，可是并没有真正成功。v出乎许多数学家的意料，出乎许多数学家的意料，1961年，美国数学家年，美国数学家S.Smale证明了高维的庞证明了高维的庞加莱猜想。加莱猜想。1982年，美国数学家年，美国数学家M.Freedman又证明了四维的庞加莱猜又证明了四维的庞加莱猜想。他们的结果如下：想。他们的结果如下：Smale定理定理如果如果M是一个是一个n维的无边紧致连通光滑流形，并与维的无边紧致连通光滑流形，并与Sn有有相同的同伦型，那么当相同的同伦型，那么当n大于大于4时，时，M与与Sn同胚。同胚。Freedman定理定理Smale定理在定理在n等于等于4时也成立。时也成立。这些结果是微分拓扑理论中的著名成果，这些结果是微分拓扑理论中的著名成果，S.Smale和和M.Freedman因此因此而分别荣获而分别荣获1966年和年和1986年的菲尔兹奖。年的菲尔兹奖。vPoincare猜想是国际数学界长期关注的一个重大难题，被列为七大猜想是国际数学界长期关注的一个重大难题，被列为七大“数学世纪难题数学世纪难题”之之一，美国一，美国Clay研究所悬赏百万美元征求证明。研究所悬赏百万美元征求证明。100多年来，无数的数学家关注并致力于证实多年来，无数的数学家关注并致力于证实Poincare猜想。猜想。S.Smale曾因解决曾因解决4维以维以上广义庞加莱猜想获上广义庞加莱猜想获1966年菲尔兹奖，之后年菲尔兹奖，之后,M.H.Fredman解决了解决了4维广义庞加莱猜想维广义庞加莱猜想获获1986年菲尔兹奖年菲尔兹奖,但本来但本来3维庞加莱猜想仍未解决。维庞加莱猜想仍未解决。20世纪世纪80年代初，美国数学家年代初，美国数学家Thurston教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后，教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后，美国数学家美国数学家Hamilton在这个猜想的证明上取得了关键进展。在这个猜想的证明上取得了关键进展。2003年，俄罗斯数学家年，俄罗斯数学家GrigoryPerelman（格里高利（格里高利佩雷尔曼）佩雷尔曼）更是提出了解决这一猜想的要领和框架，并更是提出了解决这一猜想的要领和框架，并取得重大突破。取得重大突破。v佩雷尔曼是圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的研究员，在过去佩雷尔曼是圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的研究员，在过去10年中一直致力于微分几何年中一直致力于微分几何与代数拓扑的研究。与代数拓扑的研究。2002年年11月，佩雷尔曼通过互联网公布了一个研究报告，声称证明了月，佩雷尔曼通过互联网公布了一个研究报告，声称证明了由美国数学家瑟斯顿（由美国数学家瑟斯顿（WilliamP.Thurston）在）在25年前提出的有关三维流形的年前提出的有关三维流形的“几何化猜几何化猜想想”，而，而“庞加莱猜想庞加莱猜想”正是后者的一个特例。由于每隔数年就会冒出一个新的正是后者的一个特例。由于每隔数年就会冒出一个新的“证明证明”随后又被推翻，因此数学界对此类报告一向是非常谨慎的。四个月后佩雷尔曼又在网上公随后又被推翻，因此数学界对此类报告一向是非常谨慎的。四个月后佩雷尔曼又在网上公布了第二份报告，介绍了证明的更多细节。同时他也通过电子邮件与该领域的少数专家进布了第二份报告，介绍了证明的更多细节。同时他也通过电子邮件与该领域的少数专家进行交流。行交流。2003年年4月，应华裔数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院作了三场演讲，结月，应华裔数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院作了三场演讲，结果大获成功。他似乎对所有问题和质疑都有准备果大获成功。他似乎对所有问题和质疑都有准备或者流利地应答，或者指出其属枝节或者流利地应答，或者指出其属枝节末流。听过演讲的专业人士认为他的工作是极富创造性的，末流。听过演讲的专业人士认为他的工作是极富创造性的，“即使证明有误，他也发展了即使证明有误，他也发展了一些工具和思想，足以导致对一些工具和思想，足以导致对几何化猜想几何化猜想的精致处理，其中有极为振奋人心的东西的精致处理，其中有极为振奋人心的东西”，克莱研究所所长卡尔森（，克莱研究所所长卡尔森（JimCarlson）如是说。）如是说。v在在Hamilton和和Perelman等人重要工作基础上，中国数学家朱熹平和曹等人重要工作基础上，中国数学家朱熹平和曹怀东给出了怀东给出了Poincare猜想和猜想和Thurston几何化猜想的完整证明，全文几何化猜想的完整证明，全文300多页，多页，2006年六月份发表在亚洲数学杂志上。年六月份发表在亚洲数学杂志上。v对于一项世界难题的证明往往要经过数学家们长时间的系统审查之后才对于一项世界难题的证明往往要经过数学家们长时间的系统审查之后才能最终确立其在数学界的地位。能最终确立其在数学界的地位。Sn(n3)的良好性质的良好性质vSn是连通紧致无边的光滑流形；是连通紧致无边的光滑流形；vSn是是n维欧氏空间的一点紧致化；维欧氏空间的一点紧致化；vSn没有能与其自身同胚的真子空间；没有能与其自身同胚的真子空间；vSn具有良好的各向同性性质，例如，如果具有良好的各向同性性质，例如，如果M是是Sn的微分同胚的微分同胚于于Sn-1的正则子流形，那么的正则子流形，那么（1）SnM恰有两个连通分支，它们是同胚的，并以恰有两个连通分支，它们是同胚的，并以M为边界；为边界；（2）M在在Sn中的加宽同胚于中的加宽同胚于Sn-10,1。拓扑眼看高维空间拓扑眼看高维空间v根据现有的拓扑理论，选择根据现有的拓扑理论，选择S3作为描述三维空间的数学模型，只能基于作为描述三维空间的数学模型，只能基于以往的经验。即便如此，由于以往的经验。即便如此，由于S3具有的良好性质，我们对这样的选择是具有的良好性质，我们对这样的选择是有信心的。有信心的。v不仅如此，我们还愿意在自己的思想意识中，建构起能够容纳世间万物，不仅如此，我们还愿意在自己的思想意识中，建构起能够容纳世间万物，并能容纳我们思维产物的更高维空间；作为这种空间的理想模型，并能容纳我们思维产物的更高维空间；作为这种空间的理想模型，Sn应应成为我们的最佳选择。这不仅是因为成为我们的最佳选择。这不仅是因为Sn具有上述良好性质，还因为我们具有上述良好性质，还因为我们有下述结果：有下述结果：Whitney嵌入定理嵌入定理m维光滑流形总可以嵌入维光滑流形总可以嵌入n2m+1维欧氏空间中，维欧氏空间中，从而总可以嵌入从而总可以嵌入n2m+1维球面维球面Sn中。中。S3中的运动中的运动拓扑化的世界观拓扑化的世界观v拓扑学的思想不仅超出了经典数学的范畴，而且带有哲学思辨的品味。拓扑学的思想不仅超出了经典数学的范畴，而且带有哲学思辨的品味。大数学家庞加莱不愧为也是一位哲学家，他所开创的拓扑学理论从一开大数学家庞加莱不愧为也是一位哲学家，他所开创的拓扑学理论从一开始就仿佛是针对哲学命题始就仿佛是针对哲学命题世界是什么？世界怎么样？世界是什么？世界怎么样？引入的。引入的。他对空间、时间和运动的看法，或许比爱因斯坦的相对论观点走的还要他对空间、时间和运动的看法，或许比爱因斯坦的相对论观点走的还要远。他那种超越远。他那种超越“量量”与与“测量测量”的见解分明就是一种新的世界观的见解分明就是一种新的世界观拓扑化的世界观。拓扑化的世界观。v今天，拓扑学已作为重要的数学工具，同时也可以说作为一种世界观，今天，拓扑学已作为重要的数学工具，同时也可以说作为一种世界观，被应用于广泛的研究领域之中。被应用于广泛的研究领域之中。v现在，让我们列出拓扑流形的定义结束本讲：现在，让我们列出拓扑流形的定义结束本讲：拓扑流形的定义拓扑流形的定义 n维流形是一个第二可数的维流形是一个第二可数的Hausdorff拓扑空间，它的每一点拓扑空间，它的每一点都有与都有与n维欧氏空间维欧氏空间En同胚的邻域。同胚的邻域。思考题思考题1.谈谈你对一维空间的看法。谈谈你对一维空间的看法。2.谈谈你对二维空间的看法。谈谈你对二维空间的看法。3.你认为拓扑学能完全归结到你认为拓扑学能完全归结到“量量”的范畴吗？论述你的观点。的范畴吗？论述你的观点。4.你认为数学的思维模式有没有统一性？统一性表现在哪里？你认为数学的思维模式有没有统一性？统一性表现在哪里？