多元函数的微分法及其应.ppt
第九章第九章 多元函数的微分法多元函数的微分法及其应用及其应用第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面点集 n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性一、平面点集一、平面点集 n 维空间维空间1 1、平面点集、平面点集 坐标平面上坐标平面上具有某种性质具有某种性质p的点的的点的集合集合称为称为平面点集平面点集，记作，记作坐标平面：坐标平面：建立了直角坐标系的平面建立了直角坐标系的平面点点以点以点P表示表示(x,y)，|OP|表示表示点点P到原点到原点O的距离，那么的距离，那么=平面上以原点为中心、平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所为半径的圆内所有点的集合是有点的集合是邻域：去心邻域去心邻域平面点集平面点集设设为坐标平面为坐标平面上的一点，上的一点，那么，那么，点点与与 集集之间有怎样的之间有怎样的关系？关系？只有下面三种关系。只有下面三种关系。(1)(1)内点内点:如果存在点如果存在点P的某个邻域的某个邻域 ，使得使得 则称则称P为为E的的内点内点.(2)(2)外点外点：如果存在点：如果存在点P的某个邻域的某个邻域 ，使得使得 ，则称，则称P为为E的的外点外点.(3)(3)边界点：边界点：如果点如果点P的任一邻域内既含有的任一邻域内既含有属于属于E的点，也含有不属于的点，也含有不属于E的点，则称的点，则称P为为E的的边界点边界点.E的的边界点边界点的全体称为的全体称为E的的边界边界，记为，记为 .例例,求求的内点和边界点的内点和边界点聚点聚点：如果对于任意给定的：如果对于任意给定的 ，点，点P的的去心邻域去心邻域 内总有内总有E中的点，则称中的点，则称P是是E的的聚点聚点.点集点集E的聚点的聚点P，可能可能属于属于E，也可能不属，也可能不属于于E.例例点点是是的聚点，的聚点，但但圆周圆周上的点都是上的点都是的聚点，的聚点，也属于也属于.说明说明开集开集:如果点集如果点集E的每一点都是的每一点都是内点内点，则称则称E为为开集开集.闭集闭集：如果点集：如果点集E的余集的余集 为开集，则为开集，则称称E为闭集为闭集.为开集为开集连通集连通集：如果点集：如果点集E内的任何两点，都可内的任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于用折线连结起来，且该折线上的点都属于E，则称则称E为为连通集连通集.区域区域(或或开区域开区域)：连通的开集称为区域：连通的开集称为区域（或开（或开区域区域).).是开集，是开集，又是连通集又是连通集闭区域闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域称为闭区域.有界集有界集：对于平面点集：对于平面点集E，如果存在某一如果存在某一正数正数r，使得使得 ，其其中中O是坐标是坐标原点，则称原点，则称E为为有界集有界集.无界集无界集：一个集合如果不是有界集，就：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集称这集合为无界集.集合集合是是有界闭区域有界闭区域例如，例如，集合集合是是无界开区域无界开区域例如，例如，集合集合是是无界闭区域无界闭区域例如，例如，2、n维空间维空间在解析几何中，我们知道在解析几何中，我们知道类似地，类似地，采用这一记号，结合向量的线性运算，得 在n维空间 中定义了距离以后，就可以定义 中变元的极限：则称变元 在 中趋于固定元 ，记作如果如果设设 在n维空间 中定义了距离以后，就可以类似地定义中的中的邻域的概念邻域的概念.这样，这样，内点，外点，边界点，聚点，内点，外点，边界点，聚点，区域等概念都可定义区域等概念都可定义.聚点的性质：聚点的性质：二、多元函数的概念二、多元函数的概念定义1 设D是 的一个非空子集，称映射 f：为定义在D上的二元函数，通常记为或点集D称为该函数的定义域，x、y 称为自变量，z 称为因变量。1 1、二元函数的定义、二元函数的定义与自变量与自变量x、y的一对值（即二元数组）的一对值（即二元数组）(x,y)相对应的因变量相对应的因变量z的值，称为的值，称为 f 在在点点(x,y)处的函数值，处的函数值，记作记作即即与一元函数类似，与一元函数类似，记号记号f 与与 f(x,y)的意义的意义但是，习惯上常用记号但是，习惯上常用记号来表示来表示D上的二元函数上的二元函数 f.是不同的，是不同的，或或 把定义1中的平面点集D换成n维空间 内的点集D，映射 就称为定义在D上的 n元函数，通常记为也可记为也可记为或简记为或简记为注2一般地，在讨论用算式表达的多元函数时，就以使算式有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。注1例例1 1 矩形的面积和它的长矩形的面积和它的长x、宽宽y的关系为的关系为：例例2 2 圆柱体的体积圆柱体的体积V 和它的底半径和它的底半径R、高高h的关系为的关系为：例例3 3 解解在上述函数概念中，关键的两点为:(1)点(x,y)的变化范围，称为定义域；(2)对应法则，即函数关系.关于函数概念，我们主要研究下面三个问题：(1)求函数的定义域；(2)建立函数关系；(3)求函数值.注意：二元函数 z=f(x,y)中，自变量在定义域内的取值是独立的，即x的取值与y的取值没有必然的联系.例例4 4要使ln(y2x)有意义，解：解：即即 y2x所以，定义域：须使 y2x 0例5 求函数的定义域.解：有意义，须使2、二元函数的几何意义：设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.例如：方程 所确定的函数z=f(x,y)的图形是：一个球心在原点，半径为1的球面.图形：旋转抛物面图形：旋转抛物面图形：平面图形：平面作 业P62，习题9-1 1，2，4，5（单)
