定积分课件(梁淑莲).ppt
第六章第六章 10 xyy=x2本章基本内容本章基本内容1 1定积分的概念与性质定积分的概念与性质2 2定积分基本公式定积分基本公式3 3定积分的积分法定积分的积分法4 4广义积分广义积分本章学习目的本章学习目的理解定积分的概念和意义，理解定积分的概念和意义，掌握定积分的运算规则和性质掌握定积分的运算规则和性质熟练掌握和应用牛顿熟练掌握和应用牛顿-莱布莱布尼兹公式尼兹公式熟练掌握定积分的计算方法熟练掌握定积分的计算方法了解无限区间上广义积分的定了解无限区间上广义积分的定义和计算义和计算一、定积分问题举例一、定积分问题举例例例1.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积boxya图61y=f(x)注注:设设 y=f(x)在区间在区间a,b 上非负、连续。上非负、连续。由直线由直线 x=a,x=b,y=0,及曲线及曲线 y=f(x)所围成所围成的图形的图形,称为称为曲边梯形曲边梯形。其中曲线弧称为曲边其中曲线弧称为曲边.第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质曲边曲边boxya图61y=f(x)boxya图61y=f(x)boxyay=f(x)(1)分割：分割：将将a,b分成分成 n 个小区间个小区间,称为称为子区间子区间.过每个分点作平行于过每个分点作平行于y 轴的直线段轴的直线段,把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，设其面积为个窄曲边梯形，设其面积为Ai(i=1，2,n).记分点为记分点为（2）取近似：在每个小区间）取近似：在每个小区间xi-1,xi上上任取一点任取一点 i，boxyay=f(x)（3）求和）求和：boxyay=f(x)即即:（4）取极限：）取极限：使每个小区间的使每个小区间的长度趋于零长度趋于零，例例2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程.设某物体作变速直线运动设某物体作变速直线运动.已知速度已知速度V=V(t)是是时间间隔时间间隔a,b上上 的连续函数的连续函数.计算在这段时计算在这段时间内物体所经过的路程间内物体所经过的路程 S.分析：对于匀速直线运动，分析：对于匀速直线运动，V=V(t)是常数，是常数，用匀速运动近似代替变速运动用匀速运动近似代替变速运动，求出路程的近似值，求出路程的近似值，通过取极限，算出所求路程。具体过程如下：通过取极限，算出所求路程。具体过程如下：此时，路程此时，路程=速度速度X时间。现在，速度不是常数时间。现在，速度不是常数而是随时间变化的变量，因此，路程不能按上述而是随时间变化的变量，因此，路程不能按上述公式来计算。然而，由于速度是连续变化的，在公式来计算。然而，由于速度是连续变化的，在较短的时间内速度变化不大，近似于匀速，可仿较短的时间内速度变化不大，近似于匀速，可仿照上例，将时间间隔照上例，将时间间隔a,b分割，分割，在每一小段内在每一小段内，(1)分割：匀速直线运动分割：匀速直线运动.路程速度路程速度时间时间在在a,b内任意插入若干个分点内任意插入若干个分点a,b分成分成 n 个小段：个小段：t0,t1,t1,t2,tn-1,tn （2）取近似：）取近似：在每个子区间在每个子区间ti-1,ti 上任取一点上任取一点 i由时刻由时刻ti-1 到时刻到时刻 ti 走过的路程为走过的路程为 Si （3）求和：将所有这些近似值求和，得到路程的近）求和：将所有这些近似值求和，得到路程的近似值，即似值，即将时间间隔将时间间隔a,b分得越细分得越细,近似公式越精确近似公式越精确.即即:（4）取极限：）取极限：的极限就是所求的路程。的极限就是所求的路程。例例1 1与例与例2 2小结小结例例1曲边梯形面积为曲边梯形面积为例例2变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为求曲线弧的长度求曲线弧的长度:求变力作功：求变力作功：二、定积分定义二、定积分定义1.定义定义:设函数设函数f(x)在在a,b上有界上有界,将将a,b任意分任意分成成 n个子区间个子区间,分点为分点为在每个子区间在每个子区间xi-1,xi 上任取一点上任取一点 i,i xi-1,xi,则称这个极限值为函数则称这个极限值为函数f(x)在在a,b上的上的定积分.记成记成被被积积函函数数积积分分符符号号积积分分下下限限积积分分上上限限积分变量积分变量称为积分区间称为积分区间Sf(x)dx叫做被积表达式叫做被积表达式.根据定积分的定义，前面所讨论的两个引根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：例就可以用定积分概念来描述：例例1 曲线曲线 、x x轴及两条直线轴及两条直线x=ax=a,x=bx=b所围成的曲边梯形面积所围成的曲边梯形面积A A等于函数等于函数f f(x x)在区间在区间 a a,b b 上的定积分，即上的定积分，即例例2 2作变速直线运动的路程作变速直线运动的路程S S是速度函是速度函数数V V=V V(t t)在时间间隔在时间间隔a,b上的定积上的定积分：分：1.几点说明：几点说明：（1）设设f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,则则f(x)在在a,b上上 可积可积.设设f(x)在区间在区间a,b上有界上有界,且只有有限个第且只有有限个第一类间断点一类间断点,则则f(x)在在a,b上可积上可积.(2)(2)定积分数值与积分变量记号无关：定积分数值与积分变量记号无关：定积分的数值只与被积函数及积分区定积分的数值只与被积函数及积分区a,b有关有关,与积分变量的记号无关与积分变量的记号无关.(3)规定当规定当a=ba=b时时,(4)规定当规定当a a b b时时,2.定积分的几何意义定积分的几何意义.(1)(1)若当若当 x x a a,b b 时时,连续函数连续函数f f(x x)0 0bAoxyay=f(x)A(2)若当若当x x a,b时时,连续函数连续函数f f(x x)0,0,oxyaby=f(x)A若当若当x x a,b时时,连续函数连续函数f f(x x)既取得正值既取得正值,又取得负值时，又取得负值时，y=f(x)oxyabA1A2A3（3）性质性质1 1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即：和，即：6.1.4 定积分的基本性质定积分的基本性质 设下面函数设下面函数f f(x x)，f fi i(x x)，g g(x x)在在a,b上可积上可积.性质性质2 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外被积函数的常数因子可以提到积分号外.综合性质综合性质1和性质和性质2得得：例例1 1解解O OX XY Y1 12 21 1利用定积分的几何意义，可分别求出利用定积分的几何意义，可分别求出O OX XY Y1 12 21 1性质性质4 4性质性质5 5推论推论例例2 2解解性质性质7 7(定积分中值定理定积分中值定理)如果函数如果函数f f(x x)在闭区间在闭区间 a,ba,b 上连续，则在积分区间上连续，则在积分区间 a,ba,b 上至少存在一个点上至少存在一个点证明证明 因为函数因为函数f f(x x)在闭区间在闭区间 a a,b b 上连续，根据闭区上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，间上连续函数的最大值和最小值定理，f f(x x)在在 a,ba,b 上一定有最大值上一定有最大值M M和最小值和最小值m m，由定积分的，由定积分的性质性质6 6，有，有 即即数值数值 介于介于f f(x x)在在 a,ba,b 上的最大值上的最大值M M和最小值和最小值m m之间之间.根据闭区间上连续函数的介值定根据闭区间上连续函数的介值定理理,至少存在一点至少存在一点 ,使得使得即即:性质性质7 7的几何意义：的几何意义：在在 上至少存在一点上至少存在一点 ,使得曲边梯使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为形的面积等于同一底边而高为 的矩形的矩形的面积的面积.OXYab习题六习题六1、一曲边梯形由曲线一曲边梯形由曲线轴轴及及围成，围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积试列出用定积分表示该曲边梯形的面积的表达式的表达式。解解：作直线运动，作直线运动，2 2、一物体以速度、一物体以速度试列出时间间隔试列出时间间隔内该物体所走过的内该物体所走过的路程路程S S的定积分表达式。的定积分表达式。解解：3、利用定积分的几何意义，计算下列各题、利用定积分的几何意义，计算下列各题（1）OXY112OXYOXYKOXY2-24、设、设是是上的上的 单调增加的有界函数，证明单调增加的有界函数，证明证明：证明：由性质由性质6，得，得单调增加单调增加6、估计下列积分值、估计下列积分值解：解：在在上单调递增，上单调递增，解：解：第六章第六章 10 xyy=x2第六章第六章 10 xyy=x20 xy=x2y解:因为y=x2在0,1上连续,定积分存在,将区间0,1等分成 n等份,分点为于是0 xy=x2yboxya图61y=f(x)boxya图61y=f(x)boxya图61y=f(x)例例1 1与例与例2 2小结小结例例1曲边梯形面积为曲边梯形面积为例例2变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为在科学技术上，还有许多问题如曲线弧的长在科学技术上，还有许多问题如曲线弧的长度、旋转体的体积、变力作功等虽然实际背度、旋转体的体积、变力作功等虽然实际背景不同也都归结为这种特定和式的极限！景不同也都归结为这种特定和式的极限！为此抛开问题的实际意义，将这种解决问题为此抛开问题的实际意义，将这种解决问题的想法抽象出来，从数学的角度，用纯数学的想法抽象出来，从数学的角度，用纯数学语言加以描述，就得到定积分的概念。语言加以描述，就得到定积分的概念。若当若当x x a,b时时,连续函数连续函数f f(x x)既取得正值既取得正值,又取得负值时，又取得负值时，y=f(x)oxyabA1A2A3（3）其中其中:f(x)叫做被积函数叫做被积函数.f(x)dx叫做被积表达叫做被积表达式式.x叫做积分变量叫做积分变量,a叫做叫做积分下限积分下限.b叫做叫做积分上限积分上限,a,b叫做叫做积分区间积分区间.二、定积分定义二、定积分定义1.定义定义:设函数设函数f(x)在在a,b上有界上有界,将将a,b任意分任意分成成 n个子区间个子区间,分点为分点为在每个子区间在每个子区间xi-1,xi 上任取一点上任取一点 i,i xi-1,xi,则称这个极限值为函数则称这个极限值为函数f(x)在在a,b上的上的定积分.记成记成二、定积分定义二、定积分定义1.定义定义:设函数设函数f(x)在在a,b上有界上有界,将将a,b任意分任意分成成 n个子区间个子区间,分点为分点为在每个子区间在每个子区间xi-1,xi 上任取一点上任取一点 i,i xi-1,xi,则称这个极限值为函数则称这个极限值为函数f(x)在在a,b上的上的定积分.记成记成
