3.2第三章概率论与数量统计.ppt

3.2 边缘分布边缘分布一、边缘分布律一、边缘分布律二、边缘密度函数二、边缘密度函数 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。函数来描述其取值规律。问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 边缘分布边缘分布 marginal distribution 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，依次称为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布如果二维离散型随机变量（如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为的联合分布律为 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率概率P1.P2.P3.第第i行之和行之和Yy1y2y3概率概率P.1P.2P.3二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率概率 7/121/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率概率 5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列的联合分布列 二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布 n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 n关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 例例2 2 设（设（X,Y）的联合密度为的联合密度为求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数解解由由 得得 当当 时时 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113113解解所以所以,关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 所以所以,关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 时时 当当 时时 当当 时时 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度和概率的计算例例3设（设（X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为 （1）求）求k值值(2)求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)(2)均匀分布均匀分布解解 (1)由由 得得 当当 时时-11当当 时时 所以，关于所以，关于X的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11续解续解 .-11当当 时时当当 时时 所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 （3）二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 其中其中均为参数均为参数 称称 服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布 如果二维随机变量（如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布服从正态分布 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数与相关系数 无关无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布不能确定联合分布例例4 设（设（X，Y）的联合分布密度函数为的联合分布密度函数为 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的分布密度函数为 所以，所以，同理可得同理可得 不同的联合分布，可不同的联合分布，可有相同的边缘分布。有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布