高三数学二轮复习05讲转化与化归思想.ppt

第第4 4讲讲 转化与化归思想转化与化归思想1.1.转化与化归思想的基本内涵是：解某些数学问题转化与化归思想的基本内涵是：解某些数学问题 时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，恰当的运用数学方法进类比、联想等思维过程，恰当的运用数学方法进 行变换，将原问题行变换，将原问题A A转化为另一个新问题转化为另一个新问题B B，而问，而问 题题B B是相对较容易解决的或已经有固定解决程序的是相对较容易解决的或已经有固定解决程序的 问题，且问题问题，且问题B B的解决可以得到原问题的解决可以得到原问题A A的解答的解答.这这 种思想方法，我们称之为种思想方法，我们称之为“转化与化归的思想方转化与化归的思想方 法法”.”.可用框图直观表示为：可用框图直观表示为：其中的问题其中的问题B B是化归目标或化归方向，转化的手段是化归目标或化归方向，转化的手段 是化归策略是化归策略.2.2.化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟 知的问题，解题的过程就是一个缩小已知与求解知的问题，解题的过程就是一个缩小已知与求解 之间差异的过程，是未知向已知转化的过程，也之间差异的过程，是未知向已知转化的过程，也 是目标向问题靠拢的过程是目标向问题靠拢的过程.待解决的问题待解决的问题A A容易解决的问题容易解决的问题B B问题问题A A的解的解问题问题B B的解的解观察、分析观察、分析类比、联想类比、联想应用应用解决解决还原还原3.3.化归思想有着客观的基础，它着眼于揭示内在本化归思想有着客观的基础，它着眼于揭示内在本 质联系，实现转化与化归，通过矛盾的转化，达质联系，实现转化与化归，通过矛盾的转化，达 到解决问题的目的到解决问题的目的.4.4.化归转化思想方法要遵循以下原则：（化归转化思想方法要遵循以下原则：（1 1）目标简）目标简 单化原则，即越转化，问题越简单，越利于解决单化原则，即越转化，问题越简单，越利于解决 问题；（问题；（2 2）和谐统一原则，即转化和化归应满足）和谐统一原则，即转化和化归应满足 目标问题与待解决问题在量、形、关系上趋于统目标问题与待解决问题在量、形、关系上趋于统 一使问题的条件和结论更均匀和恰当，使待解决一使问题的条件和结论更均匀和恰当，使待解决 问题在表现形式上，越发趋于和谐；（问题在表现形式上，越发趋于和谐；（3 3）具体化）具体化 原则，化归方向越具体，越有利于问题的解决；原则，化归方向越具体，越有利于问题的解决；（4 4）回归原则，无论怎么转化，无论转化为什么）回归原则，无论怎么转化，无论转化为什么 新的问题，都是手段，不是目的，最终的目的是新的问题，都是手段，不是目的，最终的目的是 解决原始问题解决原始问题.因而，最后要回归到原始问题上因而，最后要回归到原始问题上 来，否则，劳而无功来，否则，劳而无功.5.5.数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与 方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转 化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转 化，这三种思想方法都是转化与化归思想的具体化，这三种思想方法都是转化与化归思想的具体 体现体现.各种变换方法，分析法、反证法、待定系数各种变换方法，分析法、反证法、待定系数 法、构造法等都是转化的手段法、构造法等都是转化的手段.可以说，转化与化可以说，转化与化 归是数学思想方法的灵魂归是数学思想方法的灵魂.【例例1 1】设】设y y=(log=(log2 2x x)2 2+(+(t t-2)log-2)log2 2x x-t t+1+1，若，若t t在在-2-2，2 2上变化时，上变化时，y y恒取正值，求恒取正值，求x x的取值范围的取值范围.分析分析 由于由于“习惯习惯”的影响，常把的影响，常把x x看作自变量，看作自变量，这样处理的话问题很复杂，由于这样处理的话问题很复杂，由于t t的取值范围已的取值范围已 知，可考虑变换主元为知，可考虑变换主元为t t,这样自变量的范围已知这样自变量的范围已知 了，函数类型也简单了了，函数类型也简单了.解解 设设y y=f f(t t)=(log)=(log2 2x x-1)-1)t t+(log+(log2 2x x)2 2-2log-2log2 2x x+1,+1,则则f f(t t)是一次函数，当是一次函数，当t t-2-2，2 2时，时，f f(t t)0)0恒恒 成立成立.解得解得loglog2 2x x-13.3.x x的取值范围是的取值范围是 （8 8，+）.探究拓展探究拓展 本题的关键是把本题的关键是把t t看成自变量，即将原看成自变量，即将原 变量变量x x与参数与参数t t变更关系，视变更关系，视t t为主元，转换思考的为主元，转换思考的 角度，从而使解法变得简易角度，从而使解法变得简易.若按照习惯，仍把若按照习惯，仍把x x 看成自变量，问题就复杂多了看成自变量，问题就复杂多了.因此，在解题时要因此，在解题时要 多注意对题目中一些变量的理解，以便是灵活运多注意对题目中一些变量的理解，以便是灵活运 用用.改变对改变对“x x”的看法，这将有助于解决问题的看法，这将有助于解决问题.变式训练变式训练1 1 （20092009苏州市调研）设不等式苏州市调研）设不等式2 2x x-1 1m m(x x2 2-1)-1)对满足对满足|m m|2|2的一切实数的一切实数m m都成立，求都成立，求 实数实数x x的取值范围的取值范围.分析分析 如果把不等式看做关于如果把不等式看做关于x x的二次不等式，则的二次不等式，则 求解过程繁琐，如果把不等式看做是关于求解过程繁琐，如果把不等式看做是关于m m的一次的一次 不等式，则可以简化求解过程，这就是变量与常不等式，则可以简化求解过程，这就是变量与常 量的转化量的转化.解解 令令f f(m m)=-()=-(x x2 2-1)-1)m m+2+2x x-1,-1,m m-2-2，2 2，则原不等式等价于则原不等式等价于f f(m m)0)0恒成立恒成立(m m-2-2，2 2).).由于由于f f(m m)是关于是关于m m的一次函数或常数函数，的一次函数或常数函数，【例例2 2】（】（20082008南通调研）已知向量南通调研）已知向量a a=(1-=(1-tan tanx x,1),1),b b=(1+sin 2=(1+sin 2x x+cos 2+cos 2x x,0),0),记记f f(x x)=)=a ab b.（1 1）求）求f f(x x)的解析式并指出它的定义域；的解析式并指出它的定义域；解解 （1 1）a a=（1-tan 1-tan x x，1 1），），b b=（1+sin21+sin2x x+cos 2+cos 2x x，0 0），），f f（x x）=a ab b=(1-tan=(1-tan x x)(1+sin 2)(1+sin 2x x+cos 2+cos 2x x)探究拓展探究拓展 应该认真审视一下本例，解题过程中应该认真审视一下本例，解题过程中 使用了三角知识中的两种重要转化，一是三角函使用了三角知识中的两种重要转化，一是三角函 数名称的转化，如（数名称的转化，如（1 1）中将切函数化为弦函数，）中将切函数化为弦函数，二是角度的转化，如（二是角度的转化，如（2 2）中将目标单角化为条件）中将目标单角化为条件 中的中的2 2倍角，便于使用条件，还有将倍角，便于使用条件，还有将2 2 角改写为角改写为 也是一种智慧之举，使得条件顺利得也是一种智慧之举，使得条件顺利得 以使用，问题顺利得以解决，以使用，问题顺利得以解决，“目标目标”意识很意识很 明显，转化方法运用的恰到好处明显，转化方法运用的恰到好处.备考者要从中认备考者要从中认 真体会和学习使用真体会和学习使用.变式训练变式训练2 2 已知已知 分析分析 不难发现不难发现 未知角可未知角可 化为已知角，整体地利用已知条件来解答问题化为已知角，整体地利用已知条件来解答问题.解解 【例例3 3】已知不等式】已知不等式x x+|+|x x-2-2m m|1|1的解集为的解集为R R，求实数，求实数m m 的取值范围的取值范围.解解 依题意，依题意，x xR R，x x+|+|x x-2-2m m|1|1恒成立恒成立.设设f f（x x）=x x+|+|x x-2-2m m|（x xR R），应满足），应满足f f(x x)minmin1.1.将将f f(x x)化简后得：化简后得：研究该分段函数知研究该分段函数知f f(x x)minmin=f f(2(2m m)=2)=2m m,(,(x xR R).).故只须故只须2 2m m1,1,所以实数所以实数m m的取值范围为的取值范围为 探究拓展探究拓展 可以说，数学问题的解决过程，就是可以说，数学问题的解决过程，就是 问题转化过程的展现，转化成功了，问题解决也问题转化过程的展现，转化成功了，问题解决也 就成功了就成功了.分析本例中的几处转化，便于备考者琢分析本例中的几处转化，便于备考者琢 磨和体会，首先是将不等式解集为磨和体会，首先是将不等式解集为R R的问题等价转的问题等价转 化为代数式的值恒大于化为代数式的值恒大于1 1的问题，其次再等价转化的问题，其次再等价转化 为函数为函数f f(x x)=)=x x+|+|x x-2-2m m|最小值大于最小值大于1 1的问题，再次转的问题，再次转 化得分段函数，便于研究其值域化得分段函数，便于研究其值域.从中可以看出，从中可以看出，每一次转化都使问题趋于更简单，更方便于问题每一次转化都使问题趋于更简单，更方便于问题 的解决，也就是向目的地更近了一步的解决，也就是向目的地更近了一步.变式训练变式训练3 3 （20082008南通调研）若不等式南通调研）若不等式4 4x x-2 2x x+1+1-a a00在在1 1，2 2上恒成立，则上恒成立，则a a的取值范围是的取值范围是 .解析解析 设设2 2x x=t t,1,1x x2,22,2t t4.4.依题意有不等式依题意有不等式t t2 2-2-2t t-a a0,0,在在2 2，4 4上恒成立上恒成立.即即a at t2 2-2-2t t,t t2 2，4 4,设设f f(t t)=)=t t2 2-2-2t t,t t2 2，4 4.依二次函数知识可知当依二次函数知识可知当t t2 2，4 4时，时，必须有必须有a af f(t t)minmin,即即a a0,a0,a（-，0 0为所求为所求.00f f(t t)8.)8.（-，0 0 【例例4 4】（】（20092009江苏百校样本分析卷）已知某几何江苏百校样本分析卷）已知某几何 体的三视图如下图所示体的三视图如下图所示,其中左视图是边长为其中左视图是边长为2 2的的 正三角形正三角形,主视图是矩形且主视图是矩形且AAAA1 1=3,=3,设设D D为为AAAA1 1的中点的中点.（1 1）作出该几何体的直观图并求其体积；）作出该几何体的直观图并求其体积；（2 2）求证：平面）求证：平面BBBB1 1C C1 1C C平面平面BDCBDC1 1；（3 3）BCBC边上是否存在点边上是否存在点P P，使，使APAP平面平面BDCBDC1 1？若？若 不存在，说明理由；若存在，证明你的结论不存在，说明理由；若存在，证明你的结论.（1 1）解解 由题意可知该几何体为直三棱柱，且它由题意可知该几何体为直三棱柱，且它 的直观图如图所示的直观图如图所示.几何体的底面积几何体的底面积S S=3=3，高，高h h=3,=3,所求体积所求体积V V=.（2 2）证明证明 连结连结B B1 1C C交交BCBC1 1于于E E点，点，则则E E为为BCBC1 1、B B1 1C C的中点，连结的中点，连结DEDE.ADAD=A A1 1D D，ABAB=A A1 1C C1 1，BADBAD=DADA1 1C C1 1=90.=90.ABDABDDADA1 1C C1 1，BDBD=DCDC1 1，DEDEBCBC1 1.同理同理DEDEB B1 1C C，又，又B B1 1C CBCBC1 1=E E，DEDE平面平面BBBB1 1C C1 1C C,又又DEDE平面平面BDCBDC1 1，平面平面BDCBDC1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C.（3 3）解解 取取BCBC的中点的中点P P，连结，连结APAP，则，则APAP平面平面 BDCBDC1 1.证明如下：证明如下：连结连结PEPE，则，则PEPE平行且等于平行且等于ADAD，四边形四边形APEDAPED为平行四边形，为平行四边形，APAPDEDE，又又DEDE平面平面BDCBDC1 1，APAP平面平面BDCBDC1 1，APAP平面平面BDCBDC1 1.当当P P为为BCBC边上的中点时有边上的中点时有APAP平面平面BDCBDC1 1.探究拓展探究拓展 转化是解决问题的关键与核心问题，转化是解决问题的关键与核心问题，备考者可以以本例为载体细心揣摩转化思想方法备考者可以以本例为载体细心揣摩转化思想方法 在解决立体几何问题中的作用在解决立体几何问题中的作用.本例一开始，要将本例一开始，要将 三视图转化为主体直观图，实现条件与信息的转三视图转化为主体直观图，实现条件与信息的转 化，以便于使用化，以便于使用.第（第（2 2）题中为了证明面面垂）题中为了证明面面垂 直，转化为证明一面过另一面的垂线（由证明平直，转化为证明一面过另一面的垂线（由证明平 面面BDCBDC1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，转化为证明，转化为证明DMDM平面平面 BBBB1 1C C1 1C C），这又要转化为证明线线垂直，其中还），这又要转化为证明线线垂直，其中还 穿插了转化为穿插了转化为“一条直线的平行线与平面垂直，一条直线的平行线与平面垂直，那么这条直线也与平面垂直那么这条直线也与平面垂直”.第（第（3 3）题中的线）题中的线 面平行问题的处理，也是转化为线线平行问题才面平行问题的处理，也是转化为线线平行问题才 解决的解决的.可以说立体几何问题中，类似的升维与降可以说立体几何问题中，类似的升维与降 维的转化，比比皆是，解题过程采用综合法叙维的转化，比比皆是，解题过程采用综合法叙 述，掩盖了这种转化的明显性与直观性，若以分述，掩盖了这种转化的明显性与直观性，若以分 析法表述的话，就明确得多了析法表述的话，就明确得多了.变式训练变式训练4 4 （20092009淮安调研）在四棱锥淮安调研）在四棱锥O O ABCDABCD中，底面中，底面ABCDABCD为菱形，为菱形，OAOA平面平面ABCDABCD，E E 为为OAOA的中点，的中点，F F为为BCBC的中点，求证：的中点，求证：（1 1）平面）平面BDOBDO平面平面ACOACO；（2 2）EFEF平面平面OCDOCD.证明证明 （1 1）OAOA平面平面ABCDABCD，BDBD平面平面ABCDABCD，所以所以OAOABDBD，ABCDABCD是菱形，是菱形，ACACBDBD，又，又OAOAACAC=A A，BDBD平面平面OACOAC，又又BDBD平面平面OBDOBD，平面平面BDOBDO平面平面ACOACO.（2 2）取）取ODOD中点中点MM，连接，连接EMEM，CMCM，则则MEMEADAD，ABCDABCD是菱形，是菱形，ADADBCBC，ADAD=BCBC，F F为为BCBC的中点，的中点，CFCFADAD，MEMECFCF，MEME=CFCF.四边形四边形EFCMEFCM是平行四边形，是平行四边形，EFEFCMCM，又又EFEF平面平面OCDOCD，CMCM平面平面OCDOCD.EFEF平面平面OCDOCD.规律方法与总结规律方法与总结1.1.常用转化策略有：正与反的转化；数与形的转常用转化策略有：正与反的转化；数与形的转 化；相等与不等的转化；整体与局部的转化；空化；相等与不等的转化；整体与局部的转化；空 间与平面的转化；复数与实数的转化；常量与变间与平面的转化；复数与实数的转化；常量与变 量的转化；不同数学语言之间的转化等等量的转化；不同数学语言之间的转化等等.2.2.转化与化归的本质是转化与化归的本质是“有利于问题解决有利于问题解决”，基于，基于 这个这个“有利于有利于”，应充分发挥个人的聪明才智，应充分发挥个人的聪明才智，大胆联想、类比、假设，尽快探索出转化方案和大胆联想、类比、假设，尽快探索出转化方案和 方法，使问题顺利得以解决方法，使问题顺利得以解决.3.3.对于常见问题还是有章可循，有法可依的，通常对于常见问题还是有章可循，有法可依的，通常 可以从以下几方面入手：可以从以下几方面入手：（1 1）通过变量替换、增量代换、等价代换等换）通过变量替换、增量代换、等价代换等换 元方法，将问题转化为变量个数少，次数低，结元方法，将问题转化为变量个数少，次数低，结 构简单，形式熟悉的问题构简单，形式熟悉的问题.（2 2）考虑到点集和有序实数对集合之间的映射关）考虑到点集和有序实数对集合之间的映射关 系，可将平面几何问题转化为解析几何问题解系，可将平面几何问题转化为解析几何问题解 决，而解析法，也可以将方程问题转化为曲线问决，而解析法，也可以将方程问题转化为曲线问 题解决题解决.（3 3）特殊化策略）特殊化策略.即在解决一个一般性问题有困难即在解决一个一般性问题有困难 时，先将问题特殊化（如取特殊值，取特殊位时，先将问题特殊化（如取特殊值，取特殊位 置，考察极端化情形），从中获得解法、结论置，考察极端化情形），从中获得解法、结论 等，再将这些解法、结论推广到一般问题上去，等，再将这些解法、结论推广到一般问题上去，获得一般问题的解答获得一般问题的解答.（4 4）一般化策略）一般化策略.这是与这是与“特殊化策略特殊化策略”完全相完全相 反过程的一种策略，为了解决问题反过程的一种策略，为了解决问题A A，先解决比，先解决比A A 更一般的问题更一般的问题A A，然后再将其特殊化获得解答，然后再将其特殊化获得解答.（5 5）语言转化策略）语言转化策略.数学符号表达一定的语义，可数学符号表达一定的语义，可 视作一种视作一种“语言语言”，图形也是表达思想的一种，图形也是表达思想的一种 “语言语言”，这两种，这两种“语言语言”与普通的文字语言之与普通的文字语言之 间相互转化，是一种常用的策略间相互转化，是一种常用的策略.（6 6）正反互化策略）正反互化策略.当正面解决问题较困难或情形当正面解决问题较困难或情形 繁杂，而其对立面较易解决或情形较少时，可先繁杂，而其对立面较易解决或情形较少时，可先 解决其对立面面临的问题，再回归到原问题上去解决其对立面面临的问题，再回归到原问题上去.（7 7）升降维转化策略）升降维转化策略.在立体几何中，有时将视在立体几何中，有时将视 角放在一个特别的平面内，进行计算或证明之角放在一个特别的平面内，进行计算或证明之 后，再将结论放回原三维几何体中去后，再将结论放回原三维几何体中去.这种处理策这种处理策 略称之为降维策略；反之，则称为升维策略略称之为降维策略；反之，则称为升维策略.（8 8）另外还有相等与不等的转化策略；整体与局）另外还有相等与不等的转化策略；整体与局 部的转化策略；复数与实数的转化策略；常量与部的转化策略；复数与实数的转化策略；常量与 变量的转化策略等变量的转化策略等.4.4.不等式恒成立、能成立、恰成立等问题的转化不等式恒成立、能成立、恰成立等问题的转化.不等式恒成立、能成立、恰成立等问题是高考中不等式恒成立、能成立、恰成立等问题是高考中 的常见题型，常应用函数方程思想和的常见题型，常应用函数方程思想和“分离变量分离变量 法法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的特转化为最值问题，也可抓住所给不等式的特 征，利用数形结合法征，利用数形结合法.其处理方法可以总结如下：其处理方法可以总结如下：（1 1）恒成立问题）恒成立问题 若不等式若不等式f f(x x)A A在区间在区间D D上恒成立，则等价于在区上恒成立，则等价于在区 间间D D上上f f（x x）minminA A；若不等式若不等式f f（x x）B B在区间在区间D D上恒成立，则等价于在上恒成立，则等价于在 区间区间D D上上f f（x x）maxmax A A成立，成立，则等价于在区间则等价于在区间D D上上f f（x x）maxmax A A;若在区间若在区间D D上存在实数上存在实数x x使不等式使不等式f f(x x)B B成立，则成立，则 等价于在区间等价于在区间D D上上f f（x x）minmin)A A在区间在区间D D上恰成立，则等价于不等上恰成立，则等价于不等 式式f f(x x)A A的解集为的解集为D D；若不等式若不等式f f(x x)B B在区间在区间D D上恰成立，则等价于不等上恰成立，则等价于不等 式式f f(x x)B B的解集为的解集为D D.一、填空题一、填空题1.1.在在ABCABC中，若中，若sin sin A Asin sin B Bsin sin C C=578=578，则则B B=.解析解析 由正弦定理知由正弦定理知sin sin A A:sin:sin B B:sin:sin =a a:b b:c c=5:7:8,=5:7:8,可设可设a a=5=5k k,b b=7=7k k,c c=8=8k k,C2.2.已知方程已知方程x x3 3=4-=4-x x的解在区间的解在区间 内，内，k k是是 的整数倍，则实数的整数倍，则实数k k的值是的值是 .解析解析 设设f f(x x)=)=x x3 3+x x-4,-4,其零点对应着方程的解其零点对应着方程的解.应应 先考虑先考虑f f(x x)的零点在的零点在 内情形内情形.试解试解f f(1)=(1)=-20,-20,(2)=60,f f(1)(1)f f(2)0(2)00对对 一切一切a a（1 1，2 2都成立，求都成立，求x x的取值范围的取值范围.解解 原不等式可化为原不等式可化为a a2 2+axax+x x-x x2 20,0,设设g g(a a)=)=a a2 2+axax+(+(x x-x x2 2)0,)0,对一切对一切a a（1 1，2 2，g g(a a)0)44或或x x-1.44或或x x-1.-1.9.9.已知二次函数已知二次函数f f(x x)=)=axax2 2+2+2x x-2-2a a-1,-1,其中其中x x=2sin =2sin 若二次方程若二次方程f f(x x)=0)=0恰有两个不相等的恰有两个不相等的 实根实根x x1 1和和x x2 2,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.分析分析 注意注意 即即-1-1x x2,2,问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得 出等价的不等式组出等价的不等式组.解解 由以上分析，问题转化为二次方程由以上分析，问题转化为二次方程axax2 2+2+2x x-2-2a a-1=0,1=0,在区间在区间-1-1，2 2上恰有两个不相等的实根，上恰有两个不相等的实根，由由y y=f f(x x)的图象（如图所示），得等价不等式组的图象（如图所示），得等价不等式组.10.10.（20092009通州市查漏补缺卷）已知数列通州市查漏补缺卷）已知数列 a an n 的前的前n n 项和为项和为S Sn n，点，点 数列数列 b bn n 满满 足：足：b bn n+2+2-2-2b bn n+1+1+b bn n=0(=0(n nN N*)，且，且b b3 3=11,=11,前前9 9项和为项和为 153.153.（1 1）求数列）求数列 a an n，b bn n 的通项公式；的通项公式；（2 2）设）设 数列数列 c cn n 的前的前n n项和为项和为 T Tn n，求使不等式，求使不等式 对一切（对一切（n nN N*）都成立的最）都成立的最 大正整数大正整数k k的值；的值；（3 3）设）设n nN N*，问是否存在问是否存在 m mN N*，使得，使得f f(m m+15)=5+15)=5f f(m m)成立？若存在，求出成立？若存在，求出m m 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由.解解 （1 1）n n22时，有时，有a an n=S Sn n-S Sn n-1-1=n n+5;+5;当当n n=1=1时，时，a a1 1=S S1 1=6,=6,可得可得a an n=n n+5(+5(n nN N*).).b bn n+2+2-2-2b bn n+1+1+b bn n=0(=0(n nN N*),),b bn n+2+2-b bn n+1+1=b bn n+1+1-b bn n=b b2 2-b b1 1.数列数列 b bn n 是等差数列，是等差数列，b b3 3=11=11，它的前，它的前9 9项和为项和为153153，设公差为，设公差为d d,b bn n=3=3n n+2(+2(n nN N*).).当当m m为奇数时，为奇数时，m m+15+15为偶数；为偶数；当当m m为偶数时，为偶数时，m m+15+15为奇数为奇数.若若f f(m m+15)=5+15)=5f f(m m)成立，成立，则有则有3(3(m m+15)+2=5(+15)+2=5(m m+5)(+5)(m m为奇数为奇数)或或 m m+15+5=5(3+15+5=5(3m m+2)(+2)(m m为偶数为偶数).).解得解得m m=11.=11.所以当所以当m m=11,=11,f f(m m+15)=5+15)=5f f(m m).).返回